Transitorio di carica e scarica nei condensatori
Transitorio di carica e scarica nei condensatori
Questo sito utilizza cookie, anche di terze parti. Se vuoi saperne di più leggi la nostra Cookie Policy. Scorrendo questa pagina o cliccando qualunque suo elemento acconsenti all’uso dei cookie.I testi seguenti sono di proprietà dei rispettivi autori che ringraziamo per l'opportunità che ci danno di far conoscere gratuitamente a studenti , docenti e agli utenti del web i loro testi per sole finalità illustrative didattiche e scientifiche.
Elettrotecnica
Transitorio di carica e scarica nei condensatori
Transitorio di carica e scarica nei condensatori e esercizi di elettrotecnica
Prendiamo in considerazione le leggi di variazione nel tempo della corrente nel circuito i(t) e della tensione v(t) ai capi del condensatore durante la fase di carica dello stesso. Assumiamo che il condensatore sia inizialmente scarico v(0-) = 0 , ovvero sia inizialmente nulla la carica accumulata sulle sue armature (condizioni iniziali nulle). Individuiamo come istante iniziale t = 0 [s] quello coincidente con la chiusura dell'interruttore K . A partire da tale istante iniziale si avrà un graduale aumento della tensione ai capi del condensatore che raggiungerà il valore definitivo Vo solo dopo un tempo infinito. In realtà si potrà ritenere esaurita la fase di carica quando la tensione ai capi del condensatore avrà superato il 99% del valore finale Vo (valore a regime). Tale intervallo di tempo, durante il quale variano sia la tensione ai capi del condensatore che la corrente nel circuito, viene detto transitorio elettrico ed è presente in qualsiasi circuito che contenga dispositivi capaci di immagazzinare energia (condensatori ed induttori) ogniqualvolta vari una delle grandezze (tensione o corrente) applicate al circuito. Infatti, nel corso della carica del condensatore, l'energia immagazzinata nel suo campo elettrico richiede tempo per passare da zero al valore finale. Se così non fosse, ovvero se la carica si realizzasse istantaneamente, si dovrebbe presumere di avere a che fare con un generatore di potenza infinita la qual cosa è un assurdo fisico. Per ciascun circuito elettrico si può individuare una grandezza caratteristica chiamata costante di tempo t che serve a valutare la durata del transitorio. Infatti si può dimostrare che il transitorio ha una durata pari a circa 5·t . La legge di variazione sia della tensione ai capi del condensatore che della corrente nel circuito è di tipo esponenziale.
Vediamo di riassumere le più importanti proprietà.
A sinistra sono mostrate le leggi che regolano la carica, a destra quelle della scarica. Al flusso ordinato di carica elettrica costituente la corrente di carica (scarica) corrisponde uno spostamento elettrico di carica nel dielettrico compreso tra le armature del condensatore che si polarizza (depolarizza). Al lavoro compiuto dal generatore corrisponde, a meno della potenza elettrica dissipata nelle resistenze, l'energia accumulata nel dielettrico del condensatore; tale energia è totalmente dissipata nelle resistenze durante la scarica.
Si ricorda che la lettera e che compare nella espressione esponenziale è la base dei logaritmi naturali, ovvero il numero 2,718...
In qualsiasi processo regolato da una legge esponenziale, la costante di tempo rappresenta il tempo necessario al completamento del processo nel caso in cui lo stesso avvenga ad una velocità costante e pari a quella dell'istante iniziale. Detto in altre parole, la tangente nell'origine alla curva esponenziale interseca l'orizzontale di ordinata pari al valore a regime in corrispondenza dell'ascissa pari alla costante di tempo.
Esercizio 1 (campo elettrico e forza elettrica)
Si abbia un sistema isolato costituito da due piastre metalliche piane e parallele poste alla distanza d=7 [cm] l’una dall’altra. La piastra A abbia potenziale elettrico VA=2000 [V] e la piastra B potenziale VB=500 [V]. Si consideri inizialmente presente sulla piastra B un elettrone e libero di muoversi. Il dielettrico interposto tra le piastre sia il vuoto:
Ci proponiamo di studiare il moto dell’elettrone che per effetto della forza elettrica su di esso agente si sposterà dall’armatura B all’armatura A (in tutte le considerazioni che seguono trascuriamo i fenomeni relativistici e quindi supponiamo costante ed indipendente dalla velocità la massa dell’elettrone, cosa non vera se la velocità è, come si vedrà nel nostro caso, una frazione significativa della velocità della luce che vale circa 3·108 [m/s]).
1) determinare la forza che agisce sull’elettrone.
Allo scopo si deve considerare che il campo elettrico presente tra le armature ha lo stesso valore in tutti i punti. Le linee di forza sono rette parallele, orientate dall’armatura a potenziale più alto verso l’armatura a potenziale più basso.
L’intensità del campo vale in ogni punto:
Considerando la carica dell’elettrone, la forza elettrica che su di esso agisce vale in ogni punto:
Essendo la carica dell’elettrone una carica negativa, la forza elettrica che su di esso agisce avrà verso opposto a quello del campo.
2) determinare l’accelerazione impressa all’elettrone.
Conoscendo la massa dell’elettrone risulta immediato calcolare la sua accelerazione:
3) determinare il tempo che l’elettrone impiega a raggiungere l’armatura positiva.
Il moto dell’elettrone è del tipo uniformemente accelerato con velocità iniziale zero:
4) determinare la velocità con la quale l’elettrone impatta sull’armatura A:
Il moto dell’elettrone è del tipo uniformemente accelerato con velocità iniziale zero:
Osservazione.
Si poteva pervenire allo stesso risultato attraverso il principio di conservazione dell’energia. L’energia elettrica potenziale inizialmente posseduta dall’elettrone quando ancora si trova sull’armatura B rispetto all’armatura A vale:
l’energia cinetica che la massa dell’elettrone accumula nel processo di accelerazione da zero [m/s] fino alla velocità vef dovrà, per il principio di conservazione dell’energia, essere uguale all’energia WBA:
Esercizio 2 (condensatore con dielettrico a doppio strato)
Un condensatore ad armature piane e parallele di area S=500 [cm2] ha il dielettrico costituito da due strati accostati tra loro e aderenti alle armature. Il primo dielettrico è mica con spessore 3 [mm] ed il secondo dielettrico è aria secca con spessore 1,5 [mm]. Al condensatore è applicata una tensione pari a 4 [kV].
1) determinare la capacità del condensatore.
Considerando che il condensatore va visto come se si trattasse di due condensatori posti in serie e tenendo conto della costante dielettrica dei dielettrici impiegati, si ha:
2) determinare la carica elettrica accumulata sulle armature del condensatore.
Allo scopo basta applicare la legge del condensatore:
L’armatura che si trova a potenziale elettrico maggiore si caricherà positivamente, l’altra negativamente.
3) determinare lo spostamento elettrico nei due dielettrici.
Lo spostamento elettrico nei due dielettrici è lo stesso ed è uguale alla densità di carica elettrica sulle armature ovvero alla quantità di carica elettrica che si raccoglie per unità di superficie sulle armature:
4) determinare l’intensità del campo elettrico nei due dielettrici e verificare che sia compatibile con la rigidità dielettrica degli stessi.
Allo scopo si può utilizzare la relazione che lega il campo elettrico allo spostamento elettrico:
Si osserva che in entrambi i dielettrici il campo elettrico è inferiore alla rigidità dielettrica, quindi i dielettrici possono sopportare tale campo senza che si verifichi la scarica distruttiva.
5) determinare la tensione applicata a ciascuno strato.
Si ricorre alla relazione che lega il campo elettrico alla tensione:
Si osserva che il secondo strato, pur avendo uno spessore pari alla metà del primo, sopporta una tensione maggiore in quanto ha una costante dielettrica molto più piccola. Infatti, dati due diversi dielettrici di eguale spessore, per produrre in entrambi lo stesso spostamento elettrico bisogna usare una tensione più grande per il dielettrico avente più piccola costante dielettrica (la costante dielettrica viene anche chiamata permettività elettrica).
Ovviamente, la somma di V1 e V2 è pari, a meno degli errori di approssimazione, alla tensione V.
6) determinare l’energia elettrostatica immagazzinata in ciascun dielettrico.
Usando l’espressione per il calcolo dell’energia nel condensatore si ha:
L’energia complessiva sarà data dalla somma delle due e potrà essere verificata con l’espressione per il calcolo dell’energia del condensatore:
L’energia accumulata nei singoli dielettrici si può trovare anche ricorrendo all’energia specifica ed al volume dei dielettrici:
Esercizio 3 (forza di attrazione tra le armature di un condensatore)
Si abbia un condensatore ad armature piane e parallele, carico alla tensione di VAB=600 [V] ed isolato. Il dielettrico sia aria secca con costante dielettrica relativa unitaria, le armature abbiano superficie S=1500 [cm2] e siano distanti d=5 [mm].
1) determinare la forza di attrazione che si esercita tra le armature.
Questa forza è pari al prodotto dell’energia specifica del dielettrico per la superficie delle armature, quindi per determinarla serve conoscere il campo elettrico nel dielettrico:
2) determinare il lavoro che bisogna compiere per allontanare le armature parallelamente tra di loro di 3 [mm].
Visto che le armature sono soggette ad una forza di attrazione, è evidente che per allontanarle bisogna compiere un lavoro. Allontanando le armature ed essendo il condensatore isolato si avrà che la quantità di carica elettrica Q presente sulle armature dovrà rimanere costante. Invece la capacità del condensatore diminuirà essendo essa inversamente proporzionale alla distanza. Per la legge del condensatore, essendo la quantità di carica elettrica pari al prodotto della tensione per la capacità, dovrà aumentare la tensione in misura proporzionale alla distanza affinché rimanga costante la carica . In definitiva, siccome la distanza e la tensione aumentano nella stessa misura, rimarrà costante il campo elettrico nel dielettrico e quindi rimarrà costante la forza di attrazione tra le armature. A causa di tutto ciò, per allontanare le armature bisognerà applicare una forza F’ uguale e contraria a F ed il lavoro DW che bisognerà spendere sarà pari al prodotto di detta forza per la distanza Dd della quale si allontanano le armature:
Osservazione: per il principio di conservazione dell’energia, il lavoro speso per allontanare le armature si ritroverà sotto forma di energia potenziale del campo elettrico tra le armature del condensatore. Tale energia aumenterà infatti da W a W’:
Esercizio 4 (forza elettrostatica sul dielettrico)
Il campo elettrico esercita forze elettrostatiche sia sui corpi conduttori che sui corpi isolanti (dielettrici) che esso investe. L’entità ed il verso di tali forze seguono un principio generale comune a qualunque sistema fisico dotato di energia potenziale. Secondo tale principio il sistema tende a deformarsi spontaneamente in modo tale da provocare la massima trasformazione di energia potenziale in lavoro meccanico.
Nel caso specifico le forze elettrostatiche che agiscono sui corpi conduttori o dielettrici soggetti all’azione di un campo elettrico tendono a produrre deformazioni tali da provocare un aumento della capacità elettrica del sistema in quanto, se il sistema è isolato, a parità di carica elettrica l’energia potenziale accumulata nel campo diminuisce se la capacità aumenta. Ecco allora spiegato perché tra le armature di un condensatore carico agiscono forze attrattive che, se le armature fossero libere di muoversi, determinerebbero il loro avvicinarsi e quindi l’aumento della capacità con conseguente trasformazione dell’energia potenziale del campo elettrico in lavoro meccanico di spostamento delle armature.
Se invece le armature sono impedite di muoversi e si avvicina un corpo dielettrico (avente costante dielettrica maggiore di quella del mezzo nel quale il campo si sviluppa) fino a farlo investire dal campo elettrico accade che sul corpo dielettrico agisce una forza elettrostatica tale da risucchiarlo all’interno del campo tra le armature facendo assumere al corpo una posizione finale che corrisponde a quella di massima capacità elettrica del condensatore; anche in questo caso si avrebbe la trasformazione di parte dell’energia potenziale del campo elettrico in lavoro meccanico sul corpo dielettrico risucchiato. Infine, se avvicino un corpo conduttore ad un condensatore fino a farlo lambire dal campo elettrico presente tra le armature accade ancora che il corpo conduttore viene risucchiato all’interno del campo ed assume la posizione finale per la quale diventa massima la capacità del condensatore con conseguente trasformazione di parte dell’energia potenziale del campo elettrico in lavoro meccanico.
Le considerazioni sopra fatte valgono sempre, anche nel caso di sistema non isolato, nel qual caso le trasformazioni energetiche dovranno avvenire rispettando i vincoli imposti dall’esterno.
A titolo di esempio consideriamo un condensatore avente le armature rettangolari di lati a=50 [cm] e b=70 [cm], poste alla distanza d=4 [mm], il dielettrico sia aria secca. Fra le armature sia applicata e mantenuta costante mediante un generatore elettrico la tensione V=2000 [V].
1) determinare la forza F con la quale è risucchiata tra le armature una lastra di mica (costante dielettrica relativa er=7) di ampiezza uguale ad a e spessore uguale a d e parzialmente immersa nel campo tra le armature.
Rispetto alla trattazione iniziale bisogna tenere conto del fatto che il condensatore non costituisce un sistema isolato in quanto è collegato ad un generatore elettrico che vincola al valore costante V=2000 [V] la tensione tra le armature.
Il condensatore si può immaginare come se fosse costituito da due condensatori tra di loro in parallelo, il primo di capacità C1 avente come dielettrico l’aria secca ed il secondo di capacità C2 avente come dielettrico la mica. La capacità complessiva per un generico valore x di penetrazione si può quindi esprimere come la somma delle due capacità:
Si osserva come la capacità del condensatore tenda ad aumentare all’aumentare della penetrazione x, il primo termine della sommatoria non dipende dalla penetrazione e rappresenta ovviamente la capacità del condensatore quando la penetrazione è ancora nulla.
Rispetto alla generica situazione di penetrazione x consideriamo ora cosa succede al sistema in conseguenza di una ulteriore penetrazione di valore Dx.
La capacità subirà una variazione che evidentemente sarà pari a:
Essendo costante la tensione applicata al condensatore (perché vincolata dalla presenza del generatore elettrico), l’aumento di capacità comporterà un aumento della quantità di carica elettrica sulle armature DQ ed un aumento dell’energia elettrica del campo DWE secondo le espressioni:
Naturalmente, considerando la maggiore quantità di carica elettrica DQ separata ai suoi poli, il generatore sarà chiamato ad erogare una maggiore quantità di energia elettrica DWG, nella misura:
Per il principio di conservazione dell’energia la maggior quantità di energia erogata dal generatore DWG dovrà corrispondere alla sommatoria della maggior energia elettrica del campo DWE e del lavoro meccanico WF compiuto dalla forza F che il campo elettrico esercita sulla lastra di mica:
dove:
Risolvendo rispetto F e sostituendo a DWE e DWG le rispettive espressioni si ottiene infine:
Si osserva che la forza F non dipende dal valore x della penetrazione, in altri termini essa rimane costante qualsiasi sia il valore di x ovvero la lastra di mica sarà risucchiata tra le armature da una forza costante. La forza si annullerà solo quando la lastra di mica avrà occupato interamente lo spazio tra le armature in quanto a tale posizione corrisponde la massima capacità elettrica del condensatore. Sostituendo nell’espressione alle varie grandezze i rispettivi valori si può calcolare l’intensità della forza:
2) determinare di quanto aumenta l’energia elettrostatica DWE immagazzinata dal dielettrico del condensatore in seguito alla penetrazione completa della lastra di mica tra le armature e l’energia WG fornita al sistema da parte del generatore di alimentazione.
Considerando che in tal caso Dx=b, basta calcolare in sequenza:
Si osserva che WG è il doppio di DWE ovvero l’energia fornita dal generatore per metà va ad incrementare l’energia di polarizzazione del dielettrico e per metà si trasforma in lavoro meccanico di spostamento della lastra.
Esercizio 5 (reti di condensatori)
Data la seguente rete di condensatori:
1) determinare la carica totale assorbita dalla rete di condensatori.
Allo scopo bisogna ridurre il gruppo di capacità ad un’unica capacità equivalente tra i nodi A ed E applicando le semplificazioni dei condensatori in serie o in parallelo e, se necessario, le trasformazioni stella-triangolo. Nel nostro caso non ci sono condensatori in serie o in parallelo, quindi bisogna procedere con una trasformazione. Ad esempio si può trasformare il triangolo C1, C3, C5 in una stella:
In seguito alla trasformazione compare il nuovo nodo O centro della stella cui fanno capo le tre capacità della stella i cui valori si determinano con le note relazioni:
Nel circuito che si ottiene si possono ridurre CD, C4 e CB, C2 in quanto entrambe le coppie sono in serie:
Le nuove capacità varranno:
Nel circuito che si ottiene si possono ridurre CD4, CB2 in quanto sono in parallelo:
Infine la capacità equivalente tra i nodi A ed E sarà data dalla serie di CA, CP:
Applicando la nota legge del condensatore si può ora calcolare la carica complessiva accumulata:
2) determinare la carica accumulata dal condensatore C5 individuando quale delle sue due armature si caricherà positivamente.
Allo scopo bisogna determinare la tensione tra i punti D, B essendo il condensatore in oggetto collegato tra di essi. Posso innanzitutto calcolare VOE utilizzando la rete (***), infatti in tale rete le capacità CA e CP sono in serie e quindi presentano la stessa carica che è anche la carica complessiva QT:
Ora, dalla rete (**), conoscendo VOE posso calcolare la carica QD4 della capacità CD4:
Dalla rete (*) vedo che CD4 è la serie di CD e C4 e quindi avremo che la carica QD4 sarà anche la carica di CD e C4, posso allora determinare la tensione ai capi di C4:
Con procedimento del tutto analogo trovo la tensione VBE ai capi di C2:
La polarità delle armature dei condensatori C1, C3, C4, C2 sono univocamente determinate in quanto è nota la polarità della tensione VAE che presenta il potenziale in A maggiore del potenziale in E; quindi i condensatori C1, C3 hanno positive le armature direttamente connesse al punto A, mentre i condensatori C4, C2 hanno negative le armature direttamente connesse al punto E. Ne consegue che le tensioni ai capi dei condensatori C4, C2 hanno l’orientamento riportato nello schema (*).
Risulta ora possibile determinare la tensione VDB presente ai capi del condensatore C5 e la carica del condensatore stesso:
Essendo risultata VDB negativa avremo che il potenziale nel punto B sarà maggiore del potenziale nel punto D e quindi il condensatore C5 si caricherà positivamente sull’armatura collegata al punto B.
Esercizio 6 (circuito in c.c. con condensatori)
Sia data la rete elettrica sotto raffigurata, in condizioni di regime stazionario e con generatori di tensione continua:
Determinare la carica elettrica di ciascuno dei tre condensatori presenti.
Soluzione
Per trovare la carica dei condensatori bisogna prima calcolare la tensione ai loro capi. Allo scopo bisogna analizzare la rete elettrica nei quali sono inseriti. Questa analisi va condotta tenendo presente che in corrente continua ed in condizioni di regime stazionario nei rami che presentano condensatori la corrente elettrica è nulla in quanto il condensatore costituisce una interruzione del circuito.
Al fine della tensione tra i punti MN ed AB si possono allora togliere i rami con condensatori in quanto in essi la corrente è nulla, in tal modo la rete da studiare si riduce alla seguente:
Tale rete si presta ad essere risolta mediante la formula di Millman:
Per trovare VMN devo prima calcolare I2:
Quindi calcolo VMN:
Sono ora in grado di calcolare la carica dei condensatori prendendo in considerazione il ramo ove sono inseriti e la tensione applicata al ramo stesso.
Per quanto riguarda C3, la presenza della resistenza R3 è ininfluente perché nel ramo non circola corrente. Fisso arbitrariamente il verso della tensione V3 applicata al condensatore:
Essendo VC3 positiva si caricherà positivamente l’armatura rivolta verso il punto A.
Per quanto riguarda C1, C2, essendo in serie accumuleranno la stessa carica che posso trovare attraverso la loro capacità equivalente:
Essendo VMN positiva, si caricheranno positivamente le armature rivolte verso il punto M.
Se si desidera conoscere la tensione ai capi di ciascun condensatore, si può facilmente trovare:
Fonte: http://www.itiscopernicofe.it/itis/didattic/matdid/3H/3%5EH-Elettrotecnica.doc
Autore del testo: non indicato nel documento di origine
Parola chiave google : Transitorio di carica e scarica nei condensatori tipo file : doc
Visita la nostra pagina principale
Transitorio di carica e scarica nei condensatori
Termini d' uso e privacy