Goniometria

 

 

 

Goniometria

 

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Goniometria

 

 

NOZIONI DI BASE:

A qualcuno sembrò una magia quando Guglielmo Marconi effettuò la prima radiotrasmissione di un segnale, ma non era magia: alla base di quell’invenzione, e non solo di quella, c’è la goniometria.

Sempre in fisica, quando si è trattato il moto circolare uniforme, subito si è arrivati a parlare di frequenze, periodi, velocità angolari, ed è uscito subito fuori il grafico della curva seno per definire il comportamento del moto armonico. Ogni applicazione della fisica che parla di Hertz (computer, forni a micro onde, impianti stereo, telecomunicazioni, e persino chimica, astronomia, sismologia..) si avvale dei semplici assunti di cui stiamo per avere completa esposizione.

 

La misura degli angoli   

 

Dal greco,  γονον μετρεω = misuro gli angoli, e τριγονον μετρεω = misuro i triangoli.

 

Per cominciare, è necessario chiarirsi quindi sulla misura di un angolo: il coefficiente angolare “m” finora sembrava raccontare solo un rapporto ordinate/ascisse. Sarà essenziale, ma non misura ancora l’angolo.

Esistono due modi per raccontare un angolo: la più comune è dividere un cerchio in 360 gradi col sistema sessagesimale, ma altrettanto è possibile esprimerlo come “arco sotteso dall’angolo”. In tal caso la misura è in radianti (qualcosa che ricorda bene la pulsazione o velocità angolare in meccanica: rad/sec).

 

• sistema sessagesimale

 

Siamo comunemente abituati a definire il tempo con le parole: sono le 12:30 e 20 secondi del giorno, mese..  E siamo abituati che 60 secondi fanno 1 minuto, che 60 minuti fanno un’ora, da cui, a seconda del fenomeno, si determina un range (giorno terrestre: 24 ore) oltre le quali scatta un giorno (un giro completo).

Forse alle medie qualcuno ha studiato il sistema decimale (ogni 10) ed il sessagesimale (ogni 60).

In tal senso, mezzogiorno e mezza e 20 secondi si scrive: 12° 30’ 20“.

In goniometria raramente capiterà di usare primi e secondi, concentrandoci per lo più sui gradi. Ora, mentre il fenomeno periodico del giorno viene diviso in 24° (ore), la circonferenza in generale si divide in 360°.

Da un punto di vista grafico, tale convenzione riporta almeno tre nomenclature fondamentali:

• 90°  angolo retto
• 180° angolo piatto
• 360° angolo giro

ma è inoltre importante visualizzare la divisione in 2 a 45° (in blu), e le divisioni in 3, quindi 30° - 60° (in verde) dell’angolo 90°. Ad esse corrispondono negli altri quadranti gli stessi valori opposti per simmetria.

Ad esempio 120° = 90° + 30° e risponde in maniera opposta ai 60°.

 

 

 

• utilizzare i radianti

 

meno intuitivo, ma semplice: il radiante non misura l’apertura dell’angolo, bensì la porzione di circonferenza sottesa a tale angolo.

In particolare, si cerca un arco l che abbia la stessa lunghezza del raggio R:

la misura della circonferenza è 2πR, vista da un angolo sessagesimale di 360°.

In radianti, basta dividere la circonferenza per il raggio:

 

 2πR    = 360 °    →  2π = 360°   ;    π = 180°    ;    π  = 90°    ;   π  = 45°   …

l (=R)                                                                       2                   4

 

 

Trasformazioni:      da gradi a radianti:                  da radianti a gradi:   

 

270°  .     π      =    3 π               3  π   .   180   =   135°

             180°         2                  4             π

 

La circonferenza goniometrica

Nel piano cartesiano è possibile individuare il luogo geometrico dei punti P equidistanti da un unico punto detto centro O della circonferenza, che, in maniera analitica per il riferimento cartesiano x;y, si traduce in:

 

X² + Y² = R²

 

Questa sarebbe l’equazione di una circonferenza con centro all’origine. Se noi considerassimo una simile circonferenza con raggio unitario, avremmo subito degli enormi vantaggi:

 

X² + Y² = 1

Essa costituisce l’equazione della circonferenza goniometrica.

Osservate la figura al lato: alla misura dell’angolo α corrisponde lungo la circonferenza un punto P, traguardato dall’origine O.

Questo punto ha un valore in ascisse (OH) e in ordinate (PH).

Ebbene, chiamando:

 

 seno di α      =   PH          (=Yp)

coseno di α   =   OH          (=Xp)

 

la nostra equazione della circonferenza goniometrica diventa:

 

sen²α  +  cos²α  = 1

 

Questa è la relazione base fondamentale della trigonometria.

Ora possiamo trattare gli angoli come misure riportate sugli assi.

Si deve considerare che lo studio di queste funzioni, seno e coseno, sono antichissime. Ogni calcolatrice scientifica ha un pulsante apposta per le funzioni trigonometriche e persino sul proprio computer, anche senza dover accedere ad excel (eccezionale programma), la calcolatrice di serie ha l’opzione per visualizzare i tasti scientifici. In simili strumenti, è richiesto specificamente di stabilire se si utilizzano i gradi o i radianti.

Dall’assunto precedente, escono subito fuori due importanti relazioni tra seno e coseno:

 

                             cos²α  = 1 –  sen²α                    sen²α  = 1 –  cos²α 

 

Analizziamo il comportamento delle due curve:

 

• quando α = 0°     →   cos α = 1   ;   sen α = 0
• quando α = 90°   →   cos α = 0   ;   sen α = 1

 

La stessa cosa si verifica negli altri quadranti. In pratica le due funzioni hanno ciò che si chiama uno sfasamento, in tal caso esattamente di 90°. Da questa considerazione emergono nuovi assunti:

 

                             cos α  =  sen ( 90°  –  α )                sen α  =  cos ( 90°  –  α )

 

Se infatti proviamo a graficizzare le due curve, appare chiaro l’effetto dello sfasamento di π/2 :

 

Valori notevoli di seno e coseno

Al valore preciso, decimale, di seno e coseno, si preferisce un risultato numerico notevole per tali angoli: il procedimento di base è sempre il teorema di Pitagora, pertanto alcuni valori resteranno sotto radice.

 

Angolo a 45°  ( π/4 )

Stiamo ragionando sulla circonferenza goniometrica, pertanto il raggio, ovvero l’ipotenusa del triangolo in esame, è unitario, il valore in ordinata e ascissa è rispettivamente riportato con seno e coseno di 45°. In geometria, la diagonale d (ipotenusa = raggio) di un quadrato di lato ℓ, rispetto ad esso: d = ℓ√2 .

Ovviamente, il lato, rispetto la diagonale unitaria del cerchio: ℓ = 1 / √2 .

Per noi, ℓ = sen 45 = cos 45. Per il teorema di Pitagora:

 

I² = C² + c²     →      1 = sen²  45 + cos²  45

 

Sappiamo che in tale configurazione seno e coseno sono uguali, quindi potremmo scrivere:

 

1 = 2 sen²  45     da cui    sen² 45 =  1    →       sen 45 =   1    .  √2   =   √2

                                                        2                               √2      √2          2

 

Nell’ultimo passaggio si è semplicemente razionalizzato il denominatore. Ovviamente,  cos(45°) = √2/2     

 

Angolo a 30°   ( π/6 )    e    60°   ( π/3 )

Si parte dalle considerazioni sul triangolo equilatero, avente tre angoli di 60° e tre lati uguali di misura ℓ . La bisettrice è anche mediana, dunque il triangolo (ruotato) che contiene le informazioni che cerchiamo ha un’altezza h = ℓ / 2  ed una base b = ( √3 / 2 ) ℓ. Nel nostro caso, ℓ=1, h = sen 30 ;  b = cos 30.

 

       Si intuisce subito:     sen 30 = ½

 

Per il coseno, basta applicare Pitagora:

 

I² = C² + c²   →    1 = sen² 30 + cos² 30  →   cos² 30 =  1 –  ½ ²  = ¾    →   cos 30 = √3 / 2

 

Nel caso dei 60°, la situazione si ribalta:          cos 60 = ½      ;      sen 60 = √3/2

 

Nei vari quadranti ritroveremo per simmetria gli stessi valori, alternati di segno a seconda del quadrante.

 

gradi – rad	Seno	Coseno
0/360 – 0/2 π	0	1
30  -  π/6	½	√3/2
45  -  π/4	√2/2	√2/2
60   - π/3	√3/2	½
90   - π/2	1	0
120  -  π 2/3	√3/2	–  ½
135  -  π 3/4	√2/2	– √2/2
150  -  π 5/6	½	– √3/2
180  -  π	0	– 1
210  -  π 7/6	– ½	– √3/2
225  -  π 5/4	– √2/2	– √3/2
240  -  π 4/3	– √3/2	– ½
270  -  π 3/2	– 1	0
300  -  π 5/3	– √3/2	½
315  -  π 7/4	– √2/2	√2/2
330  -  π 11/6	– ½	√3/2

 

 

TANGENTE, COTANGENTE, COSECANTE, SECANTE

 

 

NOZIONI DI BASE:

Seguono quattro funzioni, tutte derivanti da rapporti tra seno e coseno, fondamentali per la goniometria:

 

tangente:     è un valore preso esternamente al cerchio, esprime il vecchio coefficiente angolare m

cotangente:  è l’inverso della tangente

cosecante:    è l’inverso del seno

secante:        è l’inverso del coseno

 

diversamente da seno e coseno, i cui valori oscillano tra + 1 e  – 1 queste funzioni presentano valori infiniti, pur restando periodiche. Molte In fisica si ricorre spesso a tali funzioni, e saranno determinanti per la trigonometria.

 

Tangente

Disponiamo una retta di equazione X=1 in modo tangente alla circonferenza goniometrica come indicato in figura. Notiamo che su tale riferimento, l’angolo α stacca un segmento relativamente allo zero, indicato in figura con il tratto rosso. Tale valore è detto essere la tangente dell’angolo α  , indicata indistintamente con Tan α  o  Tg α .

Come si può osservare, per valori di α pari a 90° e 270° la tangente perde di definizione, procedendo in parallelo con l’asse delle ordinate.

A differenza di seno e coseno, la tangente, e la cotangente, non sono costrette nella circonferenza, pertanto possono assumere valori infinitamente grandi. Non essendoci due tangenti, qualora l’angolo  α eccedesse i 90° si ricerca il valore associato nel tratto inferiore, negativo.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cotangente

gradi – rad	Tangente	Cotangente
0  -  0π	0	∞
30  -  π/6	√3/3	√3
45  -  π/4	1	1
60   - π/3	√3	√3/3
90  -  π/2	∞	0
120  -  π 2/3	– √3	– √3/3
135  -  π ¾	– 1	– 1
150  -  π 5/6	– √3/3	– √3
180  -  π	0	∞
210  -  π 7/6	√3/3	√3
225  -  π 5/4	1	1
240  -  π 4/3	√3	√3/3
270  -  π 3/2	∞	0
300  -  π 5/3	– √3	– √3/3
315  -  π 7/4	– 1	– 1
330  -  π 11/6	– √3/3	– √3
360  -  2π	0	∞

Per la resa grafica si deve tener conto del comportamento asintotico(1) delle curve: ad esempio a 90° il seno ha il valore massimo, positivo, ma il coseno è nullo, pertanto il rapporto che da luogo alla tangente di 90° ha la forma 1/ 0 , quindi infinito.

Riparte da meno infinito, ha un flesso a 180°, dove il seno è nullo, per poi risalire verso valori infiniti e positivi.

Sia la tangente che la cotangente hanno un periodo di 180°:

 

 

TANGENTE

 

COTANGENTE

 

Secante e cosecante

Rappresentano l’inverso algebrico delle funzioni coseno e seno:

 

Sec α    =       1                      Cosec α     =      1   _

                   Cos α                                         Sen α

 

La dimostrazione geometrica considera una retta tangente

alla circonferenza goniometrica nel punto P, il quale è

ovviamente traguardato rispetto all’origine O da un

angolo α. Tale retta interseca gli assi in due punti,

in figura indicati con  S  ed  S’ .

 

La secante dell’angolo è il segmento staccato dalla

retta tangente in P sull’asse delle ascisse x rispetto l’origine;

La cosecante è l’altro segmento, staccato sulle ordinate y.

 

Il segmento OP ha il valore del raggio, pari ad uno, è perpendicolare al segmento SS’, diviso in due porzioni

PS – PS’. Il primo dei due tratti è pari alla tangente dell’angolo, l’altro, alla cotangente.

Se applicassimo Pitagora, ad esempio per trovare la secante:

Sec α  = √   1² + Tg² α   =  √  Cos² α  + Sen² α   =       √ 1      =        1   _

                                                     √ Cos² α                √Cos² α         Cos α

 

Appare chiaro come, al variare dell’angolo, la secante può arrivare a valori infinitamente grandi o infinitamente piccoli, negativi. Per ricercare i valori basta invertire quelli di seno e coseno:

 

gradi – rad	Secante	Cosecante
0  -  0π	1	∞
30  -  π/6	2/√3	2
45  -  π/4	√2	√2
60   - π/3	2	2/√3
90  -  π/2	∞	1
120  -  π 2/3	– 2	2/√3
135  -  π ¾	– √2	√2
150  -  π 5/6	– 2/√3	2
180  -  π	– 1	∞
210  -  π 7/6	– 2/√3	– 2
225  -  π 5/4	– √2	– √2
240  -  π 4/3	– 2	– 2/√3
270  -  π 3/2	∞	– 1
300  -  π 5/3	2	– 2/√3
315  -  π 7/4	√2	– √2
330  -  π 11/6	2/√3	– 2
360  -  2π	1	∞

 

SECANTE

 

 

COSECANTE

 

 

Fonte:  http://www.webalice.it/greendog/cs/files/matematica41.doc

Autore del testo: non indicato nel documento di origine

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