Geometria definizioni

 

 

 

Geometria definizioni

 

I riassunti, le citazioni e i testi contenuti in questa pagina sono utilizzati per sole finalità illustrative didattiche e scientifiche e vengono forniti gratuitamente agli utenti.

 

LA LINEA RETTA

 

E’ una linea diritta che si prolunga all’infinito e non ha né un inizio né una fine

 

 

 


LA SEMIRETTA

 

E’ una linea diritta che ha un punto d’inizio ma non una fine.

 

 

 


IL SEGMENTO

 

E’ una parte di retta compresa fra due punti

 

A       B

 

Due rette quando la cui distanza si mantiene costante e quindi non si incontreranno mai si dicono PARALLELE

 

 

 


Due rette che si incontrano in un punto e formano 4 angoli retti si dicono PERPENDICOLARI.


 

 


Due rette che si incontrano in un punto e formano due angoli acuti e due ottusi si dicono INCIDENTI

 

L’ANGOLO

 

E’ una parte di piano compresa tra due semirette o due segmenti che hanno la stessa origine.
Le due semirette o i due segmenti sono i lati dell’angolo.
Il punto di origine si chiama vertice.
L’apertura dei due lati si chiama ampiezza.

 

IL POLIGONO

 

E’ una parte di piano delimitata da una linea spezzata chiusa.

 


 

Un poligono è CONCAVO quando il prolungamento di almeno uno dei lati attraversa la regione
interna.


 

 


Un poligono è CONVESSO quando nessun prolungamento dei suoi lati attraversa la sua regione interna.

 

VARI TIPI DI POLIGONI

 

Equilatero = Ha tutti i lati uguali
 



Equiangolo = Ha tutti gli angoli uguali

Regolare = Ha tutti gli angoli e tutti i lati uguali

 

 

 

I QUADRILATERI

 

 



Sono poligoni con 4 lati e 4 angoli.

 

I PARALLELOGRAMMI

 

Sono quadrilateri con i lati opposti paralleli


 

 


http://digilander.libero.it/Kim74x/images/Definizioni%20geometria.doc

Autore: non identificabile dal documento

 

 

Geometria definizioni

La Geometria delle trasformazioni: classificazione di triangoli e quadrilateri.

 

I CONCETTI DI UGUAGLIANZA E SIMILITUDINE
La congruenza.

Definizione. Due figure si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte in modo che coincidano punto a punto.

Consideriamo i poligoni più semplici, quelli con tre lati, i triangoli.
Indipendentemente dalla posizione occupata nel piano da due triangoli dati, possiamo sempre pensare di prenderne uno e tentare di sovrapporlo perfettamente all’altro. Se i due triangoli si sovrappongono, essi sono congruenti. Per sovrapporre i due triangoli abbiamo bisogno di strumenti opportuni, che non alterino le loro proprietà, che sono alcune trasformazioni geometriche, ovvero le isometrie e le similitudini.

Osservazione. In questa parte del lavoro l’attenzione è rivolta a richiamare le conoscenze dei ragazzi, quindi si lascia in sospeso, senza trattare il “come” si possono operare delle sovrapposizioni. E’ infatti preferibile riprendere quelle trasformazioni che già dovrebbero essere note dalle scuole precedenti e rivederle bene, con molti esempi se necessario, cercando di consolidare, almeno a livello intuitivo, il significato di una trasformazione geometrica.

Cerchiamo di capire se esiste qualche criterio che ci garantisca, senza davvero dovere effettuare l’operazione di sovrapposizione, che i triangoli dati sono di fatto sovrapponibili e quindi congruenti. I criteri che abbiamo a disposizione dovrebbero essere  a tutti noti:

 

  1. Se due triangoli hanno uguali due lati e anche l’angolo compreso tra questi lati, allora i due triangoli sono congruenti.


Se ad esempio risulta:  allora i due triangoli possono essere sovrapposti perfettamente e quindi, per definizione, sono congruenti.

  1. Se due triangoli hanno uguali due angoli e un lato qualunque, allora i due triangoli sono congruenti.


Se ad esempio risulta: , allora i due triangoli sono congruenti.
Osservazione. Ricordando che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°, avere supposto che due angoli sono uguali porta a concludere che anche il terzo angolo deve essere uguale.
Possiamo perciò  enunciare il criterio così:

“Se due triangoli hanno uguali due angoli e il lato tra essi compreso, allora i due triangoli sono congruenti”.

  1. Se due triangoli hanno i tre lati uguali, allora i due triangoli sono congruenti.

       
Se , allora i triangoli sono congruenti.

La similitudine.

Possiamo iniziare con un esperimento.
Disegniamo su una lastra di vetro trasparente, appoggiata orizzontalmente ad un tavolo, un triangolo qualunque, poi prendiamo una lampada e poniamola al di sopra del tavolo dopo aver posto sotto di esso un foglio bianco. Cosa si vede? Sul foglio c’è proiettata l’ombra del triangolo a rappresentare un altro triangolo, che nella forma assomiglia a quello originale disegnato sul vetro ma che non è lo stesso. Possiamo osservare che c’è una relazione matematica tra i due triangoli, ovvero hanno i lati in proporzione.

Definizione. Due triangoli si dicono simili quando i loro lati sono in proporzione e gli angoli sono uguali a due a due. La proporzione tra i lati fornisce una costante che si chiama rapporto di similitudine e solitamente si indica con la lettera k.

 

Osserviamo i seguenti triangoli:

Essi sono evidentemente non congruenti ma sono “simili” nella forma; è intuitivo che ingrandendo in modo opportuno il più piccolo si arriverebbe a renderlo congruente al più grande. Si vede inoltre che nella costruzione del triangolo DEF a partire dal triangolo ABC restano invariate le caratteristiche “intrinseche” di quest’ ultimo.

Osservazione. E’ importante fare esempi di questo tipo, con vari tipi di figure geometriche, per dare maggiore consapevolezza del senso matematico di “simile”, in particolar modo utilizzando Cabrì per la costruzione delle figure, così da verificare esplicitamente in “modo grafico” che le caratteristiche della figura in se stessa non cambiano.

Chiediamoci anche in questo caso se esistono criteri che ci permettano di stabilire se e quando due figure che si assomigliano sono simili in senso matematico. Se ne dovrebbero conoscere tre.

 

  1. Se due triangoli hanno uguali due angoli allora sono simili.

 

 

  1. Se due triangoli hanno  due lati in proporzione e hanno uguale  l’angolo compreso tra questi lati, allora i due triangoli sono simili.

  1. Se due triangoli hanno i tre lati in proporzione, allora i due triangoli sono simili.


Alcune proprietà che si dovrebbero conoscere ma che è utile e importante riprendere.

    • Tutti i triangoli equilateri sono simili tra loro.

 

Infatti, in un triangolo equilatero gli angoli sono sempre di 60° e quindi presi due triangoli equilateri questi hanno i tre angoli uguali e perciò per il primo criterio sono simili.

    • Se due triangoli isosceli hanno uguale l’angolo al vertice allora sono simili. 

Infatti, se l’angolo al vertice vale x, allora gli altri due angoli, y, (che devono essere uguali perché i triangoli sono isosceli) saranno dati da  e quindi uno stesso angolo al vertice determina gli stessi angoli alla base. Il primo criterio determina quindi la similitudine dei due triangoli.
Osservazione. Con queste proprietà sappiamo che i triangoli considerati sono simili, ma non sappiamo quanto vale il rapporto di similitudine. Per saperlo occorre conoscere la misura di due lati corrispondenti. Questo fatto non influenza il nostro lavoro, volto a classificare i triangoli in base alla proprietà di essere simili.

    • Se due triangoli rettangoli hanno un angolo (escluso ovviamente quello di 90°) uguale allora sono simili.    

 

I TEOREMi di EUCLIDE.
Ricorrendo ai criteri di similitudine si dimostrano facilmente i teoremi di Euclide, validi per un qualsiasi triangolo rettangolo.

H

 


Supponendo che l’angolo di 90° stia in A e che AH sia l’altezza relativa all’ipotenusa BC si ha: 

PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE 
(AB)2  = (BC).(BH)
(AC)2  = (BC).(HC)

In parole possiamo dire che il quadrato costruito su un cateto ha la stessa area del rettangolo che ha come lati tutta l’ipotenusa e la proiezione del cateto sulla ipotenusa.

 

SECONDO TEOREMA DI EUCLIDE 
(AH)2  = (BH).(HC)

In parole possiamo dire che il quadrato costruito sull’altezza relativa alla ipotenusa ha la stessa area del rettangolo che ha per lati le proiezioni dei cateti sulla ipotenusa.

Osservazione. Sommando i quadrati dei cateti si ha e ricordando il primo teorema di Euclide, possiamo scrivere:
(AB)2 + (AC)2 = (bc).(bh)  + (bc).(hc) = (BC):( BH + Hc) = (bc).(BC) = (BC)2
In conclusione: (AB)2 + (AC)2 = (BC)2 

Questa formula ci ricorda tanto il teorema di PITAGORA.

 

  • La classificazione.

CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI.
Possiamo classificare i triangoli in molti modi, in relazione all’elemento che si prende in considerazione. Con i ragazzi, in classe, un’attività molto bella e utile perché stimolante è quella di considerare il triangolo come figura geometrica e cercare di scoprire se è possibile costruire degli insiemi in cui mettere solo certi triangoli, oppure altri… .
Ad esempio:

  1. Distinzione per lati.

Si distinguono
- i TRIANGOLI SCALENI, che hanno tre lati le cui lunghezze sono differenti tra di loro;
- i TRIANGOLI ISOCELI, che hanno almeno due lati congruenti;
- I TRIANGOLI EUQILATERI, che hanno i tre lati tutti congruenti.

A partire da questa classificazione, scoperta dai ragazzi attraverso l’osservazione delle figure, si possono costruire dei diagrammi di Venn e ragionando scoprire che, ad esempio, un triangolo equilatero è anche isoscele, ma non è vero il contrario; oppure che un triangolo scaleno non può essere isoscele e viceversa.

  1. Distinzione per angoli.

Si distinguono
- i TRIANGOLI ACUTANGOLI, che hanno tre angoli acuti;
- i TRIANGOLI OTTUSANGOLI, che hanno uno solo degli angoli ottusi;
- i TRIANGOLI RETTANGOLI, che hanno uno solo dei tre angoli retto.

Anche in questo caso ragionare su tante figure è un ottimo lavoro e si favorisce la scoperta per osservazione.
Alcuni problemi da porre su cui i ragazzi possono lavorare:
Può esistere un triangolo equilatero-ottusangolo? E un triangolo equilatero-rettangolo? Quali situazioni sono possibili?

 

CLASSIFICAZIONE DEI QUADRILATERI.
Anche per i quadrilateri si possono costruire diverse classificazioni, sempre in base alle definizione che decidiamo di assumere di volta in volta.
Consideriamo le figure geometriche di quattro lati, in particolare pensando ai trapezi, possiamo dividere tutti i  quadrilateri in TRAPEZI e NON-TRAPEZI.

Definizione. Definiamo TRAPEZIO un quadrilatero con almeno due lati paralleli (Figura sotto).


Data questa definizione si possono osservare molti tipi di trapezi e considerare cosa succede al variare degli altri due lati; si avranno quindi:
-TRAPEZI SCALENI quelli con i lati obliqui diversi;
-TRAPEZI RETTANGOLI quelli con uno dei lati obliqui perpendicolare ai lati paralleli;
-TRAPEZI ISOCELI quelli con i lati obliqui congruenti.
Che cosa succede se anche gli altri due lati sono paralleli?



Il trapezio è diventato un parallelogrammo. Ma come è possibile questo? Noi sappiamo che un trapezio non è un parallelogrammo!! Portando l’attenzione alla definizione che insieme abbiamo dato del trapezio viene naturale non trovare strana questa scoperta: adesso un parallelogrammo è un trapezio, perché almeno due lati sono paralleli. Ma è un trapezio particolare, perché ha anche gli altri due lati paralleli… potremmo dire che è un parallelogrammo privilegiato!!

Nel nostro schema mentale abbiamo raggiunto a questo punto una configurazione di questo tipo:


Osservando i parallelogrammi, ci potremmo chiedere con i ragazzi che cosa succede se uno di loro ha tutti gli angoli retti?

Abbiamo trovato un rettangolo. Ci stupisce questo? No, infatti un rettangolo, secondo il nostro modello, è un caso particolare di parallelogrammo; quindi possiamo concludere che esso è un trapezio che ha in più le proprietà di avere i lati paralleli a 2 a 2 e tutti gli angoli retti.
Ma un parallelogrammo può avere anche tutti i lati congruenti. Che cosa succede in questo caso? Vediamo.



E’ diventato un rombo. Allora possiamo definire un rombo come un parallelogramma che ha tutti i lati uguali e, più in generale, esso è un trapezio che ha i lati a 2 a 2 paralleli e tutti congruenti.
Possiamo chiederci poi che cosa succede ad un rombo se lo prendiamo con tutti gli angoli retti:

Abbiamo ritrovato il quadrato, la figura perfetta!! E’ la figura che ha “più proprietà di tutti”:
- è un rettangolo, perché è un parallelogrammo con 4 angoli retti;
- è un rombo perché è un parallelogrammo con 4 lati congruenti;
- è un parallelogrammo, perché ha due coppie di lati paralleli;
- è un trapezio, perché ha almeno 2 lati paralleli;
- è un quadrilatero perché ha 4 lati.

Dunque il nostro schema mentale è diventato, a questo punto:

Problema: E i non trapezi? Nel diagramma sono i quadrilateri fuori dall’insieme dei trapezi, ma come possiamo classificarli? C’è un modo per classificare anche loro, insieme con gli altri, o sono destinati a restare solo quadrilateri, nemmeno citati?

Una proposta di attività originale: “La libertà dei quadrilateri”.

Questa attività permette, dando una nuova definizione di avere una classificazione alternativa dei quadrilateri, che questa volta li comprende tutti, un punto di vista diverso da cui è possibile partire.

Definizione. Diciamo che un punto nel piano ha due gradi di libertà se esso p libero di muoversi in tutte le direzioni del piano, ha un grado di libertà se è vincolato a muoversi su di una retta o, più in generale, su una curva, ha zero gradi di libertà se non può muoversi.

Data questa definizione, cerchiamo di definire i quadrilateri.
E’ naturale iniziare considerando un quadrilatero qualunque. Per disegnarlo sul piano abbiamo bisogno di 4 punti, ma come si possono muovere questi punti?

Prendiamo un punto nel piano. Esso può muoversi liberamente in tutte le direzioni del piano. Ha dunque 2 gradi di libertà. Prendiamo ora un altro punto e tracciamo il segmento che unisce questi due punti. Il secondo punto è ancora libero di muoversi in tutte le direzioni, quindi anche lui ha 2 gradi di libertà. Ci serve un terzo punto sul piano; congiungendo questo con il secondo non cambia nulla, nel senso che ai fini della costruzione di un quadrilatero il punto può muoversi in ogni direzione si scelga. E così il quarto punto. Concludiamo facilmente che ogni punto ha 2 gradi di libertà, pertanto un quadrilatero qualunque ha 8 gradi di libertà.

Qual è un altro quadrilatero che ci viene in mente? Il quadrato? Benissimo, vediamo che cosa succede. Prendendo un punto nel piano, esso ha 2 gradi di libertà: siamo tutti d’accordo. Prendiamo anche il secondo. Unendoli ho un segmento, ma posso muovere anche questo secondo punto come voglio, quindi ho ancora un punto con 2 gradi di libertà. In tutto ha 4 gradi di libertà. Andiamo avanti. Prendiamo un altro punto. Attenzione, vogliamo costruire un quadrato; ci chiediamo come si può muovere questo ultimo punto? Deve stare su una retta perpendicolare al segmento che unisce i primi due punti; inoltre deve essere ad una distanza pari a quella che c’è fra gli altri due punti. Allora non si può muovere! Allora ha 0 gradi di libertà. E il quarto? Anche lui non si po’ muovere. Si può concludere che per un quadrato i gradi di libertà sono 4.
Per ogni quadrilatero noi si consideri si trova un numero che, si scopre, è compreso fra questi due valori, in accordo con il fatto che la figura più generale con 4 lati è un quadrilatero qualunque e quella più particolare è il quadrato!

Si può anche fare una tabella o un diagramma di questa classificazione. Ad esempio:

 

8

7

6

5

4

Quadrilateri

Trapezi

Trapezi isosceli

Rettangoli

Quadrato

Trapezi rettangoli

Parallelogrammi

Rombi

?

Deltoidi

 

Osservando la tabella costruita e ragionando sulle proprietà delle figure inserite potremmo, ad esempio, chiederci se e che cosa potremmo inserire dove abbiamo messo il punto interrogativo.

 

Si possono studiare altre situazioni problematiche:
- quadrilateri inscritti e/o circoscritti in una circonferenza;
- quadrilateri con due angoli opposti retti;
- quadrilateri isoperimetrici;
- quadrilateri equivalenti;
- quadrilateri nei quali la somma di due lati consecutivi è uguale alla somma degli altri due lati;
- … .

Questo è solo un esempio di attività che si può pensare per lavorare con l’idea della definizione in matematica e consolidare le immagini mentali dei ragazzi, che sono molto importanti per acquisire le conoscenze geometriche in particolare, ma anche matematiche più in larga visione. Credo sia anche una buona occasione per lavorare con la mente e ragionare, in virtù dell’elasticità a cui la matematica dovrebbe abituare!

 

BIBILIOGRAFIA e SITOGRAFIA

 

Fonte: http://digilander.libero.it/leo723/materiali/UD_ssis/trasformazioni.doc

 

Appunti di Geometria

richiami sulle proprietà dei triangoli

 

1)   1° Criterio di uguaglianza dei triangoli

Due triangoli che hanno rispettivamente uguali due lati e l’angolo tra essi compreso sono uguali. Ciò significa che, se di un triangolo conosco due lati e l’angolo tra essi compreso, allora il triangolo è univocamente determinato, pertanto posso ricavare il terzo lato e gli altri due angoli. Nella figura sono indicati in grigio i dati noti ed in rosso i dati che possono essere ricavati a partire dai primi:

2)   2° Criterio di uguaglianza dei triangoli

Se due triangoli hanno rispettivamente uguali un lato e gli angoli ad esso adiacenti allora sono uguali.  Quindi se di un triangolo conosco un lato e gli angoli ad esso adiacenti, posso ricavare gli altri due lati ed il terzo angolo.

3)   3° Criterio di uguaglianza dei triangoli
Se due triangoli hanno i tre lati rispettivamente uguali allora sono uguali, quindi se conosco i tre lati posso ricavare i tre angoli

4)   Figure simili:
Due figure sono simili quando hanno la stessa forma pur avendo diverse dimensioni. Esempio:

 

5)   Teorema: Se vi sono due rette parallele tagliate trasversalmente da un’altra retta, gli angoli corrispondenti saranno uguali.

6)   Due triangoli sono simili se hanno gli angoli uguali
7)   Se due triangoli sono simili allora hanno i lati in proporzione

Nell’esempio fatto in precedenza avremo che:  AB’ / AB = AC’ /AC = B’C’ / BC = k (rapporto di similitudine).
Qui di seguito abbiamo un esempio di similitudine con rapporto di similitudine k=3

Ho diviso il triangolo ABC in nove triangoli, uguali tra loro e simili al triangolo grande. Il rapporto di similitudine, come già detto, è k=3.
Come si può constatare, il rapporto tra le aree del triangolo grande e di ognuno dei triangoli piccoli sarà invece pari a K2 = 9.
Questo è un risultato generale: il rapporto fra le aree di figure piane simili è uguale a K2  .
Il rapporto fra i volumi di figure solide simili è uguale a K3 .

8)   La somma degli angoli interni di un triangolo è pari a 180°
9)   Un triangolo si definisce equilatero quando ha i tre lati uguali. Un triangolo equilatero è anche equiangolo e ogni angolo misura 180°/3=60°

10) Si chiama triangolo isoscele un triangolo che ha due lati uguali. Si dimostra che allora anche gli angoli adiacenti al terzo lato sono uguali. Vale anche il teorema inverso, cioè: 
un triangolo avente due angoli uguali è isoscele

 11)   Si chiama triangolo rettangolo un triangolo che ha un angolo di 90°
α = 90° ;  β , γ < 90°

12)   Teorema di Pitagora: Il quadrato dell’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti    a2 = b2 + c2

13)   Classificazione dei triangoli.


rispetto ai lati

rispetto agli angoli

Scaleno: tutti i lati diversi

Acutangolo: α,β,γ < 90°

Isoscele : due lati uguali

Rettangolo: un angolo di 90°

Equilatero: tutti e tre i lati uguali

Ottusangolo: un angolo> 90°

14)   In un triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due lati.
Controesempio:

15)    In un triangolo a lato maggiore è opposto angolo maggiore (e viceversa).
Nel disegno che segue, per esempio, dovrà essere: c>b>a e g>b>a

Circonferenza, cerchio e sfera: formule

16)   La lunghezza della circonferenza è : 2πr
17)   L’area del cerchio è : πr2
18)   La superficie della sfera è : 4 πr2
19)   Il volume della sfera è : 4/3 πr3

 

______________________________________________
Appunti tratti da Chiara Casari, classe 3B  –  ottobre 2008

Fonte: http://www.dettori.info/teachers/linux/appunti/richiami_geometria_ChiaraCasari_ottobre2008.doc

 

 

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