Sezioni di solidi elementari

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Sezioni di solidi elementari

Le regole di geometria descrittiva viste trattando delle proiezioni ortografiche trovano applicazione anche nella rappresentazione di solidi geometrici tagliati da piani di sezione.

Nei casi più semplici il piano di sezione è parallelo ad uno dei piani fondamentali (e quindi perpendicolare agli altri due). In questo caso la vera forma della sezione è quella fornita dalla proiezione sul piano di proiezione parallelo al piano di sezione.

Nel caso, invece, in cui il piano di sezione sia perpendicolare ad un piano fondamentale e inclinato rispetto agli altri due oppure inclinato rispetto ai tre piani fondamentali di proiezione, bisognerà ricorrere a proiezioni ausiliarie per ottenere la vera forma della sezione, come precedentemente illustrato.

Solidi non assialsimmetrici

Se il solido considerato è prismatico o è una piramide, ricorrendo ai concetti precedentemente illustrati le viste del solido sezionato si possono ottenere partendo semplicemente dalle intersezioni del piano di sezione con le superfici del solido. In particolare la sezione sarà un poligono i cui vertici si ottengono determinando le intersezioni del piano sezionante con gli spigoli del solido.

L’operazione è molto semplice se il piano sezionante è ortogonale a uno dei piani principali.

Ad esempio, nel caso del prisma di figura 1, una volta tracciato nella vista in piantailpiano di sezione M‑M (individuato mediante le sue tracce sul p.o. e sul p.l.), si determinano le linee di intersezione del piano con le superfici del prisma nella vista principale; queste linee di intersezione costituiranno le linee di contorno della sezione (che vengono chiamate anche linee d’ambito di sezione). L’area della sezione viene evidenziata con il tratteggio.

Figura 1 – Sezione di un prisma cavo avente l’asse perpendicolare al p.o., mediante un piano M-M perpendicolare al p.o.

Figura 2 – Sezione di un solido perpendicolare al p.o., con la base a forma di T, mediante un piano t₂ perpendicolare al p.v. e inclinato di α rispetto al p.o.

La figura 3 illustra un altro caso di sezione di un solido con un piano perpendicolare al p.v..

Anche in questo caso, ovviamente, nessuna delle tre rappresentazioni dà la vera forma della sezione, che può essere determinata con la stessa costruzione delle figg. 38b, 39 e 40 del Cap. 3.

Figura 3 – Sezione di un prisma a base rettangolare, perpendicolare al p.o. e con le facce laterali inclinate rispetto agli altri due piani, con un piano perpendicolare al p.v.

La figura 4 presenta invece le proiezioni ortogonali in un caso di sezione con un piano obliquo.

In questo caso, la vera forma della sezione può essere determinata con la costruzione della figura 41 del Cap. 3.

Figura 4 – Sezione di un prisma a base rettangolare, con l’asse perpendicolare al p.o. e le facce laterali inclinate rispetto agli altri due piani, mediante un piano obliquo

Infine, la figura 5 illustra, con riferimento al caso di un prisma ottagonale con la base appoggiata sul p.o., la procedura per determinare la sezione di un solido non assialsimmetrico con un piano obliquo di cui è nota la posizione rispetto ai piani principali (ovvero del quale sono date le due tracce sui piani orizzontale e verticale).

Figura 5

A tal proposito occorre individuare un piano ausiliario ortogonale al piano sezionante e a uno dei piani principali (nel caso di fig. 5 il p.o.), proiettare il solido su tale piano e quindi ribaltarlo sul piano principale considerato.

A questo punto è possibile individuare la traccia del piano sezionante sul piano ausiliario ribaltato (nel caso di fig. 5 la retta PR’, che si determina congiungendo il punto P, in cui si incontrano le tracce sul p.o. del piano secante e del piano ausiliario, con il punto R’, ottenuto riportando sul piano ausiliario ribaltato il punto R, in cui si incontrano le tracce sul p.v. del piano secante e del piano ausiliario) e, quindi, determinare le proiezioni della sezione sui piani principali con la stessa costruzione valida per il caso di piano secante ortogonale a uno dei piani principali.

Anche in questo caso sarà poi possibile determinare la vera forma e le vere dimensioni della sezione ribaltando il piano di sezione su un piano principale o su un piano parallelo a un piano principale, con la stessa costruzione di cui alla fig. 41 del Cap. 3.

Solidi assialsimmetrici

Particolare interesse pratico hanno le sezioni piane di solidi assialsimmetrici, come il cono o il cilindro.

Nel caso del cilindro, possiamo avere tre casi (fig. 6):

• se il piano di sezione è parallelo all’asse del cilindro, si ottiene una sezione rettangolare;

• se il piano di sezione è normale all’asse del cilindro, si ottiene una sezione circolare;

• se il piano di sezione è inclinato rispetto all’asse del cilindro, si ottiene una sezione ellittica.

Figura 6 – Sezioni di un cilindro con un piano:

a) piano parallelo all’asse, sezione rettangolare;

b) piano perpendicolare all’asse, sezione circolare;

c) piano inclinato rispetto all’asse, sezione ellittica

La figura 7 mostra la proiezione di un cilindro cavo sezionato con un piano parallelo all’asse.

Figura 7 – Sezione di un cilindro cavo con un piano t₂ parallelo all’asse

Invece nella figura 8 il piano di sezione è inclinato rispetto all’asse, e quindi si è fatto ricorso ad una vista ausiliaria per ottenere la reale forma della sezione.

Figura 8 – Sezione di un cilindro con un piano inclinato di 45° rispetto all’asse. Per la vera forma della sezione occorre una vista ausiliaria

Sezionando un cono con un piano si ottiene come intersezione una curva la cui forma dipende dalla posizione del piano sezionatore rispetto all’asse del cono (fig.9A):

se il piano di sezione è perpendicolare all’asse del cono, si ottiene come contorno una circonferenza (fig. 9B);
se il piano forma con l’asse del cono un angolo minore di 90°, ma maggiore della semiapertura del cono, si ottiene una ellisse (fig. 9C);
se l’angolo è esattamente uguale alla semiapertura del cono (cioè parallelo ad una generatrice), si ottiene una parabola (fig. 9D);
infine, se il piano forma con l’asse del cono un angolo minore della semiapertura, si otterrà una iperbole (fig. 9E).

Figura 9 – Sezione di un cono con un piano

lla figura 10 è indicata, per un cono retto, la costruzione della sezione ellittica, ottenuta quindi con un piano α perpendicolare al piano verticale ed inclinato rispetto all’asse del cono di un angolo minore di 90°.

Figura 10 – Sezione ellittica di un cono retto con un piano inclinato rispetto all’asse

A tal fine si assumono come piani ausiliari dei piani paralleli al p.o.. Uno di questi, quello la cui traccia sul p.v. è indicata con β, intersecherà, nel p.v., il piano di sezione in un punto B₂ e la superficie conica nel punto B₂’. Inoltre, essendo il piano β perpendicolare all’asse del cono, la sua intersezione col cono sarà una circonferenza C₁, che può essere proiettata sul p.o. (dove è rappresentata in figura solo per la parte a destra del segmento B₁B₁’). Da B₂ si conduce la perpendicolare alla lt, determinando i punti B₁ e B₁’, intersezioni con la circonferenza C₁. I due punti trovati appartengono al piano di sezione α, in quanto appartenenti anche alla superficie laterale del cono, e sono punti della circonferenza di intersezione del cono col piano ausiliario β. Ripetendo la costruzione per un numero sufficiente di punti, si otterrà la curva completa in pianta.

Procedendo con i metodi già studiati, sarà poi possibile riportare i punti della curva anche nella vista laterale. Infine, sempre con le regole per la determinazione della vera forma di una figura piana precedentemente esposte, è possibile ottenere la vera forma della figura su un piano ausiliario.

Le figure 11 e 12 riportano le costruzioni per ottenere le sezioni di un cono con un piano parallelo a una generatrice o all’asse del cono, ottenendo rispettivamente una parabola e una iperbole.

Figura 11– Sezione parabolica di un cono retto con un piano parallelo alla generatrice

Figura 12 – Sezione iperbolica di un cono retto con un piano parallelo all’asse

Figura 13– Sezione di sfera con un piano orizzontale: si ottiene un cerchio

Se invece il piano di intersezione ha una giacitura perpendicolare al p.v. ma non parallela al p.o. (fig. 14), si otterrà sul p.o. (o su quello laterale) un’ellisse, la cui costruzione può essere effettuata con la stessa procedura seguita per determinare la sezione ellittica di un cono retto con un piano inclinato rispetto all’asse (ved. fig. 10). In vera forma si avrà ovviamente ancora un cerchio.

Figura 14– Sezione di sfera con un piano inclinato: in vera grandezza si ottiene sempre un cerchio, che si proietta sui piani principali come ellisse

Fonte: ftp://ftp.aula.dimet.unige.it/squarzoni/DTN1%202008.09%20-%20Cap.%2005%20Sezioni,%20intersezioni%20e%20sviluppi%20di%20solidi%20elementari.doc

Sito web da visitare: http://unige.it/

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