Quadrilateri

 

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Quadrilateri

 

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Quadrilateri

 

QUADRILATERI

Seguiamo il percorso iniziato la volta precedente con i triangoli.

Possiamo presentare i quadrilateri come

• quaterna ordinata di punti a tre a tre non allineati. L’ordine è importante perché, dati quattro punti,  si possono ottenere quadrilateri diversi.

A                   B

.                     .

  

     .

     C                           . D

 

Esempio: il quadrilatero ABCD è diverso da ABDC.

 

 

• come poligonale chiusa delimitata da quattro lati (cannucce-listelli-meccano, elastici e geopiano): si scopre che i quadrilateri sono figure articolabili. Per i quadrilateri va rispettata la proprietà: ogni lato deve essere minore della somma degli altri. Articolati quattro listelli che rispecchiano questa proprietà è interessante notare che si formano tantissimi quadrilateri, tutti diversi tra di loro, alcuni sono concavi, altri convessi (nel passaggio si presenta anche il caso di quadrilatero degenere che ha due lati allineati.
• come intelaiatura “piena”, se consideriamo anche la regione dei punti interni alla poligonale
• come intersezione di semipiani, nell’ipotesi che tre punti consecutivi non siano allineati, che la retta passante per due punti consecutivi lasci nello stesso semipiano tutti gli altri (si ottengono solo i quadrilateri convessi)

In un quadrilatero generico possiamo introdurre i seguenti concetti:

vertici opposti: sono vertici di angoli interni che non hanno lati in comune

lati opposti: non hanno estremo in comune; potrebbero avere in comune un punto interno, come nel caso di quadrilateri intrecciati

angoli opposti: non hanno lati in comune.

diagonale: unisce due vertici opposti. La “costruzione” di una diagonale permette al modello con i listelli di diventare “rigido”, non più articolabile. Ogni quadrilatero ha due diagonali; esse rappresentano elementi significativi, anche per la classificazione.

 

 

CLASSIFICAZIONE

I quadrilateri possono essere classificati secondo vari criteri:

• figure convesse e concave

Esercizio

Riconosci quali quadrilateri sono concavi, quali convessi.

 

Qui si può utilizzare  la definizione di figura convessa, già data in precedenza o verificare che la figura sta tutta dalla stessa parte rispetto a ciascuna retta passante per un lato.

• in base al fatto che sia semplice o intrecciato (in questo secondo caso due lati hanno in comune un punto interno.

Esercizio: riconoscere tra alcuni quadrilateri assegnati quelli semplici e quelli intrecciati.

 

• in base agli angoli presenti: concavi, convessi (retti, acuti, ottusi)

i casi che si possono presentare sono: un solo angolo concavo e tre convessi, quattro convessi di vario tipo. E’ importante che gli alunni costruiscano e disegnino questi quadrilateri, anche quelli intrecciati.

 

Somma delle ampiezze degli angoli interni: quanto vale?

Riferendoci a modelli prodotti di poligoni convessi si invitano gli alunni a ritagliare gli angoli e scoprire cosa accade o a misurare le ampiezze con il goniometro o a partire da un vertice e dividere, con una diagonale, il quadrilatero in due triangoli.

Si scopre che: la somma degli angoli interni di un quadrilatero convesso è di 360° .

 

Somma delle ampiezze degli angoli esterni: essa vale 360° nel caso di quadrilatero convesso.

Si può dire agli studenti che si tratteranno in maniera approfondita solo i quadrilateri convessi.

 

ESERCIZIO

Consideriamo il caso di un quadrilatero convesso.

Esso può avere quattro angoli acuti? No

Se tre angoli sono acuti come può essere il quarto angolo?  Ottuso.

Se ha tre angoli retti come sarà il quarto angolo? Retto.

Se due angoli sono retti come saranno gli altri due? Supplementari (o due retti, o uno acuto e uno ottuso)

Se tre angoli sono ottusi, come sarà il quarto? Acuto.

Motiva le tue risposte.

 

E’ opportuno far produrre agli studenti i modelli di questi quadrilateri, per notare anche le diversità con ciò che accadeva per i triangoli.

Esercizio ( tratto dai Giochi d’autunno 2006)

Le misure dei quattro angoli interni di un quadrilatero (convesso) sono date da numeri interi (di gradi), tutti diversi tra di loro.

Qual è, al minimo, la misura (in gradi) dell’angolo maggiore del quadrilatero?

Al minimo l’ampiezza dell’angolo maggiore deve essere 92°. Si ha l’ampiezza minima se le misure degli angoli si avvicinano il più possibile all’ampiezza media, cioè 90°. La misura degli angoli è allora 88°, 89°, 91°, 92°.   

• in base alla presenza di lati paralleli (zero coppie di lati paralleli, una, due)

 

TRAPEZIO

DEF 1 Un quadrilatero è un trapezio se ha una sola coppia di lati paralleli.

Nomenclatura: i lati paralleli si chiamano basi, quelli non paralleli si chiamano semplicemente lati  o lati obliqui (ricordiamo che il concetto”essere obliquo rispetto a…” riguarda la posizione reciproca di due rette.).

 

Esercizio 1

Riconosci quali tra i seguenti quadrilateri sono trapezi.

 

 

È individuata una striscia, dunque i trapezi hanno una altezza, che può essere disegnata indifferentemente a partire da un estremo di una delle basi (solitamente della base minore). Come si può notare esiste anche il trapezio intrecciato, che è una figura concava. Consideriamo da ora in poi solo trapezi convessi.

 

-Si introducono le proiezioni dei lati obliqui sulle basi.

 

Proprietà valida per i trapezi: gli angoli adiacenti ad un lato obliquo sono supplementari.

Esercizio

Stabilisci se i seguenti gruppi di angoli possono rappresentare le ampiezze degli angoli di un trapezio e giustifica la risposta.

35°  145°  105°  75°    - 60°  130°  40°  130°  -  90°  90°  150°  30°-  45°  135°  135°  45°

La seconda quaterna non va bene, nonostante la somma delle ampiezze dia 360°, poiché non ci sono angoli supplementari.

Classificazione dei trapezi: rettangoli: come facciamo a dire che un lato obliquo è perpendicolare alle basi? Per questo è preferibile usare il termine generico “lato”.

 

DEF 2 bis  Un quadrilatero è un trapezio se ha almeno una coppia di lati paralleli.

Conseguenze:

-non si possono definire i trapezi isosceli come trapezi con due lati (obliqui) congruenti, poiché tutti i generici parallelogrammi diventerebbero automaticamente trapezi isosceli e dovrebbero godere di tutte le tipiche proprietà di un trapezio isoscele (avere gli angoli adiacenti alle basi congruenti, avere un asse di simmetria passante per i punti medi delle basi, avere le diagonali congruenti). Se si sceglie la def 2 bis è preferibile scegliere la prima delle tre opportunità fornite.

- i parallelogrammi sono un sottoinsieme dei trapezi.

Esercizio 1 di prima.

 

Esercizio

In un trapezio isoscele un angolo degli angoli adiacenti alla base maggiore è di 46°. Calcola l’ampiezza degli altri angoli.

 

Esercizio

Può un trapezio essere rettangolo e isoscele contemporaneamente? In questo caso cosa ottieni?

 

Un rettangolo. In questo caso la definizione usata di trapezio è la 2 bis. Se si usa la def 2 non è possibile

 

Si possono proporre esercizi vari sugli angoli o sul perimetro dove si debba applicare il metodo grafico

 

PARALLELOGRAMMO

DEF 2 Si dice parallelogrammo un quadrilatero che ha due coppie di lati paralleli.

 

Operativamente si possono presentare i parallelogrammi come intersezione di strisce:

 - se esse hanno altezza diverse e non sono perpendicolari si ottiene un parallelogrammo    generico, chiamato anche romboide; per deformazione si passa a mostrare che, se le strisce sono perpendicolari, si ottiene un rettangolo.

 

Proprietà valida per i parallelogrammi: gli angoli adiacenti ad un lato sono supplementari.

Da questa si deducono le quattro proprietà:

1)in un parallelogrammo ciascuna diagonale lo divide in due triangoli congruenti

2)in un parallelogrammo i lati opposti sono congruenti

3)in un parallelogrammo gli angoli opposti sono congruenti

4)le diagonali di un parallelogrammo si dimezzano scambievolmente.

In base al livello della classe queste proprietà possono essere verificate sperimentalmente o dimostrate, facendo ricorso ai criteri di congruenza dei triangoli.

Spesso i libri di testo presentano il teorema inverso: se un quadrilatero convesso ha ciascuna diagonale che lo divide in due triangoli congruenti o ha i lati opposti congruenti o gli angoli opposti congruenti o le diagonali che si dimezzano scambievolmente allora è un parallelogrammo.

In quali casi è indispensabile l’ipotesi di convessità? Per la condizione 2 e 3. Essa non è rispettata dalla figura intrecciata “doppio calice”.

Si può scegliere un’ulteriore definizione: un quadrilatero si dice parallelogrammo se ha una coppia di lati paralleli e congruenti.

Proprietà: in un parallelogrammo gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari.

 

Esercizio

Calcola gli angoli di un parallelogrammo, sapendo che uno di essi è ampio 34° 52’.

 

Esercizio

Disegna un parallelogrammo con la base di 3 cm e l’altezza di 2 cm. C’è un solo parallelogrammo? Con quella base e quella altezza?

No, infiniti.

 

RETTANGOLO

DEF 4 Si dice rettangolo un parallelogrammo con quattro angoli retti.

Questa definizione è particolarmente ricca. In alternativa si possono proporre:

DEF 4 bis Si dice rettangolo un parallelogrammo con un angolo retto.

DEF 4 ter Si dice rettangolo un quadrilatero avente quattro angoli retti.

 

Esercizio

Individua i parallelogrammi tra le seguenti figure. Le figure possono essere quelle dell’es 1. Esercizio

Disegna le altezze dei seguenti parallelogrammi.

 

La difficoltà degli studenti è che a volte disegnano due altezze ma sono quelle relative ad unica striscia. Es

 

Nel rettangolo le altezze risultano automaticamente disegnate.

- Se le strisce hanno la stessa altezza individuano un rombo,  per  deformazione si  passa  a  mostrare che, se sono perpendicolari, si ottiene un quadrato.

 

ROMBO

DEF 3 Si dice un rombo un parallelogrammo che ha tutti i lati congruenti.

La definizione è sovrabbondante; si può dare una definizione più “povera” valida anche in geometria assoluta (cioè non dipendente dal V postulato di Euclide o da una delle proposizioni ad essa equivalente).

Def  3 bis si dice rombo un quadrilatero con quattro lati congruenti.

Può essere significativo far riflettere gli studenti sulle varie possibilità di scelta.  La 3 bis è più generale, ma dando la def 3 non siamo obbligati a dimostrare che un rombo è anche un parallelogrammo.

Il rombo ha due altezze congruenti.

 

QUADRATO

DEF 5 Si dice quadrato un parallelogrammo con quattro lati congruenti e quattro angoli congruenti.

Anche in questo caso possiamo non richiedere che sia un parallelogrammo.

 

Eercizio

Individuata i seguenti parallelogrammi i rettangoli, i rombi , i quadrati.

                   

 

Gli alunni possono usare il righello e il compasso, la squadra, il goniometro per individuare i lati congruenti, gli angoli retti, i lati paralleli..

Occorre aiutare gli alunni a superare gli stereotipi del rombo e del quadrato disegnati solo in certe posizioni e far notare che i quadrati godono contemporaneamente delle proprietà sia dei rettangoli sia dei rombi.

• In base alla presenza di lati congruenti
• i quattro lati del quadrilatero sono diversi
• dei quattro lati due soli sono congruenti: occorre distinguere se essi sono lati consecutivi od opposti.

3) tre lati sono congruenti tra loro

• Ci sono due coppie di lati congruenti: occorre distinguere se i lati congruenti sono consecutivi od opposti: nel primo caso si hanno i deltoidi, nel secondo i parallelogrammi.
• Ci sono quattro lati tra loro congruenti: ritroviamo il rombo e il quadrato.

 

• In base alle diagonali:

           se sono diverse e non perpendicolari si ha un quadrilatero generico

 

Manca il disegno delle diagonali nella seconda figura

           se sono diverse e perpendicolari si hanno i casi

          

 

 

 

                                                                                                                                                    

 

Se sono uguali e non perpendicolari si hanno i trapezi isosceli.

Se sono uguali e perpendicolari si ottengono:

 

 

 

 

Se si dimezzano scambievolmente e sono diverse si ottengono i parallelogrammi generici, se sono uguali si ottengono i rettangoli.

 

Esercizio

Osserva le seguenti figure:

 

 

 

 

Sono le diagonali di quali quadrilateri? In ognuno di essi come sono le diagonali?

Nel 1° caso di un rettangolo le diagonali sono congruenti e si dimezzano scambievolmente, nel 2° di un rombo, sono perpendicolari e si dimezzano scambievolmente, nel 3° di un quadrilatero generico con le diagonali perpendicolari, nel 4° di un trapezio isoscele, sono congruenti tra loro.

 

• In base agli assi di simmetria:            

-quadrilatero generico senza assi di simmetria

      -con un asse di simmetria (trapezio isoscele, deltoide)

      - con due soli assi di simmetria (rombo, rettangolo)

      - con quattro assi di simmetria: quadrato.

 

 

• criteri di congruenza per i quadrilateri: esistono ?

Non se ne parla mai nei libri di testo, né solitamente si menzionano con gli studenti.   Sono tre e valgono in generale per poligoni di n lati.

CRITERI DI CONGRUENZA per poligoni convessi

1°Due poligoni convessi, di ugual numero di lati, sono congruenti, se si corrispondono vertice a vertice in modo che lati ed angoli corrispondenti siano congruenti, ad eccezione di due coppie di lati consecutivi e degli angoli ad essi compresi, sui quali non si fa alcun ipotesi.

 

2°Due poligoni aventi lati ed angoli ordinatamente congruenti, ad eccezione di una coppia di lati e dei due angoli adiacenti ad essi, sui quali non si fa alcuna ipotesi, sono congruenti.

 

3°Due poligoni aventi i lati e gli angoli ordinatamente congruenti, ad eccezione di tre angoli consecutivi sui quali non si fa alcuna ipotesi, sono congruenti.

 

 

 

 

Fonte: http://www-3.unipv.it/iscr/corsi_speciali/dispense/matematica/vettorello/QUADRILATERI1%20barbara.doc

Autore del testo: non indicato nel documento di origine (Barbara?)

Parola chiave google : Quadrilateri tipo file : doc

 

Quadrilateri

Una figura formata da quattro lati si dice quadrilatero, o quadrangolo (quattro angoli). In un quadrilatero convesso due lati o due angoli non consecutivi si dicono opposti. L’insieme dei quadrangoli convessi si divide in due gruppi: i parallelogrammi e i trapezi. Un quadrilatero avente le coppie di lati opposti paralleli si dice parallelogrammo.

(figura 1)

Teorema

In ogni parallelogrammo:

• Ciascuna diagonale divide il parallelogrammo in due triangoli congruenti.

Ossia: .

• I lati opposti sono congruenti.

Ossia: .

• Gli angoli opposti sono congruenti.

Ossia: .

• Gli angoli adiacenti sono supplementari (la loro somma è 180°).

Ossia, ad esempio: .

• Le due diagonali hanno lo stesso punto medio.

Ossia:.

(figura 2)

PARALLELOGRAMMI PARTICOLARI

 

RETTANGOLO

 

Quattro angoli congruenti

figura 3

 

ROMBO

 

Quattro lati congruenti.

figura 4

 

QUADRATO

 

Quattro lati congruenti e quattro angoli congruenti.

                                                                                                            figura 5

 

Si chiama trapezio un quadrilatero convesso avente due lati opposti paralleli.

I due lati paralleli si dicono anche le basi del trapezio, mentre gli altri due lati si dicono lati obliqui. Il segmento che congiunge le basi e ad esse perpendicolare si chiama altezza del trapezio.

(figura 6)

 

 

     

 

TRAPEZI PARTICOLARI

 

Trapezio isoscele

 

I lati obliqui sono congruenti.

 

figura 7

Trapezio rettangolo

 

                   Ha due angoli retti.

figura 8

 

Fonte: http://www.maurolabarbera.it/quadrilateri.doc

Sito web : http://www.maurolabarbera.it

Autore del testo: Prof.Mauro La Barbera  

Parola chiave google : Quadrilateri tipo file : doc

 

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