Misura delle grandezze geometria

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Misura delle grandezze geometria

Misura delle grandezze

Dicesi grandezza tutto ciò che è possibile misurare. Es. segmenti, angoli, superfici...

Due grandezze si dicono omogenee, se si possono confrontare fra loro in modo da stabilire un criterio per cui si possa giudicare se esse sono uguali o disuguali ed in questo caso, stabilire quale delle due grandezze è maggiore e quale è minore, due grandezze geometriche omogenee sono due segmenti oppure due angoli.

Due grandezze si dicono non omogenee o eterogenee, se non si possono confrontare fra loro e quindi non è possibile stabilire un criterio per cui si possa giudicare se esse sono uguali o disuguali ed in questo caso, stabilire quale delle due grandezze è maggiore e quale è minore; due grandezze geometriche eterogenee sono segmento ed angolo.

Misurare una grandezza significa confrontarla con un’altra grandezza omogenea ad essa, fissata come unità di misura, per stabilire quante volte questa ultima è contenuta in quella da misurare.

Per misurare una grandezza occorre:

considerare una grandezza A
considerare una unità di misura U omogenea
riportare tale unità tante volte es. n volte, fino ad avere la misura, quindi:

A = n U; la misura n è un numero assoluto maggiore di zero.

DEF.: Si chiama misura di una grandezza il numero assoluto intero (naturale) o decimale diverso da zero che esprime quante volte l’unità di misura è contenuta nella grandezza da misurare. Considerata una grandezza A ed un’altra U omogenea con A, si chiama misura di A, il numero reale n che esprime il rapporto di A ad U, cioè: .

La grandezza U si chiama unità di misura. Tale nome è suggerito dal fatto che la misura di una grandezza U rispetto all’unità di misura U è uguale ad 1 in quanto il rapporto di U ad U è 1.

Che differenza esiste tra ?

AB si legge “segmento di estremi AB” e rappresenta il segmento inteso come figura geometrica, cioè come insieme di punti,

si legge “ misura del segmento AB” indica la misura o la lunghezza del segmento AB ed indica un numero assoluto.

L’unità di misura si può indicare anche con altre lettere minuscole diverse da u, es: cm, gradi, a, b ecc.

Il rapporto di due grandezze omogenee è uguale al quoziente delle loro misure rispetto ad una stessa unità di misura: con a misura di A e b misura di B.

Come unità di misura dei segmenti si considera il metro (m), (multipli: Km, hm, dam, sottomultipli: dm, cm, mm; se dai multipli si passa ai sottomultipli si moltiplica per le potenze di 10, se dai sottomultipli si passa ai multipli si divide per le potenze di 10) la misura di un segmento si dice lunghezza del segmento;

come unità di misura degli angoli si considera il grado (sottomultipli: primo e secondo, per passare dal grado ai sottomultipli si moltiplica per 60, per passare dai sottomultipli al multipli si divide per 60), la misura di un angolo si dice ampiezza dell’angolo;

come unità di misura della superficie si considera il metro al quadrato (m²), (multipli: Km², hm², dam², sottomultipli: dm², cm², mm²; se dai multipli si passa ai sottomultipli si moltiplica per le potenze di 10², se dai sottomultipli si passa ai multipli si divide per le potenze di 10²), la misura di una superficie si chiama area della superficie.

Approssimazione di un numero decimale per difetto o per eccesso

Normalmente si usa approssimare un numero per eccesso, e quindi aumentare la cifra decimale precedente di una unità, quando la cifra seguente a quella fissata per l’approssimazione è superiore a 4, e per difetto quando va da 1 a 4.

Es: calcola 0,5234 approssimato ai millesimi. La cifra seguente a quella dei millesimi è 4; 4<5; quindi; 0,5234 approssimato ai millesimi = 0,523 (per difetto).

Es.: calcola 0,5237 approssimato ai millesimi. La cifra che segue quella dei millesimi è 7; 7>5; quindi; 0,5237 approssimato ai millesimi = 0,524 (per eccesso).

Classi di grandezze

Più grandezze costituiscono una classe di grandezze omogenee, o della stessa specie, quando tra esse si può porre:

1) un criterio di confronto, mediante il quale si possa giudicare se esse sono uguali o disuguali e in questo caso, stabilire quale delle due grandezze è maggiore e quale è minore,

2) un criterio di somma, cioè una legge che a due grandezze qualsiasi della classe ne associ una terza, ancora appartenente alla classe.

Sono classi di grandezze omogenee: l’insieme delle lunghezze dei segmenti, l’insieme delle ampiezze degli angoli, l’insieme delle aree delle superfici piane;

Due grandezze per poter essere addizionate o sottratte devono essere omogenee ed essere espresse nella stessa unità di misura, es: se due segmenti sono espressi uno in cm e l’altro in m, per poterli addizionare o sottrarre occorre trasformarli o entrambi in cm, o in m.

Per le grandezze omogenee valgono le seguenti proprietà:

1. riflessiva: ogni grandezza è uguale a se stessa;

2. simmetrica: se una grandezza A è uguale ad una grandezza B, allora B è uguale ad A;

3. transitiva: due grandezze uguali ad una terza sono uguali tra loro;

4. transitiva della disuguaglianza: se una grandezza è maggiore (minore) di un’altra e questa

è maggiore (minore) di una terza allora la prima è maggiore (minore) della terza,

5. legge di esclusione: date due grandezze A e B, si verifica sempre uno ed uno solo dei

seguenti casi: A = B, A < B, A > B,

6. commutativa: la somma di due o più grandezze non cambia se si cambia l’ordine di esse,

7. associativa: la somma di più grandezze non cambia se a due o più di esse si sostituisce la

loro somma,

8. somme di grandezze uguali sono uguali,

9. differenze di grandezze uguali sono uguali.

Multipli e sottomultipli di una grandezza

Considerate due grandezze omogenee (es. due segmenti AB e CD) se: A = m B allora si dice che A è una grandezza multipla di B rispetto ad m, e che B è una grandezza sottomultipla di A secondo il numero m ed è data da: B = A.

DEF.: Data una grandezza B ed un numero naturale m, la grandezza A somma di m grandezze tutte uguali a B si dice multipla di B secondo m, mentre B si dice sottomultipla di A secondo il numero m.

Postulato della divisibilità: Ogni grandezza è sempre divisibile in un numero qualunque di parti uguali.

Postulato di Eudosso –Archimede: Date due grandezze omogenee disuguali, esiste sempre una multipla della minore che supera la maggiore.

Grandezze commensurabili ed incommensurabili

Due grandezze omogenee sono commensurabili, se esiste una grandezza ad esse omogenea che sia sottomultipla comune. In tal caso, il rapporto di esse è un numero razionale assoluto.

Due grandezze omogenee sono incommensurabili, se non esiste alcuna grandezza, a esse omogenea, che sia una sottomultipla comune. In tal caso il rapporto di esse è un numero irrazionale assoluto.

Un esempio di grandezze incommensurabili è dato dal lato e dalla diagonale di un quadrato.

Due grandezze commensurabili con una terza sono commensurabili tra loro, invece due grandezze incommensurabili con una terza non sempre sono incommensurabili tra loro.

La misura di una grandezza geometrica rispetto ad un’altra ad essa omogenea (unità di misura) esiste sempre ed è espressa da un numero reale, razionale o irrazionale a secondo che le due grandezze sono commensurabili o incommensurabili.

1. Es : Date tre grandezze A, B e C omogenee, determinare il rapporto tra A e C sapendo che A =(numero razionale assoluto).

2. Es.: Dimostrare che in un triangolo rettangolo l’ipotenusa e la mediana relativa ad essa sono grandezze commensurabili.

Due classi di grandezze sono direttamente proporzionali, se il rapporto di due qualsiasi grandezze della prima classe è uguale al rapporto delle due corrispondenti grandezze della seconda classe; sono invece inversamente proporzionali, se il rapporto di due qualsiasi grandezze della prima classe è uguale all’inverso del rapporto delle due grandezze corrispondenti nella seconda classe.

RAPPORTI E PROPORZIONI (pag. 173)

Rapporti

Si dice rapporto fra due numeri, dei quali il secondo diverso da zero, il loro quoto. Il rapporto fra 35 e 7 che si scrive: 35 : 7 e si legge 35 sta a 7, è quindi 5. I numeri 35 e 7 si dicono termini del rapporto, più precisamente 35 si dice antecedente e 7 si dice conseguente. Se l’antecedente non è multiplo del conseguente, il rapporto sarà espresso da una frazione, esempio: 27 : 16 = 27/16

Dicesi rapporto inverso di un rapporto dato, quello che si ottiene scambiando i termini. Esempio: 25 : 23 e 23 : 25 sono rapporti inversi.

Proprietà invariantiva: il rapporto di due numeri non cambia se si moltiplicano o si dividono i suoi termini per uno stesso numero diverso da zero.

Proporzioni numeriche

Si chiama proporzione l’uguaglianza tra due rapporti. Quattro numeri sono in proporzione se il rapporto tra i primi due è uguale al rapporto degli altri due.

Essendo il rapporto di 10 e 5 uguale al rapporto di 6 e 3, si può scrivere: 10 : 5 = 6 : 3 che si legge:

10 sta a 5 come 6 sta a 3, infatti 10 : 5 = 2 e 6 : 3 = 2.

I quattro numeri 10, 5, 6, 3 si chiamano i termini della proporzione. Inoltre 10 e 6 si dicono antecedenti, 5 e 3 conseguenti; 10 e 3 estremi, 5 e 6 medi. Il quarto numero, e cioè 3, si dice il quarto proporzionale dopo 10, 5, 6.

Una proporzione avente i medi o gli estremi uguali si dice continua

Proprietà fondamentale: in ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.

Mediante questa proprietà si può ricercare il termine incognito di una proporzione.

Proprietà delle proporzioni:

proprietà del permutare: 6 : 3 = 4 : 2 in ogni proporzione si possono scambiare i medi

6 : 4 = 3 : 2 oppure gli estremi 2 : 3 = 4 : 6

proprietà dell’invertire: 6 : 3 = 4 : 2 in ogni proporzione si può scambiare ogni antecedente col suo conseguente 3 : 6 = 2 : 4

proprietà del comporre: 6 : 3 = 4 : 2 in ogni proporzione la somma dei primi due termini sta al primo (oppure al secondo) come la somma degli altri due termini sta al terzo (oppure al quarto) (6 + 3) : 6 = (4 + 2) : 4 oppure (6+ 3) : 3 = (4 + 2) : 2

proprietà dello scomporre: 6 : 3 = 4 : 2 in ogni proporzione se ogni antecedente è maggiore del proprio conseguente, la differenza tra il primo ed il secondo termine sta al primo (oppure al secondo) come la differenza tra il terzo e il quarto termine sta al terzo (oppure al quarto)

(6 - 3) : 6 = (4 - 2) : 4 oppure (6 - 3) : 3 = (4 - 2) : 2,

Estendiamo il concetto di proporzione tra numeri al concetto di proporzione tra grandezze geometriche.

Proporzioni tra grandezze geometriche

Definizione: Quattro grandezze A, B, C, D, (oppure a, b, c, d, che indicano le misure delle grandezze e quindi sono uguali a dei numeri) di cui le prime due omogenee tra loro e le ultime due pure omogenee tra loro, si dicono in proporzione se il rapporto tra A e B è uguale al rapporto tra C e D e si scrive

A : B = C : D. Più brevemente possiamo definire la proporzione come l’uguaglianza di due rapporti.

Una proporzione avente i medi uguali si dice continua. Esempio: A : B = B : C allora C si dice terza proporzionale dopo A e B.

Teorema fondamentale: Affinché quattro grandezze siano in proporzione, è che siano in proporzione le loro misure. A : B = C : D a : b = c : d

Proprietà delle proporzioni

proprietà del permutare: A : B = C : D in ogni proporzione tra grandezze tutte omogenee, si possono scambiare i medi A : C = B : D oppure gli estremi D : B = C : A

proprietà dell’invertire: A : B = C : D in ogni proporzione si può scambiare ogni antecedente col suo conseguente B : A = D : C

proprietà del comporre: A : B = C : D in ogni proporzione tra grandezze la somma dei primi due termini sta al primo (oppure al secondo) come la somma degli altri due termini sta al terzo (oppure al quarto) (A + B) : A = (C + D) : C oppure (A + B) : B = (C + D) : D

proprietà dello scomporre: A : B = C : D in ogni proporzione tra grandezze se ogni antecedente è maggiore del proprio conseguente, la differenza tra il primo ed il secondo termine sta al primo (oppure al secondo) come la differenza tra il terzo e il quarto termine sta al terzo (oppure al quarto) (A - B) : A = (C - D) : C oppure (A - B) : B = (C - D) : D,

Teorema della quarta proporzionale: Date tre grandezze A, B, C, con A e B omogenee tra loro, esiste ed è unica la grandezza D, omogenea con C, che è quarta proporzionale dopo A, B, C.

(Considerato il triangolo rettangolo ABC e l’altezza CH relativa all’ipotenusa, AH è la proiezione di AC su AB, HB è la proiezione di BC su AB).

1° teorema di Euclide: In ogni triangolo rettangolo ciascun cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull’ipotenusa.

A B : A C = A C : A H

A H B

2° teorema di Euclide: In ogni triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.

A H : C H = C H : H B

Fonte: http://www.matgeo.altervista.org/alterpages/files/Misuradellegrandezze.doc

Sito web da visitare: http://www.matgeo.altervista.org

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