Legge di Hooke formula e definizione

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Consideriamo una molla

Se ad una estremità appendiamo una massa m essa subirà un allungamento l ,se appendiamo una massa doppia anche l’allungamento sarà doppio , se triplichiamo la massa si triplica anche l’allungamento …questa proprietà delle molle permette di costruire degli strumenti in grado di misurare le forze : i dinamometri .

Ogni volta che un dinamometro si allunga vuol dire che ad esso è applicata una forza per la legge di Hooke ( F = - kx ) l’allungamento è proporzionale alla forza applicata Il dinamometro permette una misura indiretta della forza , quello che misuriamo non è la forza ma la deformazione della molla contenuta nel dinamometro .

Gli allungamenti di una molla sono direttamente proporzionali alle masse applicate , costruendo un grafico otteniamo punti allineati con l’origine degli assi cartesiani .

L’unità di misura della forza è il newton ( N ) 1 N = 1kg 1m/s2 .

Fonte: http://www.reteintercultura.it/attachments/171_LE%20FORZE.doc

autore del testo non indicato nel documento di origine del testo

Legge di Hooke

Si può dimostrare che un corpo elastico soggetto ad una forza F subisce una deformazione che è direttamente proporzionale all'intensità della forza applicata.
Consideriamo una molla elastica del tipo elicoidale e diciamo la su alunghezza a riposo (in assenza di forze esterne).
La legge di Hooke afferma che la forza applicata alla molla elastica è diretaamente proporzionale alla variazione di lunghezza che subisce la molla.

F= forza applicata;
K= costante di proporzionalità della moll. il suo valore dipende dal tipo di materiale con cui è stata realizzata la molla e dal numeo di spire che compongono la molla.
= . variazione di lunghezza subita dalla molla in seguito all'applicazione della forza F. Si precisa che in natura esistono corpi che non hanno proprietà elastiche e cioè qualsiasi forza applicata origina semplicemente una deformazione permanente del corpo (l aplastichina).
Per misurare una forza si usa uno strumento di misura che prende il nome di dinamometro. Esso è costituito d auna molla posta all'interno di un cilindro trasparente dove è incisa una scal adi misura. Le estremità della molla sono una fissa col cilindro e quella inferiore libera di allungarsi dove normalmente si applica il peso o la forza F. I dinamometri presentano diversi campi di applicazione e cioè ognuno di esso non può superare un determinato valore massimo della forza e presenta una sua sensibilità. In altre parole, per applicare correttamente il dinamometro è necessario conoscere con una certa approssimazione il valor edella forza che si intende misurare. Nel sistema internazionalesi misura in Newton.

fonte: http://it.answers.yahoo.com/question/index?qid=20110110085722AAeN3q9

autore: Luka

ANALISI DI UN SISTEMA MASSA-MOLLA CON RTL

1. Introduzione
L’esperimento del pendolo elastico è tra i più frequentemente utilizzati sia nel laboratorio didattico tradizionale che nel laboratorio che si avvale di acquisizione dati in tempo reale (RTL). Tuttavia raramente l’insegnante si addentra nell’analisi di questo sistema per mettere in luce tutti gli aspetti che possono essere sfruttati nell’insegnamento della dinamica.

Consideriamo un sistema costituito da una molla, di massa m e costante elastica k, sospesa in alto ad un supporto fisso e con una massa M appesa all’estremità inferiore della molla.
Mettiamo in oscillazione verticale il sistema e lo studiamo sperimentalmente con un apparato RTL, che utilizza un sensore per registrare la posizione della massa in funzione del tempo (sonar) e un sensore per misurare la forza trasmessa dall’estremo superiore della molla (dinamometro).

Le figure mostrano un apparato sperimentale basato su sonar e dinamometro Vernier, interfaccia CBL e calcolatrice programmabile Texas. L’apparato utilizzato nei laboratori della Scuola di Genova sarà invece basato su interfaccia LabPro e software LoggerPro per PC (Vernier), sempre con gli stessi sensori elencati sopra.
La foto sopra mostra come, sotto alla massa oscillante, sia collocato un disco di diametro non troppo piccolo: questo è necessario affinché il sonar possa “vedere” la massa, anche se, ovviamente, aumenta lo smorzamento delle oscillazioni per effetto della maggior resistenza dell’aria.

Il software LoggerPro è di utilizzo abbastanza semplice ed intuitivo per chi abbia un minimo di pratica col computer; non ci addentreremo qui in una descrizione dettagliata dei comandi disponibili: è molto meglio provarli “sul campo”, in laboratorio.

2. Calibrazione dei sensori
La prima cosa da fare, quando si utilizza un sistema RTL, è la calibrazione dell’apparato, in particolare dei sensori. Il sonar consente un’unica calibrazione: quella basata sulla temperatura ambiente.
Come è noto, la velocità del suono cresce con la temperatura e poiché il sonar misura le distanze mediante il ritardo dell’eco generato dall’ostacolo, è fondamentale conoscere la temperatura dell’aria per avere misure corrette; la temperatura si potrà misurare con una sonda termica collegata al sistema o con un normale termometro.
È possibile inoltre definire la posizione zero (origine del sistema di coordinate) in un punto a piacere e determinare anche il verso dell’asse delle distanze (il sonar può cioè restituire valori crescenti o decrescenti quando l’oggetto si allontana da esso).
Il sensore di forza (dinamometro) prevede invece una calibrazione a due punti: si applicano al sensore due forze note (usualmente pesi) e il sistema provvede a costruire la funzione (lineare) di trasferimento fra uscita (tensione) del sensore e misura di forza.
Va posta particolare attenzione, nel preparare l’esperienza massa-molla, a disporre il sensore di forza perfettamente verticale (altrimenti si misura solo una componente della forza applicata) e a far sì che il sensore stesso risulti elettricamente isolato da massa (se si usa un supporto metallico): in caso contrario si potrebbero avere dei malfunzionamenti.

3. Le misure
La prima misura che si può (ed è opportuno) fare riguarda la determinazione statica della costante elastica della molla, con verifica della legge di Hooke. Se si dispone di molle “usa e getta” è opportuno superare i limiti di validità della legge, arrivando alla deformazione permanente (plastica) della molla; ciò consente di mostrare agli studenti che le leggi fisiche hanno un “range” di validità limitato e non vanno prese come verità assolute.
È anche possibile confrontare il valore di k così ottenuto con quello fornito dalla cosiddetta “formula dei costruttori di molle”: , dove G è il coefficiente di scorrimento (per l’acciaio vale 8,5 · 1010 N/m, d è il diametro del filo d’acciaio che costituisce la molla, l è la lunghezza della molla (esclusi i ganci terminali), Φ il diametro delle spire (media fra interno ed esterno). Di solito si ottiene un accordo discreto.

Successivamente si passa alle misure dinamiche; si mette in oscillazione il sistema, cercando di evitare “pendolamenti” laterali e togliendo le mani dal campo d’azione del sonar.
Il sistema fornisce, in tempo reale, i dati ed i relativi grafici (verso il tempo) della posizione e della forza; volendo, può fornire anche quelli della velocità e dell’accelerazione (calcolate però per via numerica: ciò pone alcuni problemi. Si veda ad esempio “P. Peranzoni, G. Torzo: Ciò che di solito si trascura nello studio dell’oscillatore “massa-molla” all’URL
http://www.fisica.uniud.it/irdis/Meccanica/pdf/PeranzoniTorzo.pdf).
Conviene eseguire varie misure con masse diverse (badando però a non superare i limiti di validità della legge di Hooke); per ogni misura si determinerà, dai grafici, il periodo di oscillazione. In un primo momento sarà opportuno trascurare lo smorzamento, anche se poi, in un secondo momento, si potrà tenerne conto.

Per verificare se il moto è (trascurando lo smorzamento) armonico, si costruirà il grafico forza vs. spostamento; questo dovrebbe risultare una retta: il fatto che non lo sia (perfettamente) può stimolare una interessante discussione sulle cause, con proposte di ulteriori approfondimenti...

Dopo aver misurato, dal grafico, il periodo delle diverse oscillazioni, si potrà verificare in che modo esso dipende dalla massa appesa (già si è verificato che non dipende dall’ampiezza delle oscillazioni); dalla formula teorica ; da quest’ultima è possibile procedere in due diverse direzioni:
a) ricavare la formula , fornirà il valore (dinamico) di k, da confrontare con quello statico trovato in precedenza.
b) ricavare la stessa formula ed eseguire il fit lineare senza imporre il passaggio per l’origine: si noterà che la retta di regressione ha in effetti una intercetta negativa; cioè, a periodo nullo non corrisponde massa nulla, ma addirittura una massa negativa!
Chi si è rubato la massa mancante? Il fatto è che non abbiamo tenuto conto della massa della molla, che oscilla anch’essa insieme a quella appesa (ma in modo alquanto complicato... Si veda sempre l’articolo sopra citato). Se si pesa la molla, si scoprirà che la massa mancante è circa un terzo della massa della molla.

4. Ulteriori sviluppi
Arrivati a questo punto si può spingersi oltre; si può, ad esempio, tener conto del fatto che il moto oscillatorio è smorzato. Attraverso i potenti strumenti di LoggerPro è possibile “fittare” i dati cinematici con qualunque funzione contenente parametri: il programma si incarica di determinare i parametri stessi.
A questo punto, disponendo di una legge oraria in forma analitica, si possono fare tante cose... Per esempio:
a) calcolare analiticamente velocità e accelerazione, confrontandole con quelle calcolate numericamente;
b) considerare la formula corretta per il periodo in presenza di smorzamento: , equivalente alla precedente);
c) procedere ad un’analisi energetica del fenomeno, confrontando le previsioni teoriche con i dati sperimentali: siamo sicuri che filerà tutto liscio...?
d) effettuare una simulazione (per esempio con Excel) del moto del sistema e confrontarne i risultati con quelli sperimentali; potrebbe servire per scoprire qualche elemento che abbiamo trascurato...
e) chi più ne ha (di fantasia) più ne metta...

fonte: http://www.aif.it/ATTIVITA/materiali_ge_07/analisi_di_un_sistema_massa-molla.doc

Autore del testo: non indicato nel documento di origine

Legge di Hooke formula e definizione

LA LEGGE DI HOOKE
Misura statica della costante elastica di una molla

Obiettivo: Mettere in relazione la deformazione di una molla con l’intensità della forza applicata ad essa, ricavando la legge di Hooke, che lega la forza e la deformazione di un corpo elastico.

Strumenti e Materiali occorrenti:

Base a treppiede, asta metallica, morsetto.
Molla a spirale
Porta-masse, masse, bilancia.
Asta metrica con indici.
Carta millimetrata

Fasi dell’esperimento:

Appendi una massa alla molla.
Misura l’allungamento della molla, riporta i dati in tabella (le masse nella prima colonna e gli allungamenti nella terza colonna)
Aggiungi una massa alla precedente e misura l’allungamento della molla (riporta i dati nella riga 2)
Prosegui aggiungendo masse al porta-masse e misurando gli allungamenti subiti dalla molla.
Determina per ogni riga la forza esercitata dalla massa sulla molla, moltiplicando il valore di m per l’accelerazione di gravità (g=9,81 m/s2).
Determina per ogni riga il rapporto k tra la forza F (col. 2) e l’allungamento ΔL (col. 3)
Confronta i valori di k riportati nella colonna 5.

Raccolta e elaborazione dati: Molla n°………………..

	1	2	3	4	5
	m	F=mg	ΔL	εa (ΔL)	k
	(kg)	(N)	(m)	(m)	(N/m)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
				kmedio (N/m)
				εa (k)

Elaborazione e rappresentazione grafica dei dati:

Poiché i valori di k risultano in generale diversi, calcola il valor medio kmedio calcola inoltre l’errore assoluto εa (k)come semidifferenza tra il massimo valore e il minimo valore di k (semidispersione).

Crea un grafico riportando la variabile F sull’asse delle ordinate e la variabile ΔL sull’asse delle ascisse. La misura della deformazione ΔL deve essere riportata con il relativo errore, quindi all’incrocio tra il peso e il relativo valore di ΔL non dovrai disegnare semplicemente un puntino, ma una barra di errore, vale a dire un segmento orizzontale di lunghezza pari al doppio di εa (ΔL).

Se hai operato correttamente dovresti essere in grado di tracciare una retta che, partendo dall’origine degli assi, passa attraverso tutte le barre di errore.
Commenta il grafico ottenuto. Cosa possiamo dire delle due grandezze prese in esame? Che tipo di dipendenza le lega?
Riproduci con un foglio elettronico (Excel) la tabella della raccolta dati. Costruisci il grafico di F in funzione di ΔL. Visualizza l’equazione che lega F e ΔL e ricava il valore della costante elastica.

Misura dinamica della costante elastica di una molla

Obiettivo: Osservazione del comportamento di molle di diversa rigidità; misura del relativo periodo per piccole di oscillazioni e la costante elastica.

Strumenti e Materiali occorrenti:

Base a treppiede, asta metallica, morsetto.
Due molle a spirale
Masse, bilancia.
Asta metrica con indici.
Cronometro

Richiami teorici
La legge di Hooke afferma che la forza F che la molla esercita, quando viene compressa o dilatata, è proporzionale secondo la costante k al tratto x di spostamento dalla posizione di equilibrio:

Sostituendo a x e a le espressioni matematiche della posizione e della accelerazione in funzione del tempo (per un moto armonico) otteniamo:

Infine, poiché ,
il periodo del moto armonico per piccole oscillazioni di una molla di costante elastica k intorno al suo punto di equilibrio è:

con m massa dell’intero sistema oscillante, possiamo ricavare k:

Fasi dell’esperimento:

Monta l’apparato come mostrato in figura.
Misura la massa delle due molle e delle masse appese (M1 e M2) .
Allunga la molla di un paio di centimetri e fai oscillare il sistema. Lascia compiere alla molla un paio di oscillazioni prima di misurare dieci oscillazioni complete. Dividi la misura per 10 e riporta i dati in tabella (T1= Δt1/10).
Ripeti la misura quattro volte e calcola il valore medio.

Raccolta ed elaborazione dati:

M1	εa (M1)	T1	T2	T3	T4	TM1	εa (TM1)	k1	εa (k1)
(kg)	(kg)	(s)	(s)	(s)	(s)	(s)	(s)	(N/m)	(N/m)

M2	εa (M2)	T1	T2	T3	T4	TM2	εa (TM2)	k2	εa (k2)
(kg)	(kg)	(s)	(s)	(s)	(s)	(s)	(s)	(N/m)	(N/m)

Per determinare l’errore assoluto di TM utilizza la semidispersione.
Utilizzando la propagazione degli errori determina l’errore assoluto per k1 e k2.
Puoi provare a determinare la costante elastica delle due molle sfruttando la legge di Hooke (metodo statico). Confronta il valore così ottenuto con quello determinato con la misura dinamica.

Misure di massa attraverso l’allungamento della molla

Obiettivo: Determinazione della massa di un oggetto mediante l’utilizzo di una molla di costante elastica nota.

Strumenti e Materiali occorrenti:

Base a treppiede, asta metallica, morsetto.
Molla a spirale
Oggetti di massa incognita, bilancia.
Asta metrica con indici.

Fasi dell’esperimento:

Determina la costante elastica della molla con il metodo statico o con il metodo dinamico.

Appendi un oggetto di massa incognita alla molla.

Misura l’allungamento della molla, riporta i dati in tabella.

Calcola la massa utilizzando la formula riportata nei richiami teorici.

Determina l’errore assoluto della costante elastica e dell’allungamento e calcola (utilizzando la propagazione degli errori) l’errore assoluto associato alla massa.

Sostituisci la molla e ripeti le misure. I valori ottenuti per m devono essere confrontabili entro gli errori sperimentali.

oggetto

k (N/m)

εa (k)

Δx

εa (Δx)

m (kg)

εa (m)

(N/m)

(N/m)

(m)

(m)

(kg)

(kg)

1

2

3

4

Ricorda che:       (εr = errore relativo, εa = errore assoluto)
P=A´B     εr(P) =εr(A) + εr(B).                          Q=A/B            εr(Q) =εr(A) + εr(B)
S=A+B     εa(S) =εa(A) + εa(B)                           D=A–B           εa(D) =εa(A) + εa(B)

Fonte: http://www.luzzago.soluzione-web.it/Resource/Hooke.doc

Autore del testo: non indicato nel documento di origine

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