Disegno assonometria cavaliera isometrica e monometrica

Disegno assonometria cavaliera isometrica e monometrica

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  COMUNICAZIONE N.12 DEL 11.03.2009

1 – L’assonometria
Generalità
L’assonometria consiste nella rappresentazione di un oggetto su un piano da un centro di proiezione posto all’infinito.
Analogamente alle proiezioni ortogonali, anche l’assonometria deve garantire una corrispondenza biunivoca fra punti nello spazio e punti sul quadro di rappresentazione. Per questo motivo, dati l’oggetto da rappresentare, il quadro e il punto di vista, la rappresentazione deve essere definita in modo univoco; al tempo stesso, data la rappresentazione, deve essere definito univocamente l’oggetto e la sua posizione nello spazio.
Se consideriamo un punto P (Fig. 1), una direzione assonometrica d (essa rappresenta la direzione dei raggi visuali di un ideale osservatore posto all’infinito) e un piano di rappresentazione π, la proiezione del punto risulta definita dall’intersezione del raggio proiettante (passante per P e parallelo a d) col quadro. Fissato il punto P, la sua rappresentazione P’ è definita in modo univoco; viceversa, data la rappresentazione P’, non è possibile risalire alla posizione del punto P che la ha generata. 

Fig. 1

Occorre quindi inserire un nuovo elemento nella rappresentazione: una terna di piani ortogonali (detti anche “piani di riferimento”), posti nello spazio, a cui l’oggetto da rappresentare viene correlato mediante tre proiezioni ortogonali.
La rappresentazione assonometrica consiste quindi nel proiettare sul quadro non solo l’oggetto ma anche le sue proiezioni ortogonali. Ne consegue quindi che un punto P è rappresentato sul quadro mediante quattro diverse immagini (Fig. 2), da cui è possibile risalire alla posizione del punto P nello spazio. Naturalmente, sul quadro occorre proiettare anche la terna cartesiana costituita dagli assi x, y e z. Si otterrà una terna di rette uscenti dal punto O’ (immagine del punto O), origine degli assi cartesiani disposti nello spazio.

Fig. 2

È evidente che al variare della direzione assonometrica d rispetto al quadro o al variare della posizione della terna di assi cartesiani nello spazio, si ottengono sul piano diverse terne di rette; è evidente inoltre che, salvo casi particolari (che vedremo più avanti), gli angoli retti della terna subiscono una deformazione nella proiezione sul piano.
Allo stesso modo, un segmento (che costituisce l’unità di misura) disposto su uno degli assi cartesiani e proiettato sul piano dà luogo a un segmento di dimensione ridotta (a meno che esso non sia disposto parallelamente rispetto al quadro).
Tra le infinite posizioni che la direzione assonometrica d può assumere nello spazio, possiamo distinguere il caso particolare in cui essa è ortogonale rispetto al quadro; in tal caso si parlerà di assonometria ortogonale.
In tutti gli altri casi, la direzione assonometria d sarà genericamente inclinata rispetto al quadro; in tali casi si parlerà di assonometria obliqua.

Assonometria ortogonale
In questo tipo di assonometria, la posizione della terna cartesiana può variare nello spazio, purché non si verifichi la condizione che uno degli assi sia perpendicolare al quadro; in tal caso, infatti, si verificherebbero le stesse condizioni proiettive delle proiezioni ortogonali.
Nell’esempio (Fig. 3), la terna cartesiana viene proiettata sul quadro in una terna di rette x’, y’, z’, con origine in O’, mentre i tre segmenti unità di misura U subiscono diverse deformazioni, proiettandosi nei segmenti U’x, U’y, U’z.

Fig. 3

Tali deformazioni possono essere identiche su tutti e tre gli assi. In tal caso l’assonometria si dice ortogonale monometrica (o ortogonale isometrica).
Se l’unità di misura si mantiene uguale su due assi e varia sul terzo, l’assonometria si dice ortogonale dimetrica. Se le unità di misura differiscono sui tre assi, l’assonometria si dice ortogonale trimetrica.
Naturalmente, nella costruzione pratica dell’assonometria di un oggetto si cerca di disporre l’oggetto stesso con le facce parallele alle tre direzioni della terna cartesiana di riferimento, in modo da determinare agevolmente le deformazioni subite; in caso contrario, occorre procedere alla rappresentazione attraverso punti che, non avendo dimensioni, possono essere rappresentati mediante le misure delle loro coordinate.

Assonometria obliqua
In questo tipo di assonometria, la direzione assonometria è genericamente inclinata rispetto al quadro (Fig. 4).

Fig. 4
Anche la posizione della terna di riferimento può essere comunque disposta nello spazio (eventualmente, anche con due assi paralleli al quadro). Si possono quindi avere infinite assonometrie oblique, sia variando la posizione degli assi rispetto al quadro, sia variando la direzione assonometria. Naturalmente, anche per l’assonometria obliqua parleremo di assonometria obliqua monometrica (o obliqua isometrica), obliqua dimetrica e obliqua trimetrica.

Tipi di assonometrie ricorrenti

Anche se è possibile realizzare innumerevoli tipi di assonometria (col teorema di Pohlke si dimostra che disegnando sul quadro tre segmenti uscenti da uno stesso punto e aventi lunghezze diverse e direzioni arbitrarie, esiste sempre un centro di proiezione all’infinito individuato dalla direzione d tale che i tre segmenti possano considerarsi come la proiezione sul quadro di tre segmenti di uguale lunghezza a due a due ortogonali fra di loro), nella pratica se ne utilizza un numero molto limitato. Per esempio, l’assonometria trimetrica è poco utilizzata in quanto è di scomoda costruzione. Anche per gli angoli da assegnare alle rette costituenti gli assi, di solito si ricorre a valori facilmente ottenibili con gli strumenti tradizionali da disegno. La Figura 5 riporta i tipi di assonometria più comunemente utilizzati, ossia:
- l’assonometria ortogonale monometrica;
- l’assonometria cavaliera (con riduzione di ½ e di ¼ delle profondità);
- l’assonometria militare (con angoli di 30°-60°, 45°-45°, 0°-90°).

Fig. 5

È bene precisare che nella pratica grafica del disegno assonometrico non si riportano mai le informazioni relative alla posizione esatta dell’oggetto nello spazio, e quindi ci si limita a disegnare la sola proiezione assonometrica delle parti che costituiscono l’oggetto, senza riprodurre anche le relative proiezioni sui piani di riferimento.

L’assonometria - Storia e rappresentazione
da Daniele Colistra, Il disegno dell’architettura e della città, Reggio Calabria, Iiriti, 2003, pp. 45-49.

Cenni storici
Come la prospettiva, l'assonometria è una rappresentazione bidimensionale in grado di esprimere la profondità dello spazio e la posizione degli oggetti all'interno di esso. Più precisamente, possiamo definire l'assonometria come una prospettiva in cui il centro di proiezione sia posto a distanza infinita rispetto al piano su cui si effettua la proiezione. Per questo motivo l'assonometria, come le proiezioni ortogonali, appartiene alla categoria delle proiezioni "cilindriche"; in esse, i raggi visuali che determinano l’immagine non divergono da un punto (come nella prospettiva, che è una proiezione “conica”) ma sono paralleli fra di loro, proprio perchè provengono da un punto improprio. Anche l'assonometria ha origini remote e oscure. Usata in modo intuitivo fin dall'antichità, probabilmente non era distinta in modo netto dalla prospettiva; entrambe venivano considerate come il metodo per rappresentare lo spazio sul piano con una veduta unica. La distinzione fra prospettiva e assonometria diviene più netta a partire dal ‘400 e anche se nessun testo ne parla in modo esplicito fino alla seconda metà del ‘500, l'assonometria è usata in modo diffuso (e corretto), specialmente per illustrare testi e trattati scientifici, come quelli di Luca Pacioli, Niccolò Tartaglia, Oronce Finè. Anche Leonardo, pur conoscendo perfettamente la prospettiva, in molti dei suoi schizzi usa l'assonometria. L'assonometria ha riscosso un periodo di grande fortuna nella trattatistica militare dei secoli XVI e XVII perché è di rapida esecuzione, mantiene invariati i rapporti di scala, limita le sovrapposizioni dei corpi e, quindi consente una migliore visibilità. Inoltre conserva il rigore della pianta ma mostra anche le altezze degli oggetti. Jacques de Cerceau, alla fine del XVI secolo, è stato uno dei primi architetti a usare in modo sistematico l'assonometria, costruendo prima la pianta e poi "elevando tutto il contenuto". Jacques Ozanam, in Cours de mathématique necessaire a un homme de guerre (1693), scrive: "Per rappresentare le fortificazioni, ci si serve di una prospettiva cavaliera o prospettiva militare, che presuppone l'occhio infinitamente lontano dal quadro, benché questo sia naturalmente impossibile". Studiata in modo sistematico da Desargues (1630), l’assonometria fu codificata solo nel 1823 grazie a William Farish, che la definì “Isometrical perspective”. Proprio come le proiezioni ortogonali, anche l’assonometria è stata definita in modo scientifico solo quando se ne è avvertita la necessità dal punto di vista epistemologico; l’attuale denominazione, "axonometry", sarà coniata solo nella seconda metà del secolo XIX. Dopo la grande fortuna avuta nei secoli XVI e XVII, l’assonometria è stata riscoperta durante la rivoluzione industriale (secondo Auguste Choisy essa "permette di fare una descrizione razionale senza togliere al disegno le sua qualità figurative) grazie alle caratteristiche di scientificità e precisione che la rendono idonea alla descrizione di elementi e pezzi per l'industria. Nel XX secolo fu molto utilizzata da Mondrian, Gropius, Sartoris; per molte avanguardie storiche l'assonometria si può considerare una vera e propria "forma simbolica" che sancisce il superamento di un modo di concepire lo spazio (e di configurare il progetto) basandosi esclusivamente sul disegno della "facciata" a vantaggio di un metodo che privilegia il controllo del volume complessivo della costruzione. A differenza della prospettiva, l'assonometria rappresenta l'oggetto non "come appare allo sguardo" ma "com'è realmente". Ciò consente di misurare direttamente sul disegno le dimensioni degli oggetti (cosa possibile, come abbiamo visto, anche in una prospettiva: lo spazio prospettico rinascimentale era uno spazio misurato e misurabile, ma questo attributo non era desumibile in modo immediato dal disegno. Inoltre l'assonometria rinuncia alla mimesis come tecnica illusoria e privilegia la forma rispetto alla percezione; rinuncia alla rappresentazione dell'infinito ma lo recupera nella sua struttura proiettiva, rifiutando un punto di vista privilegiato proprio perché il protagonista non è l'osservatore ma l'oggetto.

Condizioni proiettive
Gli elementi che definiscono una proiezione assonometrica sono quattro, e cioè:
- l'oggetto da rappresentare;
- il quadro o piano di proiezione (immaginiamolo come un foglio di carta trasparente);
- la direzione assonometrica, determinata dalla posizione dell'osservatore;
- tre piani mutuamente  ortogonali che definiscono lo spazio e la posizione degli oggetti all'interno di esso. I tre piani, intersecandosi, determinano tre assi (x, y, z) detti terna di riferimento.
Trascuriamo l'oggetto e il quadro e soffermiamoci sugli altri due elementi; variando le loro caratteristiche otterremo differenti tipi di assonometria.

Consideriamo innanzitutto la direzione assonometrica, cioè il rapporto fra raggi visuali e quadro.

I raggi visuali possono essere:
- paralleli al quadro;
- ortogonali al quadro;
- incidenti con un angolo diverso da 90°.

Nel primo caso non si otterrà nessuna immagine; nel secondo caso l'assonometria si definirà ortogonale; nel terzo caso
l'assonometria si definirà obliqua.

Facendo riferimento all'assonometria ortogonale, consideriamo la posizione dei tre piani ortogonali rispetto al quadro.

Se i tre assi della terna di riferimento intersecano il quadro formando tre angoli uguali, l'assonometria si dirà monometrica o isometrica (i due termini sono sinonimi). In questo caso, la proiezione degli assi sul quadro determinerà tre segmenti di uguali dimensioni.

Se i tre assi della terna di riferimento intersecano il quadro formando due angoli uguali, l'assonometria si dirà dimetrica. In questo caso, la proiezione degli assi sul quadro determinerà  due segmenti di uguali dimensioni e uno di dimensioni differenti.

Se i tre assi della terna di riferimento intersecano il quadro formando tre angoli diversi, l'assonometria si dirà trimetrica. In questo caso, infatti, la proiezione degli assi sul quadro determinerà  tre segmenti di dimensioni differenti.

Se i tre assi della terna sono disposti in modo che uno dei tre piani mutuamente ortogonali sia parallelo al quadro, si verificheranno le condizioni proiettive tipiche delle proiezioni ortogonali e l'immagine non renderà l'idea della tridimensionalità dello spazio.

Tipi di assonometria più comuni

Da quanto detto è evidente che esiste un solo tipo di assonometria ortogonale monometrica, mentre è possibile realizzare un numero infinito di assonometrie ortogonali dimetriche e trimetriche, variando gli angoli con cui gli assi della terna di riferimento intersecano il quadro. L’assonometria obliqua, invece, si caratterizza per un numero ancora maggiore di condizioni proiettive ammissibili. Innanzitutto, il fatto che la direzione dei raggi visuali rispetto al quadro possa variare da angoli molto vicini a 0° fino a angoli molto vicini a 180° ci fa intuire il fatto che esistono infiniti tipi di assonometrie oblique. Inoltre, anche la varietà dei modi in cui si può disporre la terna di riferimento rispetto al quadro aumenta ulteriormente il numero delle condizioni proiettive che è possibile ottenere. Col teorema di Pohlke si dimostra che disegnando sul foglio tre segmenti uscenti da uno stesso punto e aventi lunghezze diverse, esiste sempre un centro di proiezione all’infinito tale che i tre segmenti possano considerarsi la proiezione sul foglio da disegno di tre segmenti di uguale lunghezza a due a due ortogonali fra di loro. Ciò consente di costruire assonometrie (oblique) scegliendo in modo assolutamente libero il rapporto metrico fra gli assi e i valori angolari fra gli stessi. In tutti i casi, ci troveremo in una situazione congruente dal punto di vista proiettivo, anche se magari non convincente dal punto di vista descrittivo.
L'assonometria obliqua è molto importante (e usata) perché, a differenza dell'assonometria ortogonale, consente di ottenere immagini tridimensionali anche quando la terna di riferimento è disposta con un piano parallelo al piano di proiezione. Anzi, è proprio questa la condizione proiettiva maggiormente utilizzata, perché permette di rappresentare una faccia dell'oggetto - solitamente quella che si vuole mettere in evidenza - mantenendo gli angoli che ha nella realtà.
I tipi di assonometria che è possibile realizzare, quindi, sono infiniti, anche se nella pratica del disegno se ne usano molto pochi.
I più comuni sono:
- l'assonometria ortogonale monometrica, molto “obiettiva” perché equilibrata dal punto di vista della deformazione angolare degli oggetti rappresentati;
- l'assonometria obliqua cavaliera, monometrica o dimetrica. Per la sua realizzazione, solitamente si riduce della metà o di un quarto il valore delle misure nella direzione della profondità, per evitare rappresentazioni sovradimensionate secondo quest’asse. Il sovradimensionamento, naturalmente, è solo percettivo, mentre dal punto di vista proiettivo si tratta sempre di una rappresentazione congruente;
- l'assonometria obliqua militare con angoli rispetto all’orizzontale di 30°-60°, 45°-45°, 0°-90°. Bisogna prestare attenzione alla terminologia, perché alcuni programmi (e anche alcuni testi) distinguono l’assonometria monometrica dall’assonometria isometrica, mentre invece, come abbiamo visto, i due termini sono sinonimi.

Assonometria e disegno architettonico

Una caratteristica tipica dell'assonometria consiste nella possibilità di misurare direttamente sul disegno, in scala, le dimensioni reali degli oggetti. Inoltre le rette parallele si mantengono tali anche nel disegno, mentre gli angoli, su alcuni piani, vengono deformati. Dal punto di vista operativo, disegnare un'assonometria è abbastanza semplice, specie se monometrica. L'assonometria più immediata da realizzare è quella militare: basta disporre la pianta sul tavolo da disegno e costruire le altezze. L'assonometria ortogonale monometrica e l'assonometria cavaliera, invece, presentano una deformazione angolare dei piani orizzontali; per questo motivo, richiedono la costruzione preventiva della pianta in assonometria; solo dopo è possibile disegnare le facciate esterne. La scelta del tipo di assonometria da realizzare dipende, come sempre, dal tema della rappresentazione.

L'assonometria ortogonale monometrica mostra con la stessa angolazione tutti i lati dell'edificio e consente una buona vista della copertura. Il suo difetto principale consiste nel fatto che deforma i valori angolari su tutti i piani.

L'assonometria militare consente, come abbiamo visto, di variare la posizione della pianta rispetto all’orizzontale; in questo modo è possibile ottenere un elevato numero di vedute differenti. Se si vuole privilegiare la vista di un lato piuttosto che un altro, solitamente si scelgono gli angoli di 30° e 60°.

Al contrario, se si vogliono mostrare con la stessa inquadratura i due lati dell’edificio, bisogna disporre la pianta in modo da formare angoli di 45° rispetto all'orizzontale. La scelta di questi valori angolari deriva dal fatto che le squadrette tradizionalmente usate per disegnare hanno questi angoli prestabiliti; naturalmente è possibile usare angoli differenti.

In alcuni casi conviene disporre l‘oggetto con un lato parallelo all'orizzontale. Questo tipo di assonometria mette bene in evidenza la copertura e il fronte principale dell'edificio, e da alcuni autori è definito "planometria", oppure "assonometria verticale". Ricordiamo che si tratta sempre di un'assonometria obliqua militare, solitamente
monometrica.

L'assonometria cavaliera privilegia la vista di un fronte dell'edificio. È molto adatta a descrivere il lato frontale di un’architettura o di un oggetto, sempre se la profondità non prevale sulle altre dimensioni; in caso contrario, come abbiamo visto, conviene realizzare un’assonometria cavaliera dimetrica, dimezzando o riducendo di un quarto il valore delle dimensioni sull’asse delle profondità.

L'assonometria è una forma della rappresentazione molto versatile: è utile a rappresentare l'architettura, piccoli oggetti ma anche ampie porzioni di territorio. È possibile costruire l'assonometria dello spazio interno di un edificio in diversi modi: rimuovendo una o più facce del volume esterno, costruendo una veduta dal basso verso l’alto, immaginando le pareti trasparenti oppure tagliando l'edificio con uno o più piani e rimuovendone una parte. In quest'ultimo caso il disegno prende il nome di "spaccato assonometrico" e raccoglie informazioni tipiche della pianta, dei prospetti, della planimetria e della sezione. Un tipo particolare di assonometria è l’esploso assonometrico. L'esploso si costruisce immaginando (o, addirittura, tracciando) delle rette punteggiate, veri e propri “binari” che consentono di ricomporre idealmente le varie parti che compongono l'oggetto, facendole scorrere su di esse.

Fonte: http://www.unirc.it/documentazione/materiale_didattico/597_2008_83_2933.doc

Autore del testo: non indicato nel documento di origine

Disegno assonometria cavaliera isometrica e monometrica

Le assonometrie

Un’assonometria è una rappresentazione che mostra su un piano un oggetto tridimensionale visto nel suo insieme. Rispetto alle proiezioni ortogonali (in cui disegnamo un oggetto proiettandolo su tre piani diversi) , l’assonometria ha il vantaggio di rappresentare le tre dimensioni di un oggetto in una sola figura. Il disegno in assonometria risulta abbastanza simile a come noi lo vediamo nella realtà.
Nell’assonometria tutti gli spigoli paralleli dell’oggetto rimangono tali al contrario di quanto avviene nella prospettiva.
L’assonometria viene usata nel disegno tecnico per rappresentare oggetti vari, in particolare pezzi meccanici, macchine, visioni architettoniche.
Il termine assonometria (dal greco axon, asse, e metron, misura) fa riferimento agli assi sui quali vengono riportate le misure degli oggetti da disegnare.

I tre assi sono:

• l’asse x per le larghezze;
• l’asse y per le profondità;
• l’asse z per le altezze.

L’asse Z delle altezze viene sempre disegnato verticale, mentre gli assi X e Y hanno inclinazioni diverse nei diversi tipi di assonometria.

Nel corso di tecnologia affronteremo tre tipi di assonometria:

• l’assonometria cavaliera;

• l’assonometria monometrica;

• l’assonometria isometrica.

Esempio di Assonometria Isometrica
Fonte: http://www.pizzighettonescuola.it/mat_did/Le_assonometrie.doc

Autore del testo: non indicato nel documento di origine

Lezione di assonometria…

Se guardiamo scenari come Age of Empires o Sim City 3000 e Sim City 4 ci accorgiamo che l’angolazione degli edifici non è casuale ma “studiata ad hoc”. Specialmente per inquadrare edifici, e di conseguenza intere città, specialmente dall’alto, si usano le cosiddette assonometrie

Utilissime nel disegno tecnico per alzare le planimetrie possono avere dei risvolti utili nella grafica dei vostri fan-games essenzialmente per 4 motivi:

1. All’ occhio di qualche esperto di grafica o di disegno tecnico è un tocco di maestria J
2. Varia finalmente la solita pizzosa inquadratura frontale che non fa altro che accentuare la bidimensionalità del vostro gioco
3. Avere delle angolazioni di riferimento può servirvi a creare edifici dritti con le linee in parallelo
4. L’assonometria dà un tocco di realismo

Naturalmente è preferibile utilizzarla nell’ inquadratura della città dall’alto o per fare notare il lato nascosto di un edificio.

Ma passiamo all’assonometria vera e propria.Innanzitutto dobbiamo dire che sono 3 e si differenziano per l’inclinazione dell’asse 2 rispetto all’asse 1.Guardate la prima:

Questa si chiama assonometria Isometrica, ovvero rispetto all’asse (1) i due assi (2) si discostano di 60° mantenendo in comune l’origine.Quest’assonometria che è quella maggiormente usata nei giochi gestionali come quelli sopra-citati (potete andare a controllare!)  permette di ottenere 2 facciate di un edificio disegnandone metà e usando come asse di simmetria l’asse 1:

Ecco questo edificio è stato creato con le finestre asimmetriche per evitare una ridondanza ottica (evitata in parte:guardate negli incroci delle linee nere,non sembrano formarsi tondini bianchi?) ma l’importante è vedere che con metà facciata ne abbiamo create 2.

La seconda assonometria è quella cavaliera :

In questo caso non essendo l’assonometria isometrica (ovvero con uguale angolazione da entrambi i lati) avremo anche un terzo asse.Non vi ricorda tutto ciò il piano cartesiano tridimensionale? No? Beh a me si!

Tra l’asse 1 e l’asse 2 si va a formare il famigerato angolo retto che permette di vedere nella sua pienezza la facciata dell’edificio mentre l’asse 3 formando l’angolo di 45 ne evidenzia una facciata esterna.

Importantissimo:Le linee che sono parallele all’asse 3 vanno dimezzate per un’incongruenza ottica: è una regola fondamentale dell’assonometria.Quindi se dovete disegnare un cubo i lati della facciata saranno lunghi ad esempio 8 cm mentre quelli laterali misureranno 4 cm (l’altezza naturalmente resta invariata

Non parlerò dell’assonometria militare monometrica perché è molto rara nei videogiochi e non ne vedo l’utilità in campo videoludico.Per vostra informazione vi basti sapere che l’asse 1 spazza un angolo di 60° mentre l’asse 2 spazza un angolo di 30.

Autore: Alpha

Fonte: http://mise.altervista.org/Tutorials/Lezione%20di%20assonometria.doc

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