Teorema di Bernulli

FLUIDODINAMICA

La parte della meccanica dei fluidi che studia il movimento dei liquidi e dei gas si chiama fluidodinamica. Quando si studia il movimento di un fluido, conviene pensarlo come “ideale”. Per gas ideale ( o perfetto) si intende un gas per il quale si possono trascurare le forze di interazione fra le molecole e in cui gli urti tra le molecole possono essere considerati perfettamente elastici. Un gas rarefatto si avvicina bene al modello di gas ideale. Per liquido ideale si intende un liquido incomprimibile (densità costante) e privo di viscosità. Mentre la condizione di incomprimibilità è praticamente soddisfatta da tutti i liquidi, quella relativa alla viscosità varia notevolmente da liquido a liquido.

Consideriamo il moto di un fluido entro una condotta ( Tubatura, alveo di un fiume…..)

Def 1. Si chiama linea di corrente la curva che ha per tangente in ogni suo punto il vettore velocità delle particelle del fluido.

Def 2. Si chiama vena fluida la parte di fluido limitata verticalmente da due sezioni S1 e S2 e lateralmente da un certo fascio di linee di corrente.

Def 3. Un fluido è in regime stazionario ( o permanente) quando scorre in modo che la forma delle linee di corrente non si altera nel tempo. Ciò significa che la pressione e la velocità delle particelle del fluido si mantengono in ogni punto costanti nel tempo, pur essendo diverse da luogo a luogo. In regime permanente le linee di corrente coincidono con le traiettorie delle particelle del fluido.

Def 4. Un fluido è in regime laminare quando i diversi strati del fluido scorrono gli uni sugli altri senza mescolarsi, come nel caso dell’acqua che esce da un rubinetto poco aperto.

Def 5. Un fluido è in regime turbolento quando è animato da moti vorticosi che producono un rimescolamento in tutta la massa del fluido, come nel caso dell’acqua che esce da un rubinetto molto aperto.

Legge di Bernoulli

Si consideri un fluido in regime stazionario che scorre in una condotta nel quale cambi, oltre all'area della sezione trasversale, anche la quota.

Per il principio di conservazione della massa del fluido si ha che nelle due sezioni 1 e 2 del fluido, che si muove di moto rettilineo uniforme, valgono le relazioni:

la quale mostra che la velocità del fluido è inversamente proporzionale alla sezione della vena.
La grandezza Q = volume/tempo = SV che rappresenta il volume di fluido che passa nell'unità di tempo si chiama portata volumica e si misura in m3/s. La grandezza SVd si chiama portata massica e si misura in Kg/s.

Bernoulli, nel 1738, dimostrò la seguente uguaglianza:

ovvero:
(2) p + dgh + 1/2dv2 = cost

dove i tre termini della (2) vennero cosi’ chiamati:

p = pressione vera o piezometrica ( se il tubo è aperto p è la pressione atmosferica)
dgh = pressione d'altezza di Stevino (dovuta alla gravità)
1/2dv2 = pressione dinamica (dovuta al moto del fluido)

Es 1. L’equazione di Bernoulli ha validita’ generale nel senso che descrive il comportamento di un fluido anche quando questo e’ fermo. Infatti, in tal caso, la (1) diventa la nota legge di Stevino:

Es 2. Se il fluido scorre in un condotto orizzontale munito di strozzatura, essendo h1=h2, si ricava dalla (1) che se v1 e v2 sono le velocità nelle due sezioni S1e S2:

Pertanto, quanto maggiore e’ la velocità del fluido (diminuzione della sezione per l’equazione di continuità) tanto minore e’ la sua pressione, e viceversa.

PRINCIPIO DI BERNOULLI: alcuni esempi

Applicando il principio di Bernoulli abbiamo osservato che se si riesce a far sì che il fluido si muova rapidamente su un lato di una cosa, su quel lato la pressione del fluido è minore; vediamo come tale scoperta la si applica in diversi situazioni.

Soffiando tra due fogli sospesi verticalmente l'aria viene sospinta parallelamente ad essi ed i fogli si avvicinano perché si muovono nella direzione che presenta minore pressione. Inoltre, se si soffia aria sulla superficie superiore di un foglio tenuto orizzontalmente, questo si solleva, poiché la pressione dell’aria sulla superficie superiore è minore di quella sulla superficie inferiore.

Se si apre il finestrino dell'auto appena un filo noterete che il fumo prodotto all'interno dell'auto viene trascinato fuori grazie alla minor pressione esterna. Se sporgiamo la mano dal finestrino di un'auto in corsa sentiamo un aumento della pressione associata alla velocità relativa dell'aria esterna e non una diminuzione. In questo modo però noi sentiamo la pressione e il flusso contemporaneamente: la pressione deve essere misurata in modo che non interferisca con il flusso.

Quando l'aeroplano si muove, l'aria urta contro l'orlo anteriore dell'ala e si divide: parte scorre sotto l'ala, parte sopra. La parte superiore dell'ala è sempre curva, e quindi un po’ più lunga della faccia inferiore, ma le particelle dell'aria impiegano lo stesso tempo a percorrere le due facce. Le particelle che scorrono sulla faccia superiore dovendo fare un percorso più lungo nello stesso tempo sono più veloci e ciò alleggerisce la pressione su tale faccia. La maggior pressione sotto l'ala produce la forza verso l'alto che agisce sull'ala stessa.

Quando si forma una tromba d’aria avviene che le finestre delle case esplodono verso l’esterno, oppure i tetti delle case vengono sollevati. Perchè l’apertura delle finestre durante questi fenomeni aiuta, sebbene ciò possa sembrare un controsenso?Durante tale fenomeno la velocità del vento e’ molto elevata e quindi secondo Bernoulli ciò causa una bassa pressione in prossimità degli edifici. La pressione interna alle abitazioni dovuta all’aria risultando maggiore di quella esterna determina una forza risultante chè può frantumare le finestre. Aprendo le finestre, la differenza di pressione fra l’interno e l’esterno diminuisce.

Versare acqua da un bicchiere. Nell'aggirare il bordo del recipiente la sezione del liquido si restringe e per mantenere costante la portata aumenta in velocità di scorrimento, e se la velocità aumenta diminuisce la pressione che il fluido stesso esercita sulle superfici con le quali è a contatto. Se ovunque altrove la pressione del liquido è in equilibrio con quella atmosferica, dopo il bordo essa si abbassa per il motivo appena spiegato, per cui la pressione atmosferica stessa tiene il liquido schiacciato contro il fianco del recipiente.
È un effetto critico che si arresta non appena il liquido incontra delle irregolarità e addirittura non si verifica se il liquido viene versato velocemente impedendo che la sezione del fluido sul bordo si restringa sufficientemente.

Determinare la velocità di deflusso di un liquido da un recipiente. Legge di Torricelli.

Un recipiente pieno d'acqua ha un foro apribile alla profondità h dalla superficie libera del liquido ed è appoggiato su di un tavolo. Se il foro è ad un'altezza h2 rispetto al pavimento, quale è la velocità di deflusso?
Applichiamo l'equazione di Bernoulli a due sezioni: quella S1 corrispondente alla superficie libera del liquido nel recipiente e la sezione S2 del foro di uscita. Dal momento che la superficie libera è molto grande rispetto alla sezione del foro di uscita si può ritenere che la velocità con cui si abbassa tale superficie sia piccolissima; ciò equivale a ritenere praticamente nulla la velocità v1 con cui si muove il liquido in corrispondenza di S1. Inoltre, la pressione p1 che si riscontra in corrispondenza di S1 è la pressione atmosferica pa. Poiché si ritiene di poter identificare anche p2 con pa, la relazione (1) diventa:

Semplificando l’espressione per d, si ricava la velocità cercata:

Questo risultato esprima la legge già scoperta da Torricelli nel 1641 secondo cui “La velocità di deflusso di un liquido da un recipiente e’ la stessa di quella che acquisterebbe un grave se cadesse liberamente nel vuoto dalla stessa altezza del liquido” (ottenuta applicando il principio di conservazione dell’energia)"

Mostriamo che la (1) può essere espressa nelle seguenti forme equivalenti:

Presi due punti qualunque del fluido si ha che:

spostando tutto al primo membro otteniamo:

Dividendo entrambi i termini per il peso specifico g = dg otteniamo:

I tre termini dela (2) rappresentano delle energie specifiche cioè riferite all’unità di volume. Infatti se moltiplichiamo ogni termine della (2) per il volume V del fluido risulta evidente che tali termini rappresentano tutti delle energie:

E’ evidente ora che la legge di Bernoulli esprime il principio di conservazione dell’energia applicata ad un fluido in moto stazionario. Il primo termine rappresenta la cosiddetta energia di pressione dovuta alla macchina che compie lavoro sul fluido, il secondo è l’energia potenziale dovuta all’altezza del fluido, il terzo è l’energia cinetica dovuta al movimento del fluido.

Teorema di Bernulli