Teorema di Gauss enunciato per il campo elettrico

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Teorema di Gauss enunciato per il campo elettrico

(prima equazione di Maxwell)

Enunciato

Nel vuoto, il flusso del campo elettrico attraverso una qualunque superficie chiusa è uguale alla carica interna fratto la costante dielettrica del vuoto.

In sintesi:

Dimostrazione

Per fare la dimostrazione in modo rigoroso servirebbero alcuni strumenti matematici di cui ancora non disponiamo. Procediamo quindi per via elementare dimostrando il teorema in casi particolari e generalizzando poi il risultato.

1° caso:

Sorgente di campo elettrico: carica puntiforme Q (per semplicità positiva, ma la dimostrazione è analoga in caso di carica negativa)

Superficie chiusa considerata: una generica sfera di raggio r che ha il centro in Q.

In questo caso sappiamo che il campo è radiale, uscente e di modulo pari a .

Osserviamo che su ogni superficie infinitesima la normale e il campo sono paralleli, quindi:

inoltre ogni punto della sfera si trova a distanza fissa r dalla carica sorgente, quindi il modulo del campo è costante () e si può portar fuori dall’integrale (o, se pensiamo ad una somma infinita di termini infinitesimi, si può raccogliere), quindi:

2° caso

Sorgente di campo elettrico: carica puntiforme Q (per esempio positiva, ma la dimostrazione è analoga in caso di carica negativa)

Superficie chiusa considerata: una generica superficie contenente Q. (superficie verde)

Ricordiamo che dal punto di vista qualitativo il flusso rappresenta il numero di linee di campo che attraversano una superficie, in particolare, se due superfici sono attraversate dalle stesse linee di campo, i flussi attraverso di esse saranno uguali.

Guardando il disegno, notiamo che le linee di campo che attraversano la sfera (gialla) sono tutte e sole quelle che attraversano la generica superficie chiusa (verde), per quanto ricordato sopra:

, ma data la dimostrazione fatta nel 1° caso si avrà che

, cioè la tesi.

3° caso

Sorgente di campo elettrico: carica puntiforme Q (per esempio positiva, ma la dimostrazione è analoga in caso di carica negativa)

Superficie chiusa considerata: una generica superficie NON contenente Q. (superficie azzurra)

Ricordiamo che dal punto di vista qualitativo il flusso rappresenta il numero di linee di campo che attraversano una superficie, in particolare, data una superficie chiusa, se il numero di linee entranti è uguale a quello di quelle uscenti, il flusso è nullo.

Guardando il disegno si osserva che ciascuna linea entra ed esce dalla superficie azzurra, dando così un contributo nullo. Quindi, se la carica non è contenuta nella superficie, in accordo con quanto vogliamo dimostrare

4° caso

Sorgente di campo elettrico: una generica distribuzione di carica (N cariche puntiformi)

Superficie chiusa considerata: una generica superficie.

Per considerare il caso generale, ricordiamo il principio di sovrapposizione degli effetti, cioè il campo elettrico generato da più sorgenti è la somma vettoriale dei campi che ciascuna sorgente genererebbe se fosse da sola: , essendo il flusso un operatore lineare (cioè il flusso di una somma è uguale alla somma dei flussi), si potrà scrivere:

Per le dimostrazioni fatte nei casi precedenti, i termini di questa somma sono nulli se la carica non è contenuta nella superficie chiusa, oppure pari al valore della carica fratto la costante dielettrica del vuoto se la carica è contenuta nella superficie chiusa); in pratica ciò che rimane è , cioè la tesi.

Nell’esempio rappresentato avremmo:

Fonte: http://www.liceomeda.it/new/documenti/0809/Materiali/Teorema%20di%20Gauss.doc

Sito web da visitare: http://www.liceomeda.it/

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