Acustica

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Il Suono
La velocità del suono
Andamento Spaziale
Campo di Frequenza
Pressione Sonora
Legami tra Pressione e Velocità

L’acustica è una scienza che nasce come tale quando i sistemi elettronici di gestione del suono non erano ancora nati.
Questa conosce un grande sviluppo a partire dal 1991 infatti è da qui che il suo studio viene coadiuvato da dispositivi elettronici e da tecniche di elaborazione numerica del segnale il cui sviluppo ne è addirittura stato fagocitato.
L’acustica è quindi la scienza che studia il suono.
Oggi tuttavia la gestione del suono segue uno schema ben definito.
Il suono viene elettronicamente convertito in segnale elettrico tramite una operazione di trasduzione questo poi diviene una sequenza numerica; quest’ultimo passaggio da segnale elettrico a numeri è detto di conversione; è logico pensare che tale percorso si possa seguire anche in direzione opposta.

Fig.1 Lo schema illustra la logica con cui si esegue la progettazione di impianti per la riproduzione sonora.

Il funzionamento di un impianto di diffusione sonora che utilizza microfoni digitali ad esempio segue precisamente lo schema di figura uno in entrambe i versi.
Vi è tuttavia la possibilità di saltare uno di questi stadi.
Esistono cioè apparati che non utilizzano tutti e tre i blocchi dello schema, i sistemi analogici per esempio si fermano alla trasduzione del segnale acustico in elettrico, altri, addirittura, si arrestano quando al primo stadio cioè ai cosiddetti sistemi acustici che non necessitano di parte elettrica.
Un esempio è costituito dagli interfoni metallici usati sulle vecchie navi.
Il nostro compito ed obbiettivo rimane comunque l’apprendimento di tecniche che ci consentano di effettuare l’analisi sonora e il pieno controllo del suono.

Suono

Il suono è una forma di trasporto di energia meccanica che avviene senza trasporto di materia.
Tale trasporto per potersi compiere necessita di un mezzo.
Il mezzo deve soddisfare due caratteristiche: deve essere dotato di massa e di elasticità; proprietà che gli conferiscono il nome di elastico-massivo.
Il suono insomma è una delle tante forme in cui si può presentare l’energia infatti si usa spesso parlare di energia acustica; l’aspetto energetico è ancora una volta in primo piano.

Oggi si è in grado di misurare il flusso di energia e dimensionare proprio sulla base di queste misurazioni la potenza (watt) di un sistema acustico.
Ritorniamo ora al concetto di mezzo di propagazione.
In proposito è utile citare l’esperimento della sveglia.
Se si pone una sveglia sotto una campana di vetro e si aziona la suoneria si osserva che il suono può propagarsi, ma non appena tramite una pompa da vuoto si toglie l’aria dalla campana il suono si affievolisce fino a scomparire.

Fig.2 L’esperimento della sveglia dimostra che una volta spinto il vuoto, cioè privata l’onda acustica del mezzo, la propagazione acustica diventa nulla.

Questo conferma quanto detto fino ad ora il suono necessita cioè di un mezzo, l’aria in questo caso, per potersi propagare.
Il modello fisico di tale mezzo è una successione di volumi dotati di massa e di molle connesse tra loro, se io perturbo la quiete di uno di questi volumi questo inizierà ad oscillare attorno alla sua posizione di equilibrio caricando e scaricando le molle che la connettono alle masse adiacenti che, a loro volta, iniziano ad oscillare.
Il fenomeno ha un certo tempo di propagazione che, come vedremo, dipende solo dal mezzo.

Fig.3 La figura rappresenta in maniera intuitiva il mezzo elastico massivo di cui necessita l’onda per propagarsi. Come si è cercato di rappresentare le particelle del mezzo vengono messe in movimento rispetto ad una posizione iniziale .

La velocità del suono

Per intuire l’origine di un’onda sonora si pensi ad un cilindro pieno di aria, il mezzo, all’interno del quale scorre uno stantuffo azionato da un albero mosso a sua volta da un motore che possiede una certa velocità angolare (w).

Fig.4 Il disegno rappresenta schematicamente un generatore di onde acustiche, il pistone infatti perturba lo stato di quiete delle particelle del mezzo che si mettono ad oscillare intorno ad una iniziale posizione di equilibrio.

Grazie alla legge dell’aderenza che ereditiamo dalla fluidodinamica avremo che il primo strato di particelle aderenti alla superficie del pistone asseconderanno il movimento di questo seguendolo nelle sue oscillazioni.
Se questo sistema si avvale di una biella con raggio r e velocità angolare wallora le oscillazioni dello stantuffo ad essa collegato e quindi delle particelle che vi aderiscono segue la legge del moto armonico:

(1)

Dove X rappresenta la posizione delle particelle al variare del tempo, r il raggio della biella che muove il pistone ed w la frequenza.

.

Fig.5 Andamento spaziale delle particelle in funzione del tempo.

La legge del moto appena vista ci impone tuttavia l’introduzione di due grandezze di cui seguiamo nella definizione.
La prima il periodo, indicato con la lettera T , che misurato in secondi (s) è il tempo impiegato dal nostro pistone a compiere un ciclo del suo movimento oscillatorio; sarebbe il duale del periodo della sinusoide.
La seconda grandezza da introdurre è la frequenza che definita come l’inverso del periodo, si indica con la lettera f.
Contrariamente a quanto si sarebbe tentati di credere non si misura in () ma con una regolare unità di misura, fornita dal sistema internazionale, l’Hertz (Hz).
Ora è logico pensare che se il mio cilindro compie cinquanta oscillazioni al secondo l’onda acustica da esso prodotta avrà una frequenza di 50 Hz.
Una terza e non meno importante grandezza da definire è l’ampiezza, A, questa rappresenta l’escursione spaziale rispetto alla posizione di equilibrio che l’onda acustica porta ad avere alle particelle del mezzo.
L’ampiezza , che si misura in metri (m), dipende da quanto è “forte” il suono; è una grandezza fondamentale nelle operazioni di amplificazione che hanno il solo scopo di aumentare l’ampiezza del segnale trattato, non variando la frequenza.
Nel caso dell’onda generata dal pistone questa è pari a r cioè al raggio della biella.
A questo punto possiamo ritoccare la legge del moto vista precedentemente inserendo l’ampiezza al posto di r:

(2)

Come sappiamo questa legge indica la posizione dello stantuffo e quindi delle particelle ad esso aderenti al variare del tempo quindi la sua derivata dovrà indicare la velocità u con cui queste si muovono intorno alla loro posizione di equilibrio:

(3)

come si vede siamo passati da una funzione seno a una coseno e questo è normale infatti quando l’oscillazione è massima la velocità è nulla e nell’istante in cui la particella si trova nella sua posizione di equilibrio la velocità è max.

Fig.6 I due grafici mostrano la caratteristica di velocità delle particelle ed andamento spaziale di queste in funzione del tempo. Quando è massima una è nulla l’altra.

Per ottenere l’accelerazione delle particelle è ovvio dover derivare rispetto al tempo la velocità quindi l’accelerazione indicata con la lettera (a) è:

(4)

La velocità delle particelle di cui fino ora si è trattato non è da confondersi con quella di propagazione del suono.
Questa infatti, come già detto, dipende dal mezzo.
La particella perturbata dall’onda acustica inizia ad oscillare mettendo in movimento quelle adiacenti, potremmo dire quindi che la velocità con cui si propaga il suono in un mezzo corrisponde alla distanza per cui le particelle risultano perturbate diviso il tempo che tale propagazione di perturbazione ha impiegato a manifestarsi.
L’operazione di derivazione della legge del moto mette in risalto un altro interessante aspetto di un’onda acustica.
Infatti le derivate portano nella velocità e nell’accelerazione delle particelle un termine che è proporzionale alla frequenza.
Questo fa si che diagrammando spostamento, velocità e accelerazione in funzione della frequenza si pervenga ad un risultato del tipo descritto in figura:

Fig.7 I grafici mostrano alla luce delle considerazioni analitiche le caratteristiche rispettivamente di andamento spaziale velocità di oscillazione delle particelle ed accelerazione delle particelle, al variare della frequenza.

Nella realtà tuttavia la cose non vanno proprio così infatti più spesso le sorgenti di suono non sono a spostamento costante ma sono a velocità costante; prendendo un altoparlante ed applicandogli sempre la stessa tensione e variando la frequenza arriverò ai risultati riportati in figura:

Fig.8 Grafici dell’andamento spaziale, velocità ed accelerazione delle particelle al variare della frequenza questa volta alla luce dei dati sperimentali.

Solitamente però la velocità è molto piccola rispetto alla velocità del suono quest’ultima infatti è dipendente unicamente dal mezzo mentre quella delle particelle dipende da quanto segnale portano; si pensi ad esempio ad un processo di amplificazione che a frequenza costante aumenta l’ampiezza dell’onda nella stessa unità di tempo allora le particelle dovranno spazzare una distanza di dimensioni superiori e questo è possibile grazie ad un aumento di velocità delle particelle.

Andamento spaziale

Per comprendere meglio i concetti che esprimeremo consideriamo nuovamente il cilindro in cui si muove il pistone e prendiamo un punto di ascolto al suo interno posto ad una distanza R dal pistone; è ovvio pensare che la legge del moto delle particelle in tale punto sia a meno di un ritardo uguale a quella che ho per le particelle che aderiscono al pistone.

Fig.9 Il disegno mostra la ovvia e più probabile possibilità di porre un punto di ascolto ad una certa distanza dalla sorgente acustica; la distanza in questo caso è indicata con la lettera R.

Tale ritardo è dovuto al tempo che l’onda acustica impiega a giungere all’orecchio dell’ascoltatore posto alla distanza R dalla sorgente, quindi in tale punto la legge del moto sarà:

(5)

dove t è lo spazio che l’onda deve percorrere e c è la velocità di propagazione del suono.
Il loro rapporto rappresenta il tempo di ritardo.
Il rapporto (w/c) è una nuova grandezza detta numero d’onda e le sue dimensioni sono [] è solitamente rappresentata con la lettera k.
Alla luce di questa nuova grandezza la legge del moto diviene:

(6)

In cui il segno della somma, in parentesi, è dettato dal fatto di considerare il punto di ascolto a monte o a valle della sorgente.
Rimane ora da mettere in luce il rapporto tra w ed f; la frequenza rappresenta infatti il numero di giri che il mio pistone, per esempio, compie nell’unita di tempo.
w è la pulsazione che invece rappresenta il numero di radianti al secondo e poiché a fare un giro completo ci sono 2p radianti alloraÞ w=2pf .
Ancora una volta modifichiamo la legge del moto che diviene:

(7)

Supponiamo ora di poter fotografare l’onda che si propaga nel cilindro ed ammettiamo che l’istante in cui la foto viene scattata sia quello di massima estensione del pistone.

Fig.10 I disegni mostrano come ad una estensione massima del pistone corrisponda la minima velocità mentre per posizioni di equilibrio del pistone corrisponda la massima.

Il diagramma, riportato in figura dieci, in ascissa riporta la distanza R dal punto di emissione in ordinata la velocità delle particelle che infatti è come in figura nulla quando l’estensione è massima mentre sarà massima quando il pistone è nella posizione di equilibrio come nella figura sottostante.
La distanza tra due massimi o due minimi successivi si dice lunghezza d’onda; si indica con la lettera l.
Se si passa dal dominio dello spazio al dominio del tempo questa grandezza corrisponde al periodo.

A questo punto siamo in grado data una certa frequenza ed una certa velocità del suono di determinare quale è la lunghezza d’onda corrispondente.
La frequenza infatti è il reciproco di un tempo; la lunghezza d’onda è uno spazio percorso, quindi, essendo la velocità spazio diviso tempo, c=lf Þ l=c/f, allora tanto più è elevata la frequenza tanto più la lunghezza d’onda è piccola.
Quest’ultima relazione ha un notevolissimo significato pratico.

Si consideri infatti un cubo di lato un metro innanzi al quale è posta una sorgente sonora che emette suoni a diverse frequenze.
L’aumento della frequenza diminuisce la lunghezza d’onda e viceversa; quindi le dimensioni dell’onda ad alte frequenze divengono trascurabili rispetto a quelle del cubo che costituisce un ostacolo alla propagazione sonora.
Facciamo alcuni esempi: per f=20000Hz Þl=17mm ho dimensioni irrisorie rispetto a quelle del cubo che quindi oscurerà l’onda acustica, f=1000Hz Þl=0.34m questa è una situazione ibrida infatti dietro al mio cubo si formeranno complessi fenomeni di interferenza infine per f=20Hz Þl=17 m questavolta sono le dimensioni dell’ostacolo ad essere trascurabili rispetto a quelle dell’onda che, quindi, non sarà schermata.

Tab.1 La tabella compilata con un foglio di calcolo riporta la lunghezza d’onda corrispondente ad una certa frequenza quando il mezzo propagante è l’aria.

Fig.11 Il grafico ottenuto interpolando i dati ottenuti tramite il foglio di calcolo mostra l’andamento della lunghezza d’onda al variare della frequenza.

Campo di frequenza
Oggi la definizione di campo di frequenza è dettata dalla normativa italiana che sancisce che è suono qualsiasi segnale con frequenza compresa tra venti e ventimila Hertz.
Range a cui è consentito un margine di qualche Hertz poiché le frequenze indicate sono quelle di centro banda di filtri che hanno una certa frequenza di taglio e quindi una certa ampiezza intorno a quella di centro banda.
Il notevole range di frequenze che il suono può assumere, tre ordini di grandezza spesso può essere fonte di alcuni problemi.
Infatti quando si lavora su segnali con lunghezza d’onda che assumono valori in un intervallo più ristretto posso considerare i valori intermedi senza invalidare il risultato della sperimentazione.
Diversamente per il suono ciò che succede alle basse frequenze è diverso da ciò che succede alle medie od alle alte frequenze.

Fig.12 Campo di frequenza del suono

Pressione sonora
Fino ad ora abbiamo trattato uno dei fenomeni che caratterizzano l’acustica.
Tale fenomeno è il movimento delle particelle caratterizzato da spostamento, velocità ed accelerazione.
Tuttavia esiste una nuova grandezza fondamentale per fare luce su quest’ultima ricordiamo la natura oscillatoria del campo sonoro.
Le particelle che costituiscono il campo sonoro infatti oscillano intorno ad una certa posizione di equilibrio; quindi l’energia posseduta da tali particelle è la somma di due contributi energetici quello cinetico e quello potenziale.
Il contributo cinetico è fruibile fino a che la particella è in movimento quando questa si ferma per un attimo prima di riportarsi nelle posizioni da cui proveniva l’energia diviene potenziale.
Per il principio di conservazione dell’energia infatti l’energia posseduta deve essere sempre la stessa.
Ora non rimane che chiederci: sotto che forma è presente l’energia potenziale nel campo sonoro?
Sotto forma di pressione.
Anche se questo fatto potrebbe essere difficilmente intuibile si pensi al pistone che genera onde acustiche.
Quando lo stantuffo scorre in avanti all’interno della cavità sposta repentinamente una quantità di particelle.
Tuttavia, più a valle dello stantuffo, un’altra quantità di particelle è ancora in quiete e oppone una resistenza a tale evento.
Mi trovo quindi nella situazione di un pistone che producendo una diminuzione di volume in una cavità contenente un gas ne provoca l’aumento di pressione.
Dovendo tali movimenti ripetersi per centinaia di volte al secondo è ovvio che tali movimenti risultino essere molto repentini, quindi posso ritenere tale evento come una trasformazione adiabatica anche se il sistema non è isolato.
Questo significa che il gas all’interno della cavità si sta muovendo secondo una legge descritta dalla seguente formula:

Fig.13 Il grafico mostra come la pressione acustica oscilli intorno ad un valore di pressione che è quello in cui si trova il mezzo di propagazione.

Sia allora p’ la cosiddetta pressione sonora posta p(t) la variazione della pressione complessiva che fluttua nel tempo e la pressione atmosferica allora si avrà che:

(8)

Diagrammando questa legge avremo:

Fig.14 Grafico della pressione acustica in funzione del tempo.

Il semiasse negativo delle pressioni non ha una vera e propria realtà fisica,
lo zero infatti rappresenta il fatto che la pressione è centrata rispetto alla pressione a cui si trova il mezzo; varia cioè in un suo intorno come è ovvio che sia.
Quindi quando tale grandezza assume valori negativi significa che assume valori di pressione localmente inferiori a quelli della pressione di riferimento.
Le pressioni in gioco in campo sonoro sono comunque sempre piccolissime, si raggiunge infatti la pressione di un Pascal quando il suono raggiunge un valore di novantaquattro Decibel; si capisce quindi che le variazioni di pressione intorno a quella atmosferica sono pressoché infinitesime.
Le equazioni che descrivono la pressione in campo sonoro sono quelle, già trovate nella termodinamica, dei gas perfetti:
(9)

Dove g è il rapporto tra calore specifico a pressione costante e calore specifico a volume costante mentre è il punto di equilibrio intorno a cui avviene la fluttuazione.

Ricordando che la densità è il reciproco del volume () specifico posso scrivere la legge dei gas perfetti come:
(10)

Quindi la pressione in funzione della densità risulta essere:

(11)

La pressione non cresce linearmente con la densità ma esponenzialmente cioè con la densità elevata alla g.

Fig.15 Andamento della pressione in funzione del volume.

Possiamo calcolare la pendenza di questa curva tramite la sua derivata e nell’ipotesi di piccoli spostamenti valutarla nel punto di equilibrio che come già detto si riferisce nel nostro caso alla pressione atmosferica, otteniamo così:

(12)

In particolare un’analisi dimensionale della derivata mi fa scoprire che questa ha le dimensioni di una velocità al quadrato infatti (; quindi questa velocità che non è quella delle particelle, ma bensì quella di propagazione del suono nel mezzo è pari a:

(13)
tuttavia il rapporto per l’equazione di stato dei gas perfetti è pari ad il prodotto delle costante di Boltzman per la temperatura misurata in Kelvin questo ci consente di ritoccare la relazione appena scritta che quindi diviene:

(14)

questo conferma quanto supposto precedentemente cioè che la velocità di propagazione dipende dal mezzo e non dalla ampiezza o dalla frequenza.
Inoltre questa formula mette in evidenza una significativa proporzionalità tra velocità e temperatura.
Quest’ultima considerazione rende possibile la cosiddetta termometria acustica.
Uno degli impieghi di questa branca dell’acustica è la determinazione della temperatura in ambienti difficilmente accessibili anche dalle sonde di misurazione.
Per la misurazione della temperatura in tali ambienti, le fornaci ad esempio, si dispongono due microfoni che distanziati tra loro rilevano la presenza in un certo istante di un’onda acustica conoscendo quindi la distanza tra i due microfoni e il tempo che l’onda ha ritardato su un microfono posso tramite la formula ) risalire alla temperatura.
Nei liquidi e nei solidi valgono relazioni analoghe a quelle viste per i gas.
Nei liquidi infatti valgono le seguenti formule:
(15)
Dove b è chiamata modulo di elasticità isoterma e rappresenta la attitudine di un liquido a crescere di pressione per una certa variazione di volume.
Tuttavia essendo i liquidi solitamente poco comprimibili ho che la velocità del suono in un mezzo di tipo liquido è spesso abbastanza elevata.
Nell’acqua è di circa millecinquecento metri al secondo.
Questa è anche la causa delle diffusissima incapacità di determinare la provenienza di un suono quando siamo in immersione infatti la determinazione della provenienza di una suono è principalmente basata sul tempo di ritardo che l’onda acustica accumula nel raggiungere l’orecchio più lontano dalla sorgente sonora.
Nel corpo umano le orecchie sono distanziate circa di centosettanta millimetri in aria la velocità del suono è di circa trecentoquaranta metri al secondo quindi un segnale direzionato lateralmente impiega un millisecondo in più nel raggiungere l’orecchio più lontano dalla sorgente sonora rispetto a quanto impieghi a raggiungere quello più vicino.
Il tempo di ritardo aiuta quindi il cervello evolutivamente addestrato a riconoscere la provenienza dell’onda acustica; in acqua però la velocità di propagazione qiuntuplica e quindi il tempo di ritardo è cinque volte più piccolo rispetto a quello che siamo abituati a registrare.

Questo provoca un disorientamento del cervello che quindi lo ritiene provenire sempre dalla stessa direzione cioè quella frontale.
Nei solidi la velocità di propagazione è direttamente proporzionale al modulo elastico di compressione ed inversamente alla densità quindi:

(16)

Aria	340 m/s	Alluminio	5400 m/s
Acqua	1480 m/s	Idrogeno	1280 m/s
Quarzo	5486 m/s	Elio	650 m/s
Acciaio	6096 m/s	Freon	156 m/s
Rame	3650 m/s	Vetro	4000-5500 m/s
Ferro	5130 m/s	Piombo	1230 m/s
Gomma vulcanizzata	54 m/s	Granito a 293 K	6000 m/s
Legno di Quercia	3837 m/s	Legno di Pino	3313 m/s

Tab.2 La tabella riporta alcune velocità di propagazione del suono caratteristiche degli elementi citati .

Nella teoria dei modelli si devono come sappiamo rispettare i così detti raggruppamenti dimensionali in acustica il raggruppamento dimensionale è del tipo dove wè la frequenza L è la lunghezza caratteristica del modello e c la velocità di propagazione nel mezzo.
Spesso succede però che una riduzione in scala porti come normale conseguenza algebrica un aumento spropositato delle frequenze provocando un inevitabile mal funzionamento degli strumenti di misura.
Per evitare questo tipo di problemi si suppone il mezzo tale per cui la sua velocità caratteristica di propagazione del suono sia inferiore a quella dell’aria ciò rende più preciso il dimensionamento.

Legame tra pressione e velocità

Per capire il rapporto tra pressione e velocità si pensi nuovamente all’esempio del pendolo in cui quando la velocità è massima l’energia potenziale è nulla e viceversa e quando è massima l’energia potenziale è nulla la velocità Se si diagramma la pressione in funzione della velocità si nota che laddove la velocità è massima la pressione è nulla e dove la pressione è massima la velocità è nulla.
Matematicamente questo si spiega dicendo che la velocità è descritta da una funzione cosenusoidale
(17)
mentre la pressione da un sinusoidale anche se quest’ultima relazione verrà dimostrata in seguito:

(18)

In proposito è significativo sottolineare una interessante analogia tra la propagazione acustica attraverso un mezzo elastico-massivo e la propagazione di una corrente alternata in un circuito elettrico.
In questo infatti facendo viaggiare corrente si hanno due grandezze imprescindibili la tensione V e la corrente I si può giungere alla conclusione che la pressione in acustica sta alla tensione in elettrotecnica come la velocità sta alla corrente. Anche per l’acustica come per la situazione elettrica il trasporto energetico risulta essere massimo quando le due componenti pressione e velocità sono in fase.

Fig.16 Il disegno raffigura tramite l’idea del pendolo come in casi di completo sfasamento tra velocità delle particelle e pressione il massimo di una corrisponde all’annullamento dell’alta e viceversa.

Se la situazione è invece come quella di figura sedici cioè quando ho forza non ho velocità e quando ho velocità non ho forza allora il trasferimento di energia è nullo.
Quest’ultimo sarebbe un caso di onda stazionaria cioè sistema dove energia c’è, ma oscilla spostandosi periodicamente tra energia cinetica e potenziale; considerazione che dovrebbe riportarci all’idea del pendolo in cui l’incessante travaso di energia cinetica in potenziale e viceversa fa si che questa si conservi ma non si propaghi.
Quando lo sfasamento è di novanta gradi si dice che il sistema è energeticamente conservativo cioè l’energia non si propaga.
Mentre in condizioni di propagazione pressione e velocità sono in fase e quindi si ha trasporto di energia.
Nella realtà pressione e velocità non saranno mai ne in fase ne sfasate di novanta gradi ma saranno generalmente di un determinato angolo compreso tra zero e novanta gradi.
Questo fatto è stato compreso solo all’inizio degli anni novanta e solo di recente è stata elaborata una teoria matematica in grado di studiare il suono in questa più veritiera situazione che tiene conto di una quota di campo che propaga energia e di una quota di campo oscillante che non propaga energia

Fonte: http://www.ramsete.com/dispense00/galeazzi128082.doc.

Ringraziamenti all’ autore : Marco Galeazzi – Lezione del 13/11/00 – ora 14:30-16:30

Acustica

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(Dimostrazione di procedure di taratura di microfoni e fonometri)
(Principi di uso del fonometro integratore in misure di rumore nell’ambiente esterno e di lavoro)

NOTA: in corsivo sono indicate possibili esperimentazioni di laboratorio (o dimostrazioni di)

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