Goniometria lo studio degli angoli

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Goniometria lo studio degli angoli

La goniometria è la parte della matematica che si occupa dello studio degli angoli.

1. Angoli e loro misure

Date in un piano due semirette a,b di origine o si definisce angolo ciascuna delle due parti del piano delimitate dalle due semirette.
Il punto o si dice vertice dell’angolo e le due semirette lati dell’angolo.

Un angolo si dice orientato quando si stabilisce quale dei due lati è il primo e quale il secondo.

Un angolo orientato di lati a, b può anche essere generato dalla rotazione del primo lato dell’angolo fino a sovrapporsi al secondo lato.
Per convenzione, si considera positivo un angolo che si ottiene con una rotazione antioraria, negativo un angolo che si ottiene con una rotazione oraria.

Angoli particolari

Si definisce angolo retto un angolo che compie esattamente un quarto di giro attorno al proprio vertice; un angolo piatto compie mezzo giro ed un angolo giro compie un giro completo.
Si definisce inoltre acuto un angolo minore di un angolo retto ed ottuso un angolo maggiore di un angolo retto.

Misura degli angoli nel sistema sessagesimale

L’unità di misura comunemente usata per gli angoli è il grado. Un grado (1°) si definisce come la 360a parte di un angolo giro.
Di conseguenza un angolo giro misura 360°, un angolo piatto 180° e un angolo retto 90°.
La sessantesima parte del grado si chiama minuto primo (1’) e la sessantesima parte del minuto primo si chiama minuto secondo (1’’). In formule:

Misura degli angoli nel sistema radiale

Un altro modo di misurare gli angoli è quello di assumere come unità di misura il radiante. La misura in radianti di un angolo orientato si calcola come il rapporto tra l’arco che i lati dell’angolo staccano sopra una qualsiasi circonferenza di centro o, ed il raggio della circonferenza.

La misura di in radianti è uguale al rapporto tra l’arco AB
ed il raggio:

Ricordando che la lunghezza di una circonferenza di raggio r è , si possono calcolare facilmente le misura in radianti degli angoli giro, piatto e retto.
misura dell’angolo giro in radianti:
misura dell’angolo piatto in radianti:

Vogliamo ora determinare la relazione tra le misure in gradi ed in radianti di uno stesso angolo.
Se un angolo misura basta applicare la proporzione

da cui ricavo

Viceversa se si vuole sapere la misura in gradi di un angolo che misura dalla stessa proporzione

ricavo

Angoli impropri

Consideriamo l’angolo di lati a, b e di vertice o. Tale angolo è descritto dalla rotazione del primo lato a sul secondo lato b.

Osserviamo che il lato a può sovrapporsi al lato b anche dopo aver descritto un numero qualsiasi di angoli giri.
Gli angoli che si ottengono da un angolo sommato ad un certo numero di angoli giri, si chiamano angoli impropri.
In generale, se è l’ampiezza di un angolo di lati a e b, tutti gli angoli aventi gli stessi lati, espressi in gradi, sono:

dove k è un intero relativo che indica il numero di giri completi che la semiretta a compie attorno al vertice o dopo aver descritto l’angolo di ampiezza . L’intero k è positivo o negativo a seconda che la semiretta a compia i giri completi in senso antiorario o in senso orario.

Figura 2

Figura 1

In figura 1 l’angolo .

In figura 2 l’angolo .

2. Funzioni goniometriche

2.1 La circonferenza goniometrica

Consideriamo in un piano cartesiano xOy la circonferenza con il centro nell’origine e raggio pari all’unità. Tale circonferenza sarà chiamata d’ora in poi circonferenza goniometrica.
sulla circonferenza goniometrica.

In figura 3 sono riportati i punti associati agli angoli particolari. Il punto A è associato all’angolo di 0° e anche all’angolo di 360°; il punto B è associato all’angolo retto; il punto C all’angolo piatto; il punto D è associato all’angolo di 270°.

Figura 3

2.2 Seno e coseno di un angolo

Si dice seno di un angolo è BH)
Si dice coseno di un angolo è OH)

Consideriamo adesso l’angolo assuma tutti i valori possibili tra 0° e 360°.

Figura 4

Quando , l’ordinata di P è zero e l’ascissa di P è uno, quindi si avrà:

Se P si sposta da A a B nel primo quadrante, cioè , ma decresce da 1 a 0.
Si avrà poi quando
.

Sempre osservando la figura 4 e ripetendo le stesse considerazioni, si ottiene che al crescere di decresce da 0 a –1.
Quando si ha
.

Al crescere di da 180° a 270° nel terzo quadrante, il seno decresce da 0 a –1 ed è negativo, mentre il coseno cresce da – 1 a 0 ed è negativo.
Quando si avrà
.

Al crescere di da 270° a 360°, nel quarto quadrante, il seno cresce da – 1 a 0 ed è negativo, mentre il coseno cresce da 0 a 1 ed è positivo.
A questo punto, quando P torna in A, si ha

Crescendo oltre 360° i valori del seno e del coseno si ripetono periodicamente; diremo quindi che il seno ed il coseno sono funzioni periodiche con periodo uguale a 360° e si scrive:

dove k è un qualsiasi numero intero positivo o negativo.
Se per misurare l’angolo si utilizzano i radianti, si scrive:

2.3 Tangente di un angolo

Sia dato un angolo ; costruiamo al solito modo la circonferenza goniometrica e conduciamo dal punto A la retta t tangente alla circonferenza. Sia T il punto in cui il secondo lato dell’angolo, o il suo prolungamento, incontra tale tangente.
In figura si vede come cambia la situazione se appartiene al primo, secondo, terzo, o quarto quadrante.

La tangente di un angolo orientato è l’ordinata del punto di intersezione tra il secondo lato dell’angolo, o il suo prolungamento, con la retta tangente alla circonferenza goniometrica nel punto A.

Si osservi che se il secondo lato dell’angolo viene a cadere sull’asse y, tale lato risulta parallelo alla retta t, e quindi non può mai intersecarla.
Perciò se non esiste.
Mentre se , il punto T coincide con il punto A, pertanto la sua ordinata è zero. Risulta quindi

Anche per il punto T coincide con A, quindi

Anche la tangente, come il seno ed il coseno, è una funzione periodica, ma stavolta il periodo non è un angolo giro, ma un angolo piatto. La tangente di un angolo, cioè, assume gli stessi valori ogni 180°. Scriveremo quindi

2.4 Relazioni fondamentali della goniometria

Consideriamo una circonferenza goniometrica e un angolo orientato .

Consideriamo il triangolo rettangolo di vertici BOH: I cateti BH e OH sono rispettivamente il seno ed il coseno dell’angolo , mentre l’ipotenusa OB è il raggio della circonferenza.
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo sopra descritto si ha:

, cioè

La somma dei quadrati del seno e del coseno di uno stesso angolo è uguale all’unità. Questa è la prima relazione fondamentale della goniometria.

Consideriamo adesso anche la tangente dall’angolo , AT

e consideriamo i due triangoli rettangoli BOH e TOA. Questi triangoli hanno i tre angoli in comune e sono quindi simili. Allora possiamo mettere in proporzione i loro lati. Otteniamo così:

, cioè

Da quest’ultima proporzione ricaviamo la tangente di :

Tale formula si chiama seconda relazione fondamentale della goniometria.

2.5 Cotangente di un angolo

Si usa talvolta un’altra funzione goniometrica, che si chiama cotangente di un angolo e si definisce come il reciproco della tangente:

Questa formula ha significato purché la tangente di . Ricordando la seconda relazione fondamentale della goniometrica, si avrà:

2.6 Grafici delle funzioni goniometriche

È facile costruire il grafico delle funzioni rappresentate dalle equazioni

Basta portare sull’asse delle ascisse le misure dell’angolo espresse in radianti e sull’asse delle ordinate i corrispondenti valori del seno, del coseno e della tangente. Le curve che così si ottengono vengono dette, rispettivamente, sinusoide, cosinusoide, tangentoide.

Sinusoide

Cosinusoide

Tangentoide

2.7 Funzioni goniometriche inverse

Nel paragrafo precedente abbiamo considerato la funzione , che ad ogni valore dell’angolo x, associa il corrispondente valore del seno.
Vogliamo costruire la funzione inversa, cioè la funzione che, dato un valore del seno associa il corrispondente valore dell’angolo. Tale funzione si chiama arcoseno e si scrive

che significa “x è l’angolo il cui seno è y”. Si conviene però di assumere per x solo gli angoli compresi tra .
Analogamente si può definire la funzione inversa della funzione . Essa si chiama arcocoseno e si scrive

che significa “x è l’angolo il cui coseno è y”.
In modo analogo dalla funzione , si può ricavare la funzione inversa. Tale funzione si chiama arcotangente e si scrive

che significa “x è l’angolo la cui tangente è y”.

Esempio: calcoliamo il valore di .
Poniamo . Possiamo applicare la prima equazione fondamentale della goniometria e otteniamo:

Per quanto si è detto prima però la funzione arcoseno è definita soltanto per angoli dobbiamo prendere solo quello positivo. In definitiva abbiamo

2.8 Relazioni tra particolari coppie di angoli

2.8.1 Angoli associati

Si costruisca al solito modo una circonferenza goniometrica e si consideri un angolo orientato . Risultano in tal modo individuati gli angoli

che si chiamano angoli associati all’angolo dato .

Vogliamo determinare il sono, il coseno e la tangente degli angoli associati ad . Analizzando la figura si ha:

Angoli supplementari:

Angoli che differiscono di 180°:

Angoli esplementari:

2.8.2 Angoli opposti

Due angoli si dicono opposti se la loro somma è zero.

Tali angoli possono essere considerati come due angoli orientati in senso opposto e la cui ampiezza è uguale in valore assoluto. I loro rispettivi punti associati sulla circonferenza goniometrica B e B coincidono con i punti associati a due angoli esplementari. Si avrà allora:

2.8.3 Angoli complementari

Due angoli si dicono complementari se la loro somma è 90°. Consideriamo in figura gli angoli .

. I lati corrispondenti in triangoli congruenti sono congruenti, quindi si avrà:

Goniometria lo studio degli angoli