Archimede misura del cerchio

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Archimede misura del cerchio

Archimede, Misura del cerchio.

1. Ogni cerchio è equivalente a un triangolo rettangolo in cui l’altezza è uguale al raggio del cerchio e la base alla circonferenza.

Sia ABCD un cerchio e E un triangolo come detto; dico che sono equivalenti.

Supponiamo per assurdo che il cerchio sia più grande del triangolo. Inscriviamo nel cerchio il quadrato AC e dividiamo gli archi [che hanno come corde i lati del quadrato] in due parti uguali; (a) continuiamo la divisione finché la somma dei segmenti del cerchio sia minore della differenza tra l’area del cerchio e quella del triangolo. (b) Il poligono inscritto sarà allora maggiore del triangolo.

Prendiamo il centro N e abbassiamo la perpendicolare NX, che sarà minore dell’altezza del triangolo. Ma anche il perimetro del poligono è a sua volta minore della base, dato che è minore della circonferenza del cerchio. Di conseguenza, il poligono è minore del triangolo E, il che è assurdo.

Sempre ragionando per assurdo, supponiamo ora che il cerchio sia più piccolo del triangolo E, circoscriviamogli un quadrato, dividiamo gli archi in due parti uguali e tiriamo le tangenti ai punti di divisione. L’angolo OAR è retto, e quindi OR è maggiore di MR, dato che MR è uguale a RA, e il triangolo ROP è maggiore della metà della figura OZAM. (c) Restino dunque dei segmenti come PZA, la cui somma sia minore della differenza tra l’area del triangolo E e quella del cerchio ABCD. Il poligono circoscritto è di conseguenza minore del triangolo E, il che è assurdo. (d) Infatti è maggiore, dato che NA è uguale all’altezza del triangolo e che il perimetro del poligono è maggiore della base del triangolo.

Pertanto il cerchio è equivalente al triangolo E.

(a) Euclide, Elementi, XII.2

Il quadrato inscritto è maggiore della metà del cerchio; infatti è uguale alla metà del quadrato circoscritto.

Si dividano ora a metà gli archi che hanno come corde i lati del quadrato inscritto. Il triangolo AED è maggiore della metà del segmento corrispondente; infatti è metà del rettangolo ADIL. Di conseguenza la somma dei triangoli è maggiore della metà della somma dei segmenti corrispondenti.

Si possono ora inscrivere dei triangoli nei segmenti residui, e così via; ogni volta la somma dei triangoli è maggiore della metà della somma dei segmenti corrispondenti. Pertanto togliendo ogni volta i triangoli costruiti, si toglie sempre una grandezza maggiore della metà del residuo.

Si può allora applicare il teorema X.1 degli Elementi: Date due grandezze, se dalla prima si toglie più della metà, e dal residuo si toglie ancora più della metà, e così via, a un certo punto il residuo sarà minore della seconda grandezza data.

Nel nostro caso, la prima grandezza è il cerchio e la seconda l’ipotetica differenza tra l’area del cerchio e quella del triangolo. Le grandezze che si tolgono formano i poligoni inscritti.

(b) Infatti il cerchio meno il poligono, che è uguale alla somma dei segmenti, è minore della differenza tra il cerchio e il triangolo. Di conseguenza il poligono è minore del triangolo.

(c) Si può fare ogni volta la stessa costruzione; ad esempio nel triangolo ARM, tirando la tangente al punto di mezzo dell’arco. Ogni volta il triangolo esterno al cerchio è maggiore della metà della figura relativa. Partendo ora dal quadrato circoscritto e togliendo ogni volta i triangoli detti, si ottengono i vari poligoni circoscritti; la differenza tra questi e il cerchio finirà col diventare minore di una qualsiasi grandezza data, nel nostro caso l’ipotatica differenza tra il triangolo E e il cerchio.

(d) Che il perimetro di un qualsiasi poligono circoscritto sia maggiore della circonferenza (e quindi della base del triangolo) segue dal postulato 2 del primo libro della Sfera e cilindro di Archimede: Se due linee hanno gli stessi estremi e sono convesse, e se la prima di esse è compresa tra la seconda e la retta che ha gli stessi estremi, allora la prima è più corta della seconda. Nel nostro caso le due linee sono l’arco AM e la spezzata ARM: l’arco è più corto della spezzata e di conseguenza la circonferenza è minore del perimetro del poligono circoscritto.

Fonte: http://univaq.it/~leonetti/ssis/schede/01_Archimede_misura_del_cerchio.doc

Sito web da visitare: http://univaq.it/

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