Geometria solida

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Formulario semplice di geometria solida

Nome Solido	Solido	Formula Sup. laterale	Formule inverse Sup. laterale	Formula Sup. totale	Formule inverse Sup. totale	Formula volume	Formule inverse volume
Cilindro
Cono
Piramide
NOTA BENE: Per la PIRAMIDE p è il perimetro della base (GUARDA IL FORMULARIO DELLE FIGURE PIANE), A è l'area della base (GUARDA IL FORMULARIO DELLE FIGURE PIANE)

Autore: Gigi Oliva - Genova - 16 giugno 2006 - Ultima modifica: 17 giugno 2006

Fonte: http://web.mclink.it/MC6097/disle/geom/formulario_semplice_geometria_solida.doc

Dispense di geometria solida
Lezione 1

CONCETTI DI BASE E TERMINOLOGIA
Enti fondamentali: punto, retta, piano, spazio.
Lo spazio euclideo è un insieme infinito di elementi (i punti), contiene sottoinsiemi propri ed infiniti (i piani)

In ogni piano valgono gli assiomi del piano euclideo
Ogni punto appartiene ad infinite rette dello spazio (stella di rette)
Ogni punto appartiene ad infiniti piani (stella di piani)

Ogni retta r appartiene ad infiniti piani (fascio proprio di piani); r è detta asse del fascio.

Postulati dello spazio:

Per tre punti non allineati passa uno e un solo piano

Fissati due punti in un piano, la retta passante per i due punti giace interamente nel piano

Se due piani distinti hanno in comune un punto, essi hanno in comune un’intera retta
Ogni piano si ha solo uno dei due seguenti casi:

il segmento AB non interseca il piano: A e B appartengono allo stesso semispazio;
il segmento CD interseca il piano: C e D appartengono semispazi opposti.

Posizioni reciproche:

retta-retta: due rette nello spazio possono essere

complanari: appartengono allo stesso piano e sono o incidenti o parallele
sghembe: non appartengono allo stesso piano

retta-piano: una retta e un piano nello spazio possono essere

incidenti: hanno un solo punto in comune (in particolare possono essere perpendicolari)
paralleli: non hanno punti in comune, oppure li hanno tutti e la retta giace sul piano

Se una retta è parallela ad una retta di un piano, essa è parallela al piano.

piano-piano: due piani nello spazio possono essere

incidenti: hanno una retta in comune (tale retta si chiama intersezione dei due piani)
paralleli: non hanno punti in comune, oppure li hanno tutti

Le intersezioni di piani paralleli con un piano incidente sono rette parallele.
Per un punto esterno ad un piano si può condurre un solo piano parallelo al piano dato.

Posizione reciproca retta-piano: caso particolare in cui retta e piano sono perpendicolari
Una retta e un piano si dicono perpendicolari quando la retta interseca il piano ed è perpendicolare a tutte le rette del piano che passano per il punto di intersezione, detto piede della perpendicolare. Per stabilire se una retta è perpendicolare a un piano è sufficiente accertarsi che essa sia perpendicolare a due rette del piano passanti per il punto di intersezione; ciò in virtù del seguente
Teo: se una retta r è perpendicolare a due rette a e b, che passano entrambe per un suo stesso punto P, allora r è perpendicolare a qualunque altra retta passante per P e complanare ad a e b.
Esercizio:
Esplicita ipotesi e tesi del teorema:
Ipotesi

……………..
……………..
………………

Tesi ……………………
Data la costruzione in figura, i punti H e K si trovano in …………opposti rispetto al piano
Proprietà:

dati un piano e un punto P, esiste ed è unica la retta passante per il punto e perpendicolare al piano
dati un punto e una retta, esiste un solo piano passante per il punto e perpendicolare alla retta
piani perpendicolari alla stessa retta in punti distinti sono paralleli tra loro

Teo delle tre perpendicolari: se dal piede della perpendicolare ad un piano si conduce la perpendicolare c ad una retta qualunque r del piano, questa risulta perpendicolare al piano individuato dalle prime due rette.

Ipotesi:

Tesi:
Proiezioni – angolo di una retta con un piano:
Proiezione di un punto su un piano – piede della perpendicolare condotta dal punto al piano;
Proiezione di una figura su un piano – figura costituita dalle proiezioni dei suoi punti sul piano;
La proiezione di una retta su un piano non perpendicolare ad essa è una retta.
Angolo di una retta con un piano – angolo acuto che la retta forma con la sua proiezione sul piano
Diedri
Si definisce diedro la parte infinita di spazio limitata da due semipiani (facce del diedro) che si intersecano in una retta (spigolo del diedro);
Diedro convesso – se, presi due suoi punti qualsiasi, il segmento che li congiunge è tutto interno al diedro;
Diedro concavo – se non è convesso.
Sezione di un diedro –angolo che si ottiene come intersezione tra il diedro e un qualunque piano che interseca il suo spigolo;

Sezione normale di un diedro –angolo che si ottiene come intersezione tra il diedro e un piano perpendicolare allo spigolo del diedro.

Le sezioni normali di uno stesso diedro sono angoli uguali.
Diedri uguali hanno sezioni normali uguali e viceversa.

Ampiezza di un diedro – ampiezza della sua sezione normale.

Diedro retto – diedro la cui ampiezza è un angolo retto.

Prop: due piani incidenti si dicono perpendicolari se formano quattro diedri retti.

Se si associa a un diedro la sua sezione normale e viceversa, si ottiene una corrispondenza biunivoca: tale corrispondenza permette la trasposizione ai diedri di tutta la terminologia degli angoli (diedri acuti, ottusi, opposti allo spigolo ecc..)

Per esercizio: date le seguenti figure, indicare:

facce
spigolo
quale è convesso e quale è concavo
sezione normale
ampiezza

Generalizziamo: consideriamo non più due soli piani, ma più piani, a due a due non paralleli, che si intersecano in un punto V.
Angoloidi
Superficie piramidale indefinita – dato un poligono convesso e un punto V non appartenente al piano del poligono, immaginiamo di tracciare tutte le semirette che uscendo da V intersecano i lati del poligono. La superficie descritta da tali semirette si dice superficie piramidale indefinita.
V è il vertice della superficie piramidale indefinita.
sono gli spigoli.
Gli angoli si chiamano facce.
Angoloide – porzione di spazio formata da una superficie piramidale indefinita e da tutti i suoi punti interni.

L’ampiezza di ogni faccia di un angoloide è minore di tutte le altre.
La somma delle ampiezza delle facce di un angoloide è minore di un angolo giro.

Triedro: angoloide con tre facce.
Per esercizio:

in un triedro, quale poligono determina la superficie piramidale indefinita?
da quanti piani è determinato un triedro?
in quanti semispazi essi suddividono lo spazio?

SCHEMA DI CLASSIFICAZIONE DELLE FIGURE SOLIDE
Solido – figura formata da un insieme di punti che non appartengono tutti allo stesso piano.

POLIEDRI
Poliedro - figura solida, delimitata da un numero finito di poligoni appartenenti a piani diversi, tali che il piano di ogni poligono non attraversi il solido.

SOLIDI DI ROTAZIONE
Solido di rotazione – solido generato dalla rotazione di una figura piana attorno ad una retta r, secondo un angolo è un angolo giro, la rotazione è completa)

PRISMA

indefinito
definito
casi particolari (prisma retto, parallelepipedo, parallelepipedo rettangolo)

PIRAMIDE

piramide
casi particolari (piramide retta, piramide regolare)
tronco di piramide

CILINDRO

indefinito
finito
retto
equilatero

CONO

indefinito
indefinito a due falde
finito
retto
equilatero

SFERA
Definizione, superficie sferica, calotta sferica, segmento sferico ad una e due basi, zona sferica.

POLIEDRI REGOLARI – le facce sono poligoni regolari congruenti, ed anche gli angoloidi e i diedri sono congruenti

Lezione 2: I POLIEDRI
PRISMA, PIRAMIDE E LORO CASI PARTICOLARI
La superficie di un solido si dice sviluppabile se, mediante un numero finito di tagli, si può distendere completamente su un piano senza deformarla.
I poliedri, i cilindri, i coni e le loro parti hanno superfici sviluppabili, quindi la misura delle loro superfici si riconduce a un problema di geometria piana.
Né la sfera né alcuna sua parte sono sviluppabili, quindi non si può fare riferimento a figure piane.
La misura della superficie sferica si può calcolare come limite della superficie di un poliedro inscritto (o circoscritto) nella sfera quando il numero delle facce tende all’infinito.

Poliedro: figura formata da una superficie poliedrica e da tutti i suoi punti interni.
Diagonale del poliedro: segmento che congiunge due vertici non appartenenti alla stessa faccia.

Prisma: poliedro in cui due facce (basi) sono poligoni
congruenti con i lati corrispondenti paralleli e le altre facce
(facce laterali) sono parallelogrammi aventi una coppia di
lati paralleli coincidenti con i lati omologhi delle basi. La
distanza tra le basi è detta altezza.
Se gli spigoli laterali non sono perpendicolari ai piani delle
basi, il prisma si dice obliquo, altrimenti si dice retto: In un
prisma retto le facce laterali sono rettangoli. Un prisma si
dice regolare se è retto e le basi sono poligoni regolari
(prisma triangolare, quadrangolare, pentagonale, ecc.)

Parallelepipedo: prisma avente per basi due
parallelogrammi (quindi è delimitato da 6
parallelogrammi).
Parallelepipedo retto: i suoi spigoli
sono perpendicolari ai piani di base;
parallelepipedo rettangolo: è retto ed ha per basi dei rettangoli .
Cubo: prisma delimitato da 6 quadrati.

Piramide: parte di angoloide delimitato dal piano α e contenente il punto O (detto vertice della piramide); il poligono K è la base, gli spigoli dell’angoloide sono gli spigoli laterali della piramide; la distanza di O da α è l’altezza; i triangoli individuati
da α sono le facce laterali; la loro unione è la superficie laterale della piramide; l’unione tra superficie laterale e la superficie di K dà la superficie totale.
Piramide retta: ha per base un poligono circoscrivibile ad un cerchio, il cui centro coincide con la proiezione di O sulla base. Le facce laterali di una piramide retta hanno altezze congruenti tra loro, detta apotema della piramide.
Piramide regolare: è una piramide retta in cui la base K è un poligono regolare: le facce laterali di una piramide regolare sono triangoli isosceli tutti congruenti tra loro.

Teorema: se si taglia una piramide con un piano parallelo alla base, allora:
1) la base e la sezione sono poligoni simili;
2) i lati e i perimetri di questi poligoni sono proporzionali alle distanze del loro piano dal vertice V e le aree sono proporzionali ai quadrati di queste distanze
3) i volumi delle due piramidi stanno tra loro come i cubi delle loro altezze

Tronco di piramide: solido ottenuto tagliando una piramide con un piano parallelo alla base (non passante per V) e non contenente V. Un tronco è retto(risp. regolare) se è retta (risp. regolare) la piramide sezionata.

POLIEDRI PLATONICI
Poligono regolare – poligono che ha tutti i lati e tutti gli angoli uguali (es: triangolo equilatero, quadrato, pentagono con lati e angoli uguali, esagono con lato uguale al raggio della circonferenza circoscritta).
La costruzione di un poligono regolare può essere più o meno complessa, ma è sempre possibile pensare ad un poligono regolare con n lati, dove n può esprimere un numero anche molto grande: in altre parole, nel piano non esiste alcun limite al numero delle figure regolari che si possono costruire.

Per lo spazio la situazione è molto diversa.
Poliedro regolare – solido convesso, racchiuso da poligoni regolari tutti uguali tra loro; anche gli angoloidi sono tra loro congruenti.
Per i poliedri c’è un vincolo che per i poligoni non esiste:
la somma degli angoli che delimitano un angoloide non può raggiungere 360°.

Spieghiamo questo vincolo in maniera empirica:
supponiamo di fissare in tre punti non allineati gli estremi di tre elastici e di legare insieme gli altri tre estremi, trovando in questo modo il punto V.
Sollevando V si può realizzare una piramide con base fissa e angoloidi variabili.
Cosa succede se avvicino V alla base?
L’angoloide aumenta, e così pure la somma degli angoli formati dagli spigoli che concorrono in V.
Cosa succede quando V sta sul piano di base?
La somma degli angoli vale esattamente 360°, ma la piramide non esiste più!!! (è degenerata in una figura piana.

Data questa condizione, si può provare che

ESISTONO SOLO 5 POLIEDRI REGOLARI .

La seguente attività è utile per mostrare questa affermazione.
Visto che il poliedro deve essere costruito con facce regolari prendiamo in esame i vari poligoni regolari ed osserviamo che cosa accade.

Partiamo dal triangolo equilatero: ha gli angoli di 60° gradi.
Possiamo accostare 3 triangoli : 3 x 60° = 180° < 360°.
Costruiamo così un angoloide. Poiché è possibile chiuderlo con un altro triangolo uguale ai precedenti, si può costruire un tetraedro.
tetraedro: (da tetra = quattro) infatti è formato in tutto da 4 facce triangolari.

Possiamo accostare 4 triangoli equilateri intorno ad un vertice si avrà : 4 x 60° = 240° < 360° . Si può costruire l'angoloide saldando tra loro due lati estremi. Se si chiude con un altro angoloide uguale, utilizzando in tutto 8 triangoli equilateri, si ottiene un solido che facce ed angoloidi uguali tra loro ed è quindi un poliedro regolare: un ottaedro.

Possiamo accostare 5 triangoli:5 x 60° =300°<360°

Si può costruire l'angoloide saldando tra loro due lati estremi. Si può chiudere il poliedro utilizzando in tutto 20 triangoli equilateri uguali: si avrà un icosaedro (da icos = 20).
Accostando invece 6 triangoli equilateri non è più soddisfatta la condizione che la somma degli angoli deve essere < 360°:le facce si " schiacciano " su un piano.
Dunque non possono esistere altri poliedri regolari con facce triangolari al di là dei tre già trovati.

Possiamo ora accostare dei quadrati (angoli di 90°).
Con tre 3 x 90° =270° < 360° si ottiene un angoloide che permette poi di costruire un cubo o esaedro.

Già quattro quadrati non vanno più bene, perché la somma dei quattro angoli che concorrono in un vertice è uguale a 360°: si rimane così nel piano.

Possiamo usare dei pentagoni: la somma degli angoli interni di un pentagono regolare è data da (n-2) *180° con n = 5dunque ogni angolo interno misura 108°. Dunque tre angoli misurano : 3 x 108° = 324° < 360° .

Si ottiene un dodecaedro.
Ma con quattro pentagoni la somma supera 360°.
Con tre esagoni la situazione si presenta in questo modo: ogni angolo interno misura 120°. Accostando tre esagoni si realizza un angolo di 360° . Questo non ci permette di uscire dal piano.
Non è possibile nessuna altra costruzione, con nessun altro poligono regolare. Infatti gli angoli interni dei poligoni regolari con più di 6 lati risulteranno maggiori di 120°. Poiché per costruire un angoloide occorrono almeno tre di tali poligoni, la somma degli angoli che delimitano l'angoloide sarebbe maggiore di 360° , mentre la condizione per poter costruire un solido (convesso) è che tale somma sia minore di 360°.
In tutto quindi non si possono avere che cinque poliedri regolari.
Osservazione: i centri delle facce di un poliedro regolare sono i vertici di un altro poliedro regolare; dall’ottaedro si ottiene l’esaedro e viceversa, dal dodecaedro l’icosaedro e viceversa, dal tetraedro un altro tetraedro.

Dentro il tetraedro se ne forma un altro chiamato duale

Dentro il cubo si forma un ottaedro duale

Dentro l’ottaedro si forma un esaedro duale

Dentro il dodecaedro si forma l’icosaedro duale

Dentro l’icosaedro si forma il dodecaedro duale

Spunto di lavoro:
Prima di procedere nella lettura è utile costruire i poliedri, con i vari materiali, cartoncino, bastoncini, origami, ciascuna costruzione sarà vantaggiosa per alcuni aspetti.
Ma se volete utilizzare esclusivamente il computer potete trovare ottime illustrazioni nel sito
www.scienceu.com/geometry/fracts/solids/haudson.html

UN PO’ DI STORIA……

La prima costruzione dei cinque poliedri è dovuta, quasi sicuramente alla scuola Pitagorica. Lo storico Proclo (410 - 485 d.C.) a proposito di Pitagora afferma: "Egli scoprì il fatto degli irrazionali e la costruzione delle figure cosmiche ( poliedri regolari)"
Platone assegna a queste figure un ruolo importante nella sua filosofia. Nel dialogo Timeo, egli associa ai quattro elementi da cui trae origine il mondo, quattro dei cinque poliedri:

Utilizza solo 4 elementi poiché tanti erano gli elementi fondamentali, secondo la filosofia antica. Non butta però via il dodecaedro, ma gli dà un ruolo di ornamento e di completamento.
Ritroviamo i cinque poliedri con Euclide. Infatti, nel XII libro degli " Elementi", Euclide propone di inscrivere ciascun poliedro in una sfera di dato diametro e quindi di determinare il rapporto tra lo spigolo del poliedro inscritto ed il diametro della sfera circoscritta. In tal modo le misure degli spigoli diventano tra loro rapportabili.
Nell'ultimo capitolo del suo libro, Euclide dimostra che non ci possono essere altri poliedri regolari al di fuori dei 5.
Dopo Euclide, Archimede si occupa dei poliedri, ma non di quelli strettamente regolari. Egli richiede che:
· le facce siano dei poligoni regolari, anche diversi tra loro ( ad esempio: triangoli equilateri, quadrati).
· le facce poligonali devono essere disposte nello stesso modo intorno ad un vertice.
Si parla in tal caso di poliedri semiregolari o Archimedei. Anche per questi solidi c'è un numero limitato di possibilità: in tutto 13. (Poliedri semiregolari).
Tra i solidi semiregolari si trova anche il pallone da calcio (quello di una volta) composto da 20 esagoni e da 12 pentagoni.

Anche Apollonio si occupa di poliedri. Si attribuisce a lui una proprietà relativa al dodecaedro e all'icosaedro inscritti nella stessa sfera, proprietà sfuggita ad Euclide.

Così si giunge alle conoscenze indicate nella tabella seguente, in cui spigoli, superfici, volumi vengono calcolati a partire dalla misura del raggio della sfera circoscritta al solido.

Erano bravi questi matematici tenendo conto anche del fatto che non avevano la possibilità di scrivere le formule in modo così "compatto": infatti non era nata ancora l'algebra e tutto veniva raccontato in modo discorsivo, (come se si dovesse eseguire un tema).

Verso il III sec. dopo C. c'è una rinascita della matematica con gli studi di Pappo e di Diofanto.
Pappo affronta il problema dei poliedri inscritti in una sfera in modo nuovo cioè attraverso la ricerca delle sezioni circolari.
Alcuni autori contemporanei di Proclo scrivono un XV libro degli Elementi in cui compare il calcolo del numero dei vertici, degli spigoli e delle facce dei cinque solidi regolari.

Nel II sec. d.C. in tutto il mondo Greco-romano si accentuano gli atteggiamenti irrazionali, proliferano la magia, l'astrologia, e l'alchimia.
Troviamo i poliedri regolari come simboli per gli elementi sotto i quali si può presentare la materia.
Gli alchimisti parlano oltre che di terra (cubo), fuoco (tetraedro), acqua (icosaedro), aria (ottaedro) anche di Quintaessenza (etere) simboleggiata da dodecaedro che trova così anch'esso una giusta collocazione.
Nel 1400 con il Rinascimento troviamo condizioni che favoriscono la ripresa degli studi in campo geometrico. L'arte si avvicina ad un metodo scientifico e usa come strumenti di osservazione la geometria, l'ottica, la teoria della luce e dei colori, l'anatomia e la fisiologia (Leonardo è un esempio di questo modo di lavorare).
Con la caduta dell'Impero Romano di Oriente, nel 1453 giungono in Italia molti studiosi bizantini portando con sé testi antichi. Nel 1505 viene pubblicata a Venezia una traduzione degli " Elementi " di Euclide e le " Coniche " di Apollonio.
La vera molla per riprendere gli studi geometrici sono gli artisti attraverso la formulazione delle regole per la prospettiva centrale e della teoria delle ombre: studi che conducono alla Geometria Proiettiva.
Inoltre, Piero della Francesca nel trattato " De quinque corporibus regularibus" sostiene che il mondo è pieno di corpi complessi o senza una particolare forma, ma ognuno di essi può essere ricondotto ai cinque poliedri regolari che rappresentano l'eterna perfezione.
Piero della Francesca intende rivolgere il suo trattato non ai matematici ma agli artisti e dà perciò un taglio applicativo più che dimostrativo.
Di questo trattato esiste una versione in volgare nella " Divina Proporzione" di Luca Pacioli.
I disegni per questo libro sono stati eseguiti da Leonardo.

Ritroviamo poi i poliedri con Keplero che abbraccia la teoria eliocentrica e si impegna a rafforzarla.
Secondo Keplero l'universo è ordinato secondo un piano matematico ed egli ricerca le leggi matematiche nei moti dei pianeti.

Nell'opera giovanile "Misterium cosmograficum" Keplero afferma che Dio nel creare l'universo tenne presenti i cinque poliedri regolari egli perciò fissa , in accordo con le dimensioni di tali poliedri, il numero dei cieli, le loro proporzioni e le relazioni tra i loro movimenti.

Keplero cerca di mettere in relazione il raggio dell'orbita intorno al sole di ciascun pianeta con lo spigolo di uno dei cinque poliedri regolari. Realizza così un modello di sistema solare eliocentrico molto particolare, in cui i pianeti descrivono orbite circolari e le sfere generate dalla rotazione di queste sono inscritte o circoscrivono i cinque solidi regolari nel seguente modo:
Inoltre Keplero riprende il significato che l'astrologia attribuisce a ciascun pianeta e lo mette in corrispondenza con le caratteristiche dei poliedri.
Ad esempio, nel suo modello, tra l'icosaedro e l'ottaedro si trova Venere: questi due solidi sono i meno stabili e rappresentano bene, secondo Keplero, le caratteristiche della femminilità : instabilità e volubilità. Mercurio veloce viene accostato all'ottaedro che ruota come una trottola intorno ad un suo asse.
Più tardi Keplero si accorge che il suo modello non corrisponde ai risultati dell'osservazione ed è costretto ad abbandonare le sue ipotesi.
In realtà calcolando le distanze dei pianeti dal sole d'accordo con il modello di Keplero, si può trovare che tali distanze differiscono da quelle reali con errori fino al 40%.
Verso una nuova geometria…
Lo studio della geometria classica prende in esame le proprietà metriche delle figure cioè le misure di angoli e di lati che restano invariate se la figura stessa viene sottoposta a movimenti rigidi cioè traslazioni, rotazioni e ribaltamenti. Sottoponendo le figure ad un diverso tipo di trasformazione si giunge ad una nuova geometria.
E' quello che è accaduto a partire dal '500 con la teoria della prospettiva. Il problema di quali siano le proprietà geometriche della figura reale che si conservano passando alla sua immagine mediante proiezione, viene sollevato per la prima volta da Leon Battista Alberti.
Ad esempio nella prospettiva due linee che nella realtà sono parallele vengono rappresentate in modo da incontrarsi in un punto, le lunghezze e gli angoli perciò si alterano.
Nel '600 prendono avvio i primi studi di geometria proiettiva ad opera di Descargues e Pascal.
Nel '700 inizia anche la revisione dei contenuti della geometria classica.
Eulero è la figura di maggior spicco, da questo punto di vista. Nel campo della geometria dello spazio, il suo contributo è dato dal seguente teorema:
V + F - S = 2

dove V indica il numero dei vertici di un poliedro, F il numero di facce, S il numero di spigoli.
A partire dal '700 si lavora per generalizzare tale formula e per dimostrarla.
Nasce così una nuova branca della geometria chiamata Topologia: cioè studio delle proprietà di una figura invarianti quando tale figura viene deformata (proprio come se fosse di materiale duttile).

Verifichiamo la validità della formula nel caso del cubo:

Facce = 6
Vertici = 8
Spigoli = 12
F + V - S = 6 + 8 - 12 = 14 - 12 = 2

Teorema di Eulero

V + F - S = 2
In ogni poliedro se al numero di facce F addizionato al numero dei vertici V si sottrae il numero degli spigoli S si ottiene sempre 2; in altre parole: La somma del numero di facce e del numero di vertici è uguale al numero degli spigoli aumentato di 2.
Possiamo verificarne la validità per alcuni poliedri:

Tutto funziona! Completa tu la tabella per i restanti poliedri regolari.
Ma questa formula può essere vera anche per altri poliedri non regolari?
1) Si può costruire un qualunque tetraedro non regolare:
f = 4
v = 4
s = 6
quindi
f + v - s = 4 + 4 - 6 = 2
2) Si può costruire ora un esaedro (sei facce) accostando secondo una faccia due tetraedri non regolari ma uguali tra loro.
f aumenta di 2 infatti ogni tetraedro ha 4 facce,
due tetraedri hanno 8 facce
però accostandoli due facce vengono incollate e si perdono.
v aumenta di 1 (si aggiunge solo un altro vertice)
s aumenta di 3
La formula diventa
f + v - s = (f + 2) + (v + 1) - (s + 3) = f + v - s +3 - 3 = f + v- s
se non viene modificata, l'espressione darà ancora come risultato 2.
Quindi la formula vale anche per un esaedro non regolare.
3) Possiamo continuare ad accostare tetraedri ottenendo così un poliedro con facce, spigoli, vertici sempre più numerosi, ma, ogni volta che accostiamo un nuovo tetraedro
si avrà che :
f aumenta di 2 ; v aumenta di 1
f + v aumenta di 3 mentre s aumenta di 3 ogni volta.
Globalmente la differenza tra ( f + v ) - s resterà invariata per effetto della
proprietà invariantiva della sottrazione.
4) Sembrerebbe quindi che la formula valga per un poliedro con un numero imprecisato
di facce ottenibile accostando dei tetraedri.
La domanda da porsi ora è :

Ci sono poliedri che non si possono ottenere in questo modo?
a) Una piramide si può sempre scomporre in due tetraedri accostati per una faccia: basta tagliarla lungo un piano che passa per il vertice e che taglia la base lungo una diagonale.

b) Un poliedro si può sempre scomporre in piramidi:
basta congiungere un vertice di una faccia con tutti i vertici di ciascuna altra faccia
Possiamo perciò concludere che
Tutti i poliedri possono essere scomposti in tetraedri e il teorema precedente risulta così valido per tutti i poliedri.

I SOLIDI DI ROTAZIONE
intorno ad a, la linea g descrive una superficie S, detta superficie di rotazione.
La retta a si dice asse di rotazione e la linea g generatrice della S.
Le sezioni di S con piani perpendicolari all’asse sono circonferenze che vengono dette paralleli.
L’intersezione di una superficie di rotazione con un piano passante per l’asse di rotazione si definisca meridiano

CILINDRO, CONO, SFERA
Cilindro: solido generato dalla rotazione completa di un rettangolo attorno ad uno dei suoi lati, che
costituisce l’altezza del cilindro, mentre gli altri lati sono i raggi del cilindro, e generano due cerchi detti basi del cilindro.
Si chiama cilindro equilateroil cilindro avente l’altezza congruente al diametro di base quindi la sua sezione con un piano passante per l’asse è un quadrato
Un prisma retto si dice inscritto in (circoscritto a) un cilindro quando le sue basi sono inscritte nelle (circoscritte alle) basi del cilindro.
Un prisma regolare risulta sempre inscrivibile e circoscrivibile ad un
cilindro.

Cono: solido generato dalla rotazione completa di un triangolo rettangolo attorno ad un cateto, che costituisce l’altezza del cono.
L’ipotenusa genera la superficie laterale e rappresenta l’apotema del
cono; l’altro cateto è il raggio del cono e genera la superficie di base.
Un cono si dice equilaterose l’apotema è congruente al diametro di base, per cui la sua sezione con un piano passante per l’asse è un triangolo equilatero
Una piramide retta si dice inscritta in (circoscritta a) un cono se il suo vertice è il vertice del cono e la sua base è inscritta nella (circoscritta alla) base.

Teorema: se si taglia un cono con un piano parallelo alla base, allora i raggi della circonferenza di base e della sezioni sono proporzionali alle distanze del loro piano dal vertice V e le aree sono proporzionali ai quadrati di queste distanze.

Tronco di cono: solido generato dalla rotazione completa di un trapezio rettangolo T attorno alla sua altezza; il lato obliquo di T genera la superficie laterale del tronco, ed è detto apotema o lato del tronco.

Sfera: solido generato dalla rotazione completa di un semicerchio attorno al suo diametro; la superficie generata dalla rotazione completa di una semicirconferenza attorno al diametro è detta superficie sferica.
Zona sferica: parte di superficie sferica compresa tra due piani paralleli che taglino la superficie.
Calotta: ciascuna parte in cui la superficie sferica resta suddivisa da un piano secante.

Segmento sferico a due basi: parte di sfera individuata da due piani secanti paralleli.
Segmento sferico a una base: ciascuna delle parti solide in cui una sfera è divisa da un piano secante.

Fuso sferico: parte di superficie sferica delimitata da due semipiani diametrali.
Spicchio sferico: parte di sfera limitata da un fuso e dai due semicerchi massimi corrispondenti ai
lati del fuso.

Anticlessidra: solido ottenuto come differenza tra un cilindro equilatero e i due coni aventi le basi coincidenti con quelle del cilindro e come vertice comune il centro della sfera inscritta nel cilindro stesso.

Lezione 3: I VOLUMI E LE AREE
I VOLUMI
Nel piano, due poligoni che hanno la stessa area (equiestesi)sono anche equiscomponibili, nel senso che entrambi possono essere scomposti nello stesso numero finito di poligoni tra loro congruenti.
Nello spazio le cose non sono così semplici:
Come si può fare a stabilire quando due poliedri sono equiestesi?
Si usa il
Principio di Cavalieri
Se due solidi si possono disporre rispetto a un piano dato in modo che le loro sezioni con un piano parallelo a quello dato siano equivalenti, allora i due solidi sono equivalenti.

Osserva:
Il principio di Cavalieri

è un assioma (non è dimostrabile)
riguarda tutte le figure solide (sia quelle poliedriche che quelle a contorno curvilineo, ossia i solidi di rotazione)
è una condizione sufficiente, ma non necessaria: in altre parole se due solidi soddisfano il principio di Cavalieri allora essi hanno lo stesso volume; non vale invece il teorema inverso ossia esistono almeno due solidi equiestesi per i quale non è possibile applicare il principio di Cavalieri. Ad esempio basta considerare un cubo e una sfera aventi lo stesso volume: comunque si dispongano i due solidi non si può trovare un fascio di piani paralleli che li tagli secondo sezioni corrispondenti di uguale area

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