Disegnare in scala

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Disegnare in scala

1 – Cosa significa disegnare in scala

Disegnare in scala significa fare il disegno più grande o più piccolo rispetto alle dimensioni reali dell’oggetto che vogliamo rappresentare, mantenendo però la stessa forma (guarda la fig. 1)

Figura 1 – Si parla di disegno in scala (ingrandita o ridotta) quando il nuovo disegno mantiene la forma di quello originale. Il disegno ingrandito di sinistra appare in scala; quello di destra è deformato in vari modi: è troppo stretto rispetto all’altezza le linee sono curvate e piegate e, quindi, non è una rappresentazione in scala.

Rappresentazioni in scala si possono ottenere anche con tecniche fotografiche, con uso di pellicola tradizionale o con fotocamere digitali. La scala può essere in riduzione o in ingrandimento, secondo le necessità. Non è sempre vero, però, che le foto mantengano esattamente la forma dell’oggetto rappresentato: in realtà tutti gli obiettivi introducono deformazioni che in alcuni casi sono estremamente evidenti ed in altri possono essere trascurabili e inoltre ogni foto introduce una deformazione prospettica per cui le cose più lontane appaiono più piccole, le linee parallele convergono ecc.. Se, usando opportuni accorgimenti, si ottengono foto praticamente prive di deformazione allora si possono applicare alle fotografie tutti gli argomenti sviluppati riguardo la riduzione in scala dei disegni.

Figura 2 – L’immagine fotografica può essere distorta a causa dell’obiettivo, per effetto della sua lunghezza focale (A), per deformazione prospettica, dipendente dalla posizione rispetto al soggetto (B). Se le deformazioni sono ridotte o eliminate scegliendo opportunamente l’obiettivo (focali lunghe) e la posizione di scatto (frontale) e usando eventualmente appositi programmi di grafica computerizzata, allora l’immagine fotografica può essere usata come una rappresentazione in scala e da essa si possono ricavare i valori delle misure reali come se fosse un disegno (C).
2 – Cosa imparerai sul disegno in scala
Lo scopo di questi appunti è quello di insegnarti due cose:

il modo in cui si può realizzare un disegno in scala, calcolando le giuste dimensioni di ogni elemento prima di passare alla esecuzione;
il modo di leggere un disegno in scala, per capire quali sono le dimensioni effettive dell’oggetto rappresentato.

Quando avrai imparato queste due cose fondamentali sarai anche in grado di fare cose che, a prima vista, non hanno molto a che fare con esse: saprai, per esempio, usare la fotocopiatrice per ottenere immagini ingrandite e ridotte senza fare molti noiosi tentativi prima di ottenere il risultato voluto, oppure saprai ricavare informazioni da fotografie, leggere e costruire grafici scientifici…

Imparerai ad usare strumenti concettuali, che sono poi, inevitabilmente, strumenti matematici.

In teoria il metodo di cui parlerò permetterebbe di disegnare in scala qualunque oggetto reale. In alcuni casi, però, la complessità delle forme, la quantità di dettagli è tale che il metodo sarebbe di fatto impraticabile – pensa a una persona, una natura morta, un intero paesaggio – e allora si preferisce un modo meno tecnico, come quando si fa “disegno dal vero”, sfruttando la percezione visiva ed il senso estetico. In altri casi, invece, gli oggetti sono composti da elementi che hanno forme semplici le quali possono essere tradotte in disegni di quadrati, triangoli, cerchi; questi oggetti possono essere rappresentati da un numero abbastanza piccolo di elementi geometrici semplici, su cui è facile eseguire calcoli, e questo è il caso, per esempio, delle strutture architettoniche.

Spiegherò la tecnica proprio usando disegni di figure geometriche semplici; in particolare parlerò di quelle che sono composte, a loro volta, da segmenti – come i quadrati, i rettangoli e, più in generale, i poligoni - o da cerchi o da archi di cerchio (in realtà per disegnare un cerchio basta conoscere il raggio, che, alla fine, è un segmento). Il disegno di una di queste figure o di un insieme di esse sarà ingrandito o rimpicciolito mantenendone la forma.

3 – Idee di base: uguaglianza delle forme e proporzionalità

Riconoscere a vista se due figure hanno la stessa forma non è sempre facile, soprattutto se sono complesse, e comunque non è un compito che tutti sanno compiere nello stesso modo. L’esempio della figura 1 non lascia dubbi, ma deformazioni meno evidenti possono sfuggire ad un occhio poco allenato: anche questa è una capacità che si deve educare e questo è uno dei motivi per cui disegnare a mano libera è, per molti, piuttosto difficile. Per questo motivo è conveniente dare al concetto di “uguaglianza delle forme” un significato meno legato alla percezione, più definito e più facilmente verificabile.

Fra gli elementi di un disegno si possono riconoscere alcune relazioni; quelle più significative, in un disegno tecnico, sono quelle spaziali, precisamente:

le relazioni di posizione, secondo cui riconosciamo, per esempio, se un elemento è a destra o a sinistra di un altro, più alto o più basso eccetera;
le relazioni di dimensione, per le quali possiamo dire se un elemento è più lungo o più corto di un altro, ed, eventualmente, quante volte lo contenga o ne sia contenuto.

Il disegno in scala di un oggetto si fa perché di solito è più semplice lavorare sulla rappresentazione grafica che sull’oggetto reale: progettare l’arredamento di una stanza portando tavoli, armadi o sedie sul posto, per verificare le dimensioni o l’armonizzazione delle parti, è praticamente impossibile mentre sulla carta il lavoro è piuttosto semplice.

È necessario però che il disegno riproduca correttamente le relazioni fra gli oggetti reali che rappresenta, è cioè necessario che gli elementi del disegno siano fra loro nelle stessa relazione in cui stanno i corrispondenti oggetti rappresentati: per esempio, se due muri della stanza formano un angolo retto allora anche le linee corrispondenti sul foglio devono formare un angolo retto; se un armadio sta tre volte nella lunghezza del muro, il disegno dell’armadio deve stare tre volte nel disegno del muro

Figura 4 - Affinché un disegno sia effettivamente in scala bisogna che siano mantenute le relazioni spaziali fra gli oggetti: nell’ambiente mostrato dalla fotografia ripresa dall’alto la misura del divano sta 3 volte nella misura della larghezza del pavimento della stanza: in modo simile la misura del disegno del divano sta 3 volte nella misura di larghezza del disegno del pavimento. Naturalmente le relazioni devono essere mantenute anche per le lunghezze di tutti gli altri oggetti.

Questa condizione può essere tradotta nel linguaggio della matematica, precisamente:

il confronto fra lunghezze, quello che ci dice quante volte un oggetto sta nell’altro, corrisponde in matematica all’operazione di divisione; il simbolo , per esempio, corrisponde alla domanda “quante volte il numero tre sta nel numero 6?” (qui non conta come facciamo a dare la risposta, con la calcolatrice o contando sulle dita, ma il significato del simbolo);
più in generale, un oggetto di lunghezza
se scrivo

, la lunghezza originale di un oggetto, che chiamerò lunghezza reale
, la lunghezza dell’elemento grafico rappresentativo, che chiamerò lunghezza in scala

allora la relazione fra due oggetti reali A e B, che è espressa dalla divisione , cioè deve essere vera l’uguaglianza:

Questa relazione esprime matematicamente il fatto che la rappresentazione grafica è in scala - si usa anche dire che la rappresentazione è proporzionale. La relazione, però, non và pensata come una “formula” per ricavare le misure da usare nel disegno; serve solo a controllare che il disegno fatto sia corretto.

4 – Formule intuitive per trovare le misure in scala

Molti trovano intuitivamente evidente che per disegnare un oggetto in scala ridotta bisogna dividere le misure di ogni sua parte per uno stesso numero e, in modo simile, per disegnarlo più grande bisogna moltiplicare tutte le misure per uno stesso numero.

L’esempio che segue mostra chiaramente l’effetto delle operazioni suggerite dall’intuito: “l’oggetto reale” da rappresentare è il disegno di un rettangolo, di cui si vuole ottenere un disegno doppio ed uno dimezzato.

Se vogliamo disegnare un rettangolo doppio di quello originale ci basta raddoppiare la lunghezza di ogni suo lato: fare il doppio significa moltiplicare per 2 le rispettive misure, così se vogliamo raddoppiare un rettangolo con una base di 4 cm ed una altezza di 2 cm, allora possiamo scrivere:

dimensioni reali del rettangolo

da cui ricaviamo

che sono le dimensioni in scala raddoppiata;

Se invece vogliamo disegnare dimezzando il rettangolo dobbiamo dimezzare ogni sua parte, cioè dobbiamo dividere le misure dei suoi lati per 2:

e otteniamo le dimensioni in scala dimezzata,

Questa intuizione non è legata, però, in modo evidente al concetto di rappresentazione in scala data prima in modo così formale, potrebbe sembrare, anzi, completamente diversa, più semplice e quindi più attraente: allora perché non accontentarsene? Il fatto è che l’intuizione e i sensi a volte ingannano , mentre i ragionamenti matematici danno certezze assolute. Ora verificheremo che in questo caso l’intuizione ha un fondamento matematico solido e potrà quindi essere usata sempre con tranquillità..

Si sa che il valore di una frazione non cambia se moltiplico o se divido “sopra e sotto” per lo stesso numero (proprietà invariantiva): per esempio

Allora, se penso di trovare il valore in scala dividendo tutte le lunghezze reali per uno stesso numero, per esempio 2, e scrivo:

è evidente che che corrisponde alla relazione di scala!

La stessa cosa succede se moltiplico tutte le lunghezze per lo stesso numero, per esempio 2:

Raddoppiare e dimezzare non sono le due uniche possibilità; si può triplicare, quadruplicare, quintuplicare e allora si moltiplica per 3, per 4 o per 5, rispettivamente, e così via; e in modo analogo si può ridurre a un terzo o un quarto dividendo per tre o per quattro …

Tutto sembra potersi riassumere nella forma di una regola:

per ingrandire un disegno dobbiamo moltiplicare ogni suo elemento per uno stesso numero;
per rimpicciolire un disegno dobbiamo dividere ogni suo elemento per uno stesso numero.

Secondo questa regola per disegnare in scala servono due operazioni.

5 – Usiamo la matematica per ridurre il numero di formule

In realtà le due operazioni possono essere ridotte ad una soltanto. Le divisioni, ovvero le frazioni, possono essere viste come moltiplicazioni. Per esempio si può scrivere:

così a sinistra dell’uguale c’è una frazione (divisione), in cui il numero 6 fa da numeratore ed il numero 2 fa da denominatore, mentre a destra dell’uguale c’è una moltiplicazione in cui la frazione è ora il primo fattore ed il numero 6 il secondo fattore.
Faccio notare ai diffidenti, o a quelli che tremano ancora di fronte alla frazione : non si può più dubitare!

Come spesso accade nell’algebra, si può cambiare l’aspetto delle cose mantenendone il valore, e questo permette spesso di vedere le cose da un punto di vista più interessante ed efficace. Nel nostro caso vediamo che per disegnare in scala basta la sola moltiplicazione.

6 - Il fattore di scala e la formula fondamentale

Riprendo l’esempio del rettangolo riscrivendo, solo per la base, i calcoli già fatti ma ora uso solo la moltiplicazione:

                                            è la misura reale del lato
         è la misura in scala del lato in scala raddoppiata
         è la misura in scala del lato in scala dimezzata

L’operazione di ingrandimento e quella di rimpicciolimento seguono uno stesso schema: il valore in scala si ottiene moltiplicando il valore reale per un numero.

Nota che:

per raddoppiare si è moltiplicato per 2, che è più grande di 1;
per dimezzare si è moltiplicato per , che è più piccolo di 1:

in effetti è sempre vero che:

ogni volta che si moltiplica per un numero maggiore di 1 si ingrandisce, ogni volta che si moltiplica per un numero minore di 1 si rimpicciolisce.

Si può ora riassumere tutto in modo simbolico. Ogni trasformazione di scala si ottiene applicando la formula fondamentale:

il simbolo si chiama fattore di scala (infatti è un termine di una moltiplicazione), gli altri due ti sono ormai noti.

Se si ottiene un disegno più piccolo.

La formula fondamentale è l’unica che serve ricordareper risolvere tutti i problemi che riguardano il disegno in scala: si tratta solo di saperla “rigirare” secondo le necessità, e per farlo basta sapere risolvere le equazioni.

Nella formula ci sono tre grandezze: in ogni situazione pratica che potrai incontrare due di esse saranno note e tu dovrai ricavare la terza, usando le proprietà delle equazioni. L’abilità consiste soprattutto nel mettere al posto giusto i dati ed è su questo che dovrai concentrarti principalmente.

…pensa alle illusioni ottiche

Fonte: http://www.isacordenons.it/IMG/doc/Disegnare_in_scala_1-1-1.doc

Sito web da visitare: http://www.isacordenons.it/

Autore del testo: non indicato nel documento di origine

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