Moto circolare uniforme

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Moto circolare uniforme

CONSIDERAZIONI GENERALI SUL MOTO NEL PIANO

Velocità media e istantanea nel moto curvilineo

Consideriamo un corpo che percorre una traiettoria curvilinea su un piano.

Se P₁ è la sua posizione in un certo istante t₁e P₂ la posizione in un istante successivo t₂, la velocità media del corpo tra t₁ e t₂ si calcola:

In cui si chiama spostamento tra i punti P₁ e P₂ (è quello che comunemente viene chiamato spostamento in linea d’aria che in genere sarà diverso

dalla lunghezza del tratto effettivamente percorso,a meno che la traiettoria da P₁ a P₂ non sia rettilinea), rappresentato dalla freccia con origine in P₁ e punta in P₂.

Osservando la formula, si capisce innanzitutto che la velocità media è una grandezza vettoriale perché è il risultato di un rapporto fra una grandezza vettoriale (.

Se invece vogliamo la velocità istantanea in un generico punto P, dovremo calcolare la velocità media in un tratto molto piccolo che contenga il punto P. Dimostreremo successivamente, nell’approfondimento, che la velocità istantanea in ogni punto è un vettore che ha origine da tale punto e che è tangente alla traiettoria. Nella figura seguente è schematizzato il moto curvilineo di un’automobile su una strada visto dall’alto. In ogni punto della sua traiettoria l’auto avrà una velocità avente come direzione quella della tangente alla traiettoria in quel punto. Nella figura sono rappresentati come esempio i vettori velocità in tre punti P₁, P₂ e P₃. Consideriamo la situazione nel punto P₁: per convincersi del fatto che il vettore velocità in P₁ è tangente alla traiettoria basta supporre le ruote da quel punto in poi non facciano più presa sulla strada; l’auto partirà diritta proprio lungo la direzione indicata da e sta a significare che, se l’auto continuasse a viaggiare sempre in quel modo per un’ora intera, percorrerebbe 40 km. Ovviamente il modulo della velocità può variare da istante a istante perché l’autista può frenare o premere sull’acceleratore.

Nella figura seguente sono mostrate una serie di fotografie successive che ci fanno vedere un disco che viene fatto girare senza attrito lungo una circonferenza tramite una fune. Ad un certo punto si vede che la fune si spezza (nel punto in alto della figura) e il disco si allontana immediatamente lungo la direzione tangente alla circonferenza nel punto di rottura.

Approfondimento: perché la velocità istantanea è tangente alla traiettoria

Dimostriamo graficamente che la velocità istantanea in un punto è un vettore tangente alla traiettoria in quel punto. Riprendiamo la traiettoria della figura precedente e supponiamo di voler calcolare la velocità istantanea che unisce P₁ a questi punti, tale vettore assumerà una direzione sempre più vicina alla tangente al punto P₁.

Quindi, poiché per Dt piccolo il vettore .

Il RADIANTE

Forse siete così abituati a misurare gli angoli in gradi che non ci rendete più conto di quanto questo metodo sia complesso e poco conveniente. L’angolo giro è suddiviso in 360 gradi e ognuno di essi è diviso in sessanta primi d’arco, a loro volta suddivisi in sessanta secondi d’arco. Basta dover fare un’operazione qualunque per capire quanto questa scelta sia scomoda e per sentire la necessità di un’unità di misura che ci permetta di usare il solito sistema decimale.

Esiste un metodo naturale e non convenzionale per misurare l’ampiezza di un angolo. Consideriamo un angolo di vertice O che chiameremo angolo a. Possiamo costruire, con centro in O, infinite circonferenze; in figura ne sono state disegnate tre, i cui raggi li abbiamo chiamati r, r’, e r’’.

Le due semirette individuano sulle tre circonferenze gli archi di lunghezza l, l’, l’’. Come ci assicura un teorema della geometria, i rapporti l/r, l’/r’ e l’’/r’’ sono tutti uguali tra loro. In altre parole, tale rapporto non dipende da quanto è grande la circonferenza, ossia dal suo raggio, ma soltanto dall’ampiezza dell’angolo a. Proprio perché tale rapporto dipende solo dall’ampiezza dell’angolo, esso è stato scelto nel S.I. per esprimere la misura dell’angolo a. Quindi, dato un certo angolo, per avere la sua misura in radianti basta che costruiamo una circonferenza con il centro coincidente al vertice dell’angolo, poi dobbiamo eseguire il rapporto tra la lunghezza dell’arco che l’angolo intercetta sulla circonferenza e il raggio della circonferenza. Non ci dobbiamo preoccupare di quanto deve essere grande la circonferenza, perché tale rapporto sarà lo stesso per qualunque circonferenza disegniamo.

Per esigenze di rigore verbale, possiamo dire allora che la misura di un angolo in radianti è definito come il rapporto tra l’arco che sottende l’angolo e il raggio di una circonferenza avente il centro coincidente con il vertice dell’angolo:

Da tale definizione si ricava:

cioè la misura di un arco che su una circonferenza di raggio r sottende un angolo a, è uguale al prodotto della misura del raggio per la misura dell’angolo espressa in radianti.

Dalla definizione della misura di un angolo in radianti segue inoltre che 1 radiante è l’ampiezza di quell’angolo per il quale è l = r, cioè l’ampiezza dell’angolo al centro di circonferenza che intercetta un arco uguale al raggio, come rappresentato in figura:

Possiamo ora domandarci a quanti radianti corrisponda l’intero angolo giro di 360°. Questo è semplice, basta fare il rapporto tra l’arco che sottende un angolo giro (che è naturalmente la lunghezza dell’intera circonferenza) e il raggio:

Quindi in un angolo giro ci stanno 2p radianti cioè 6,28…. radianti. Da questo risultato segue per esempio che un angolo di 180° corrisponde a p radianti, un angolo di 90° a p/2 radianti, ecc.

In generale, se vogliamo passare dalla misura di un angolo in gradi alla misura dello stesso angolo in radianti e viceversa basterà impostare la seguente proporzione:

angolo in gradi: angolo in radianti = 360 : 2p

Un’ultima considerazione: si tenga presente che il radiante è un’unità di misura detta “ausiliaria”, perché l’angolo è una grandezza adimensionale, un numero puro e non dovrebbe avere unità di misura; è importante saperlo, per non incorrere in contraddizioni quando si deve operare sulle unità di misura.

MOTO CIRCOLARE UNIFORME

Definizione di moto circolare uniforme

Un corpo si muove di moto circolare uniforme quando si muove lungo una circonferenza con una velocità (che chiameremo perché la sua direzione è sempre tangente alla circonferenza) sempre costante in modulo:

Periodo (indicato con T):

Il periodo, che generalmente si indica con la lettera T, è il tempo che impiega il corpo per fare un giro completo. Se un corpo che si muove di moto circolare uniforme si trova in una certa posizione in un determinato istante, allora, dopo un periodo, si ripresenterà nella medesima posizione.

Unità di misura nel Sistema Internazionale: secondo [s]

Altre unità di misura potrebbero essere: minuto, ora, anno, ecc.

Frequenza (indicata con f o anche con n):

La frequenza è il numero di giri completi che compie il corpo nell’unità di tempo.

Unità di misura nel Sistema Internazionale: giri/s o Hertz simbolo: [Hz]

Per esempio dire che un corpo si muove con una frequenza di 50 Hz significa che compie 50 giri in un secondo.

Altre unità di misura potrebbero essere giri/min (come si usa per i motori delle automobili), ecc

Legame tra periodo e frequenza:

Per capire quale legame c’è tra il periodo e la frequenza, prendiamo in considerazione per il periodo dei valori semplici: se il periodo è di 0,25 s è facile capire che in 1 s compie 4 giri (quindi f = 4 Hz), se il periodo è di 0,5 s il corpo compierà 2 giri (quindi f = 2 Hz), se il periodo è 1 s ovviamente f = 1 Hz, se il periodo è 2 s si capisce che il corpo farà mezzo giro in 1 s (quindi f = 0,5 Hz). Se costruiamo una tabella con i valori considerati:

Periodo [s]	0,25	0,5	1	2
Frequenza [Hz]	4	2	1	0,5

Notiamo che la frequenza è sempre l’inverso del periodo, cioè f = 1/T.

Per dimostrare che tale relazione tra frequenza e periodo è del tutto generale, basterà impostare la seguente proporzione:
(1 giro) : (T) = (n° giri in 1 s) : (1 s)
ma poiché il n° di giri in 1 s è proprio la frequenza
(1 giro) : (T) = (f) : (1 s)

Da cui:

f = 1/T

Modulo della velocità tangenziale

Supponiamo che un corpo si muova di moto circolare uniforme lungo una circonferenza la cui lunghezza sia, per semplicità, pari esattamente a 90 m. Il raggio della circonferenza sarà di conseguenza pari a 36/(2 · p) = 5,73 m circa, ma ciò non ha molta importanza per il proseguo. La figura seguente mostra le posizioni occupate dal corpo lungo il suo moto ad istanti di tempo separati l’uno dall’altro di 5 s:

Poiché il moto è uniforme, il corpo percorrerà spazi uguali in intervalli di tempo uguali. Nel nostro caso per ogni intervallo di tempo di 5 s il corpo percorre sempre 15 m. In modo equivalente si può dire che lo spazio percorso dal corpo da quando è partito è direttamente proporzionale al tempo impiegato a percorrerlo (se l’intervallo di tempo trascorso dall’inizio diventa il doppio, il triplo, ecc. anche lo spazio totale percorso diventa doppio, triplo, ecc.).

Perciò il rapporto tra la lunghezza di un qualsiasi tratto di circonferenza percorso e il tempo impiegato a percorrerlo è costante e il valore di tale rapporto rappresenta proprio il modulo della velocità tangenziale. Il modulo della velocità tangenziale ci dice quanto spazio percorre il corpo nell’unità di tempo. Nel nostro caso il corpo percorre 3 metri in un secondo.

Per calcolare quindi la velocità tangenziale, basta fare il rapporto tra la lunghezza di un tratto qualsiasi e il tempo impiegato a percorrerlo. Se in particolare vogliamo prendere come tratto percorso l’intera circonferenza (la cui lunghezza è 2 · p · r), sappiamo che essa viene percorsa in un tempo pari al periodo T, quindi:

(indica quanti metri percorre il corpo sulla traiettoria nell’unità di tempo)

Velocità angolare

Prendiamo in considerazione sempre il moto descritto nel paragrafo precedente ma ora concentriamoci sul vettore che parte dal centro della circonferenza e finisce nella posizione in cui si trova il corpo nei vari istanti di tempo. Tale vettore, che si chiama raggio vettore, ovviamente ruoterà attorno al centro. La figura seguente mostra le posizioni occupate dal corpo lungo il suo moto ad istanti di tempo separati l’uno dall’altro di 5 s, con la differenza rispetto alla figura del paragrafo precedente che ora è evidenziato l’angolo descritto dal raggio vettore.

Poiché il moto è uniforme, il raggio vettore ruoterà di angoli uguali in intervalli di tempo uguali. Nel nostro caso per ogni intervallo di tempo di 5 s il raggio vettore ruota sempre di 60°. In modo equivalente si può dire che l’angolo totale di cui ruota il raggio vettore da quando è partito il corpo è direttamente proporzionale al tempo impiegato (se l’intervallo di tempo trascorso dall’inizio diventa il doppio, il triplo, ecc. anche l’angolo diventa doppio, triplo, ecc.).

Perciò il rapporto tra l’angolo di cui ruota il raggio vettore (si dice anche angolo descritto dal raggio vettore) e il tempo impiegato per ruotare di tale angolo è costante e il suo valore rappresenta proprio la velocità angolare. Il valore della velocità angolare ci dice di quanto ruota il raggio vettore nell’unità di tempo. Nel nostro caso il corpo percorre 12 gradi in un secondo.

Per calcolare quindi la velocità angolare (che si indica con w), basta fare il rapporto tra l’angolo di cui è ruotato il raggio vettore e il tempo impiegato a ruotare di quell’angolo. Se in particolare vogliamo prendere come angolo l’intero angolo giro, il corpo per fare l’intero angolo giro ci impiega un tempo pari al periodo T, quindi:

(indica di quanto angolo ruota il raggio vettore nell’unità di tempo)

Se vogliamo esprimere la velocità angolare in gradi/s, dobbiamo mettere al numeratore il valore 360°, mentre se vogliamo esprimerla in rad/s (come si usa di solito), poiché l’intero angolo giro misura 2 · p radianti:

Legame tra velocità tangenziale e velocità angolare

Confrontando le formule per la velocità tangenziale e la velocità angolare in rad/s si vede facilmente che:

V_tangenziale = w · R

Accelerazione centripeta

In un moto circolare uniforme è presente un’accelerazione perché il vettore velocità varia continuamente in direzione. Qualunque sia il moto di un corpo, la sua accelerazione media in un certo intervallo di tempo Dt è infatti definita come:

Come si vede dalla formula, il numeratore è un vettore perché è la differenza tra due vettori e poiché poi esso viene diviso per uno scalare il risultato finale sarà un vettore.

Se vogliamo l’accelerazione istantanea dobbiamo prendere un intervallo di tempo Dt molto piccolo ma la formula sarà la stessa.

Consideriamo allora un corpo che si muove di moto circolare uniforme e andiamo a vedere che caratteristiche ha il vettore accelerazione istantanea. Prendiamo in considerazione le posizioni iniziale e finale del corpo in un intervallo di tempo Dt molto piccolo lungo la traiettoria e le rispettive velocità tangenziali:

Come si vede dalla figura, il vettore .

Abbiamo perciò dimostrato che il vettore accelerazione istantanea in un moto circolare uniforme è un vettore diretto sempre lungo il centro della circonferenza, ed è per questo che viene chiamata accelerazione centripeta.

Che dire dell’intensità di questo vettore? Si può dimostrare (verrà dimostrato nell’approfondiemnto) che l’intensità è data da:

Nella figura seguente è mostrata la velocità tangenziale e l’accelerazione centripeta in corrispondenza di alcune posizioni occupate dal corpo nel suo moto lungo la circonferenza.

Approfondimento 1: dimostrazione qualitativa della formula per a_c

La formula di a_c può essere ricavata per via grafica, confrontando i moti circolari delle due figure sottostanti.

Nella prima figura, i veicoli si muovono con la stessa velocità su due circonferenze di raggio diverso Ra = 2 R_b affinché la loro variazione di velocità sia la stessa, A deve percorrere un arco di circonferenza doppio di B, e impiega così un tempo Dt doppio: di conseguenza la sua accelerazione, che è data da Dv/Dt, si dimezza; ciò indica che l'accelerazione è inversamente proporzionale al raggio di curvatura

Nella seconda, i due veicoli percorrono la stessa circonferenza, B a velocità doppia rispetto ad A; se consideriamo lo stesso arco di moto, quindi, B presenta anche una variazione di velocità doppia, che inoltre avviene in un tempo che è la metà di quello impiegato da A; questi due fattori - doppia variazione di velocità in metà tempo - fanno sì che l'accelerazione raddoppi due volte; ciò significa che l'accelerazione centripeta dipende dal quadrato della velocità.

Approfondimento: dimostrazione della formula per a_c

Consideriamo due punti A e B della traiettoria molto vicini fra loro e le rispettive velocità istantanee . Il tutto è rappresentato in figura:

Si può facilmente dimostrare che i triangoli ABO e A’B’O’ sono simili, quindi si può impostare la seguente proporzione:

DV : V = AB : R

AB è il segmento rettilineo che unisce i punti A e B della traiettoria. Poiché il tratto AB è molto piccolo, possiamo approssimare tale tratto con la lunghezza del piccolo arco di circonferenza , come rappresentato in figura:

Ma la lunghezza dell’arco AB non è altro che lo spazio percorso tra i punti A e B che, con buona approssimazione, si può calcolare con il prodotto V · Dt, quindi:

DV : V = V·Dt : R

da cui, ricavando DV:

DV = V² ·Dt / R

il modulo dell’accelerazione centripeta sarà a = DV / Dt, quindi:

a = V² / R

Fonte: http://www.webalice.it/paolocesaretti/appunti/moto_circolare.doc

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