La Serie di Fourier

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La Serie di Fourier

Un introduzione ai moti oscillatori

Ci sono molti fenomeni oscillatori in natura, per esempio, le onde del mare, le maree, le pulsazioni cardiache, la corda vibrante di una chitarra ecc. ed altre meno evidenti quali le molecole d'aria che con la loro oscillazione ci permettono di percepire suoni e rumori.

Non solo i corpi dotati di massa ma anche la luce, le onde radio e in generale le onde elettromagnetiche sono esempi di moti oscillatori.

Tutti questi tipi d'onda non trasportano materia ma energia, basti pensare alle onde marine quando muovono un oggetto galleggiante, questo non si sposta in direzione delle onde ma in direzione perpendicolare a quella delle onde, su e giù, e per tale motivo questo tipo di onde sono definite come onde trasversali. In genere lo studio dei fenomei oscillatori interessano l'acustica, l'elettrotecnica, la meccanica delle vibrazioni, l'astronomia e molte altre scienze.

Un segnale sonoro solitamente viene rappresentato con un grafico cartesiano avente in ascissa il tempo e in ordinata i valori istantanei dell'ampiezza che indica un aumento dalla pressione atmosferica (in atm.) o un abbassamento della stessa, in quest'ultimo caso si osserva il fenomeno di rarefazione dell'aria (si ricordi che il suono si propaga anche in mezzi più densi come l'acqua, metalli ecc.).

In acustica si distingue il suono dal rumore per la perturbazione prodotta giacché un suono è prodotto da una vibrazione periodica mentre il rumore no.

Vedremo che questo fenomeno periodico, come quello delle onde elettromagnetiche verrà associarlo ad una funzione periodica.

Iniziamo col riportare i diagrammi delle note musicali prodotte da un flauto, strumento musicale considerato fra i più "puri" poiché la sua rappresentazione grafica mostra la sinuosita' regolare (piu'evidente nel La), al contrario di altri strumenti le cui onde periodiche hanno un andamento molto più complesso (timbro diverso) ma pur sempre periodico.

Il Periodo:

Il periodo T è quell'intervallo di tempo tale per cui la vibrazione si ripete con perfetta regolarità, possiamo anche dire che è il tempo necessario all'onda per percorrere la distanza di una lunghezza d'onda.

Diremo che una funzione f(x) di dominio D si dice periodica di periodo T se per qualunque x in D (dominio) e per qualunque k in Z si ha che x+kT appartiene a D e T è il più piccolo reale positivo per cui si verifica l'uguaglianza.Quindi se f(x) ha un andamento sinusoidale questo si ripete al variare di k in Z.

La frequenza:

E' il numero che indica la quantità di oscillazioni complete al secondo compiute da f(x) e si indica con la lettera v (ni), si misura in Hertz (Sistema Internazionale - Hz) per cui un Hz corrispondono ad n oscillazioni al secondo, in formula la frequenza si indica con

Quindi osservando la formula, all'aumentare del periodo T diminuisce la frequenza.

Rifacendoci al fenomeno del suono e in particolar modo alla voce maschile e femminile, ciò che fondamentalmente determina la maggior acutezza della voce, ossia l'altezza del suono, è proprio la frequenza. Infatti la frequenza nella voce maschile varia tra i 100 e 125 Hz mentre per quella femminile tra i 200 e 250 Hz. Diremo quindi che quest'ultima ha un altezza (da non confondere con l'intensità o volume del suono) che è circa il doppio di quella maschile. Similmente analizzando i 7 Do presenti nella tastiera di un pianoforte notiamo che il primo Do, il più grave ha una frequenza di 32 Hz (la corda del pianoforte oscilla 35 volte al sec) che è proprio la metà del Do successivo, e questo è metà del terzo e cosi via...

Do della prima ottava	32 Hz	Do della prima ottava
Do della seconda ottava	64 Hz
Do della terza ottava	128 Hz
Do della quarta ottava	256 Hz
Do della quinta ottava	512 Hz	Do della seconda ottava
Do della sesta ottava	1024 Hz
Do della settima ottava	2048 Hz
Do dell'ultima ottava	4096 Hz

La Pulsazione

Si indica con wè data da:

In un moto circolare uniforme corrisponde alla velocità angolare, come si può notare differisce per il fattore 2 e si misura in rad/sec

L'Ampiezza

E' il carattere che distingue i suoni forti da quelli deboli. Notiamo la differenza se ascoltiamo una nota a 10 metri o a 10 cm di distanza dalle corde di un piano oppure se battere il tasto con minore o maggiore forza. Se riportassimo nel nostro diagramma la stessa nota (La) ma con le 2 intensità sovrapposte otterremmo:

Il periodo (T), la frequenza (v) e la pulsazione (w) sono legate tra loro, cioè basta conoscere una di queste quantità per ottenere le altre due. L'ampiezza diversamente rimane indipendente:

Il Timbro e Fourier

Cos'è che distingue un La emesso da un flauto e un La emessa da un armonica a bocca? Due strumenti musicali possono avere la stessa frequenza e la stessa ampiezza ma ciò che distingue fondamentalmente un suono da un altro è il timbro ossia la diversa forma d'onda, la diversa variazione di pressione nel mezzo in cui si propaga; in altri termini in un diagramma pressione-tempo tali variazioni (in sec.), prodotte per esempio da un armonica a bocca, possono essere schematizzate così:

Quel che vediamo è un oscillazione periodica NON sinusoidale. Quest'ultimo termine lo ripeteremo spesso nel testo e ne daremo una definizione in notazione trigonometrica e successivamente in forma complessa.

Come potremo esprimere numericamente diversi timbri e in generale la forma di un'onda?

Con gli strumenti fin qui descritti possiamo solo quantificare la frequenza, l'ampiezza, ma non possiamo dire niente sulla forma d'onda, anche di natura elettromagneticha, se non con l'aiuto di Fourier.

Il Teorema di Fourier

"Qualunque segnale periodico può essere scomposto nella somma di un eventuale termine costante e di segni sinusoidali, dei quali il primo, avente lo stesso periodo e quindi la stessa frequenza del segnale considerato, si chiama prima armonica o fondamentale, e gli altri, aventi periodi sottomultipli e quindi frequenze multiple, si chiamano armoniche superiori"

In questo modo sembra possibile scomporre praticamente ogni moto o vibrazione periodica anche complessa in moti o vibrazioni più semplici basati su seni e coseni.

Prima di dare la definizione di armonica cominciamo a studiare le funzioni periodiche da cui derivano le armoniche, ossia le funzioni sinusoidali e cosinuisoidali.

ove A rimane l'ampiezza , w la pulsazione e la fase.

Sappiamo però che
ma ponendo
otteniamo a cos wx + b sen wx

Quindi con tale sostituzione siamo riusciti a riscrivere la nostra funzione in termini di seno e coseno, riassumendo:

Analogamente .
Quindi a e b sono le due nuove ampiezze e quel che è più interessante è l'assenza del coefficiente di fase nella nuova espressione;

Come abbiamo già visto la pulsazione w è 2
(fig 1):

Notiamo che nell'intervallo - la somma di -sen4x e 5/2cos4x crea una nuova onda sinusoidale più amplifica e spostata in fase verso sinistra rispetto a 5/2cos4x. In realtà la fase nella funzione non è scomparsa ma è riscritta come somma di un opportuna funzione sinusoidale.

La somma di queste onde è un semplice esempio di quello che puo' accadere con le onde eletromagnetiche quando si verifica il fenomeno di interferenza: l'interferenza è quel che accade a due o più onde quando il risultato della loro sovrapposizione crea una nuova perturbazione periodica.

La nuova onda prodotta rimarrà sinusoidale se la sovrapposizione delle due onde generatrici manterrà la stessa pulsazione, anche se avranno fasi e ampiezze diverse. Nel caso però in cui due onde siano di medesima ampiezza ma sfasate l'una rispetto all'altra esattamente di 180°, ovvero quando il massimo di un onda coincide esattamente con il minimo dell'altra allora l'effetto della sovrapposizione delle onde è quello di annullarsi. (fig.2)

In questo caso diremo che le onde interferiscono in modo distruttivo.

Possiamo riportare un esempio pratico dell'effetto dell'interferenza con un esperimento condotto nel 1801 dal fisico inglese Thomas Young.

Dimostrò che in certe circostanze la luce non si comporta, come aveva dedotto Newton nel Seicento, come un flusso di particelle (concezione corpuscolare) bensì come un qualsiasi fenomeno ondulatorio.

Infatti Young, facendo passare un fascio di luce bianca attraverso due fenditure molto strette su un diaframma in modo da creare l'effetto di diffrazione, osservò il fenomeno riportato in questa figura (fig. 3):

Le onde di luce emesse dai due fori si sovrappongono e dove le linee rosse evidenziano le zone costruttive l'effetto di questa interferenza si risolve proiettandosi in strisce sfumate di luce bianca, laddove le strisce rosse evidenziano zone di interferenza distruttiva le onde si annullano e si ha un effetto di oscurità (strisce nere).

Tornando alla fig. 1 invece, abbiamo fatto interferire tra loro due funzioni sinusoidali in modo costruttivoossia abbiamo sovrapposto, in termini adottati in fisica, due treni d'onda con l'effetto di amplificare il segnale seppur leggermente.

Nel caso in cui vari la pulsazione come vedremo ora, la sovrapposizione produrrà un'onde non più sinusoidale periodica ma semplicemente un'onda periodica di periodo 2. Infatti a parità di intervallo la funzione seno ha il doppio delle pulsazioni rispetto alla funzione coseno. (fig.4)

Il Teorema di Fourier ci dice che è possibile scomporre un onda periodica come somma di funzioni sinusoidali più semplici, anche se spesso il calcolo fatto per ottenere tale scomposizione non è banale. Al contrario sommare onde sinusoidali è un operazione che sappiamo già fare.

In altri termini con opportune interferenze (somme) di onde più semplici si può ricostruire l'onda originale, in particolare un onda sonora oppure un segnale elettromagnetico. Eccone un esempio:

La luce

Ecco quel che succede se si scompone la luce in radiazioni di lunghezza d'onda diverse per mezzo di un prisma (dispersore).

Polinomi trigonometrici

Le funzioni sinusoidali di periodo 2 possono essere espresse nella forma:

Ricordandoci che la pulsazione w = 2/T = 5.

fig.5

fig.6

In generale se la funzione giacchè compie in questo intervallo due oscillazioni esatte, questo vale anche per la seconda espressione e in generale per la seguente espressione:

a₁cosx+b₁senx+a₂cos2x+b₂sen2x+....+a_ncoskx+b_nsenkx.

Infatti anche la somma di piu' funzioni sinusoidali con pulsazioni diverse da ancora una funzione periodica di periodo 2, un esempio lo abbiamo visto in figura 4.
Non ci resta che riscrivere le somme delle funzioni sinuisoidali in forma compatta e aggiungere a₀/2.

La costante a₀

La costante a₀>0 ha il semlice effetto di spostare l'onda prodotta dalla sommatoria verso l'alto oppure verso il basso se a<0 rispetto all'asse delle x. Nell'immagine consideriamo il contributo di una costante sommata a sen x.

	y = 3 + senx.
	y = senx

Nel prossimo paragrafo, dedicato all'analisi armonica, questa costante ha valore nullo se il segnale e' alternato perchè tale costante rappresenta il valore medio della funzione periodica. Un esempio di segnale alternato, come vedremo è quello di un onda quadra.

Polinomio trigonometrico

fig.7a

prende il nome di Polinomio trigonometrico di ordine n.

Così ad esempio se abbiamoi coefficienti sono a₀=6, a₁=1, b₁=2, a₂=-3, b₂=1/3, a₃=0, b₃=-4.

L'ANALISI ARMONICA

Il problema dell'analisi armonica e' quello di sviluppare in serie trigonometrica, se e' possibile, la funzione f(x) di periodo 2 e quindi di calcolare il valore medio di f(x) e quello delle singole armoniche che compongono la funzione stessa.
Viceversa, affinchè la serie trigonometrica converga effettivamente a f(x) si deve rispettare

il Criterio (o Condizioni) di Dirichlet che impone:

f(x) deve essere definita nell'intervallo t₀-t₀+T; sono ammessi anche eventuali punti di discontinuità purchè in numero finito.
f(x) e la sua derivata primaf'(x) devono essere continue a tratti nell'intervallo t₀-t₀+T.

Se viene rispettata questa condizione possiamo scrivere che f(x) = .
Se f(x) soddisfa alle ipotesi del Teorema di Dirichlet parleremo di sviluppo di f(x) in serie di Fourier anche se la serie di Fourier di f(x) può non coincidere nei punti di discontinuità con f(x).

Le armoniche

Prima di vedere le formule per trovare i coefficienti della serie di Fourier diamo la definizione di armonica.

La funzione a₁cosx+b₁senx viene detta prima armonica o armonica fondamentale della serie, o se valgono le condizioni di Dirichlet, della funzione f(x).
L'armonica fondamentale, come si puo' vedere nella fig. in basso, ha frequenza minima rispetto alle armoniche di ordine superiore ed è quella che da' il maggiore contributo nella costruzione dell'onda risultante della serie.
Chiamiamo invece la funzione a_kcosx+b_ksenx la k-esima armonica o armonica di ordine k della serie o, se vale il Criterio di Dirichlet, di f(x).

L'ampiezza della k-esima armonica
Riprendendo quanto detto precedentemente:

ma ponendo
otteniamo a cos wx + b sen wx.

L'ampiezza A_k della k-esima armonica possiamo trovarla con il seguente procedimento:

L'onda quadra

Un'onda quadra alternata di ampiezza Y= /4 e periodo T si puo scrivere come:

fig.8

Se definiamo l'ampiezzaY=/4 otteniamo la seguente serie:

sen x + (sen3x)/3 + (sen5x)/5 + ...

in questo caso riprendendo la sommatoria in fig7a, a₀=a₁=a₂=...=0 (la funzione coseno scompare) mentre b₁ = 1, b₂ = 0, b₃ = 1/3, b₄ = 0, b₅=1/5 ...
In altri termini a_k= 0, per ogni k, e b_k = 0 se k e' pari e 1/k se k è dispari.

L'onda è composta dalle armoniche di ordine dispari con ampiezza inversamente proporzionale alla frequenza e fase nulla. Le armoniche di ordine 3,5, 7 ecc. con ampiezze sempre meno significative, sommandosi a quella fondamentale, modellano e aggiustano le armoniche precedenti con il risultato di approssimarsi complesivamente all'onda quadra. Tale obbiettivo lo si può raggiungere anche sommando un numero finito e ridotto di armoniche poichè le armoniche di ordine n, all'aumentare di n, contano sempre meno.

Nella sua formulazione matematica il teorema di Fourier ci permette di effettuare l'analisi armonica di un fenomeno periodico, ossia di determinare le ampiezze della frequenza fondamentale e delle armoniche di ordine superiore.

Note sulla Trasformata di Fourier

Lo spettrografo nella figura in basso misura le ampiezze delle armoniche ma si sarebbe potuto rappresentare anche un'altro spettro, quello delle fasi mediante segmenti proporzionali ai valori delle fasi delle varie armoniche.

Bastano infatti questi due spettri per poter risalire alla forma del segnale originale. La Trasformata di Fourier risulterà essere molto importante proprio perchè nel caso di una funzione discreta ci permette di ricavare l'elenco delle ampezze e delle fasi.

L'oscilloscopio invece ci mostra nel dominio del tempo la forma d'onda, ottenuta dalla somma delle prime due armoniche della serie.

Non si può dire quante armoniche siano necessarie per definire un forma d'onda, ma il numero sarà tanto più elevato quanto più la forma dell'onda ha carattere impulsivo, proprio come l'onda quadra.

Se tracciamo il grafico sul piano cartesiano di y = S₇(x) = sen x + (sen3x)/3 + (sen5x)/5 + (sen7x)/7 abbiamo la seguente approssimazione. In generale all'aumentare di n in S_n (x) otteniamo approssimazioni migliori, ma come si puo' notare, sarà sufficiente scegliere un n finito e nemmeno troppo grande per ricostruire l'onda quadra.

La serie di Fourier

Se f(x) è una funzione periodica di periodo 2) si chiama serie di Fourier ad essa associata la serie trigonometrica

Ecco come ottenere i coefficienti :

Esercizio svolto:

Per fare un esempio svolgiamo quindi un esercizio esplicativo sviluppando in serie di Fourier la funzione così definita:

Se tracciamo il grafico della funzione:

y = 0	k = 0	- x < 0
	k = 1
	k = 2	3
	k = 3	5 .......

y = 1	k = 0	0
	k = 1	2
	k = 2	4
	k = 3	6 .......

Nei punti - la funzione presenta punti di discontinuità di prima specie.

Def:Punto di discontinuità: punto p del dominio della funzione f(x) per cui il limite della funzione per x che tende a p non esiste oppure esiste ma non coincide con f(p).

Def. Punto di discontinuità di prima specie: i punti di discontiunità di prima specie sono quei punti per cui il limite destro e sinistro esistono ma differiscono entrambi da f(p).

Sono pertanto soddisfatte le Condizioni di Dirichlet. Troviamo quindi i coefficienti della serie trigonometrica: