Superfici di rotazione

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Superfici di rotazione

Una superficie .

Se in una curva meridiana. Ciascun meridiano è una curva simmetrica rispetto all’asse di rotazione, ed incontra ogni parallelo in due punti simmetrici rispetto all’asse.

Esempio 2:solido di rotazione
Un toro

Solido di rotazione

Un solido di rotazione o di rivoluzione è la figura ottenuta ruotando attorno ad un asse n una regione piana K, sul cui piano giace l'asse stesso.
Ad esempio, il toro è ottenuto dalla rotazione di un cerchio attorno ad un asse esterno al cerchio medesimo.
La figura piana che ruota è spesso un trapezoide con la base sull'asse. La sfera ad esempio è il solido di rotazione del semicerchio intorno al diametro; il cilindro è generato dal rettangolo.

Rotazione di una curva
In questo caso il solido è delimitato da una superficie laterale ottenuta ruotando una curva attorno all'asse (superficie di rotazione), ed eventualmente da due basi circolari perpendicolari a tale asse.

Solidi di rotazione
Sono solidi ottenuti dalla rotazione di una figura piana intorno ad una retta (asse di rotazione).

	superficie laterale	superficie totale	volume
Cilindro
Cono
Tronco di cono
	superficie sferica		volume
Sfera

Cilindro Il cilindro è un solido ottenuto dalla rotazione completa di un rettangolo intorno ad un suo lato. Cilindro equilatero È un cilindro in cui l’altezza è lunga quanto il diametro della base. L’area della superficie laterale di un cilindro si ottiene moltiplicando la lunghezza della circonferenza di base per la misura dell’altezza: L’area della superficie totale di un cilindro si ottiene sommando la superficie laterale e l’area delle due basi: Il volume di un cilindro si ottiene moltiplicando l’area di base per la misura dell’altezza:
Cono Il cono è un solido ottenuto dalla rotazione di un triangolo intorno ad un suo cateto. Cono equilatero È un cono in cui l’apotema è lungo quanto il diametro della base. L’area della superficie laterale di un cono si ottiene moltiplicando la lunghezza della circonferenza di base per la misura dell’apotema e dividendo tale prodotto per due: L’area della superficie totale di un cono si ottiene sommando la superficie laterale e l’area della base: Proprietà. Il cono è equivalente a un terzo di un cilindro avente base ed altezza congruenti rispettivamente alla base e all’altezza del cono. Il volume di un cono si ottiene moltiplicando l’area di base per la misura dell’altezza e dividendo tale prodotto per tre:
Tronco di cono Consideriamo un cono e tagliamolo con un piano parallelo al piano della base: otteniamo due figure, una è ancora un cono, l’altra è un tronco di cono. Il tronco di cono è un solido attenuto dalla rotazione di un trapezio rettangolo attorno al lato perpendicolare alle basi. Proprietà. La superficie laterale di un tronco di cono è equivalente a un trapezio avente per basi le due circonferenze di base del tronco e per altezza il suo apotema. L’area della superficie laterale di un tronco di cono si ottiene moltiplicando la somma delle misure delle lunghezze delle due circonferenze di base per la misura dell’apotema e dividendo tale prodotto per due: L’area della superficie totale di un cono si ottiene sommando la superficie laterale e l’area delle due basi: Proprietà. Per il principio di Cavalieri, un tronco di cono e un tronco di piramide aventi basi equivalenti e altezze congruenti sono equivalenti. Il volume di un cono si ottiene moltiplicando la misura dell’altezza per la somma dell'area di base con l'area del tronco e con la radice quadrata del loro prodotto, e dividendo tale prodotto per tre:
Sfera e superficie sferica La sfera è un solido ottenuto dalla rotazione completa di un semicerchio attorno al proprio diametro, il raggio e il centro del semicerchio sono il raggio e il centro della sfera. La superficie sferica è l’insieme di tutti e solo i punti dello spazio che hanno la stessa distanza da un punto interno detto centro. Proprietà. La superficie sferica è equivalente alla superficie laterale del cilindro equilatero circoscritto ad essa. L’area della superficie sferica si ottiene moltiplicando per quattro l’area del suo cerchio massimo: Proprietà. Una sfera è equivalente a un cono avente per altezza il raggio della sfera e per raggio di base il diametro della sfera. Il volume della sfera si ottiene moltiplicando per il cubo del suo raggio: