Eventi aleatori

 

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Eventi aleatori

 

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Eventi aleatori

 

Numeri aleatori

Abbiamo visto nei capitoli precedenti come il concetto di probabilità sia legato allo stato di incertezza rispetto ad eventi di cui è sconosciuto il contenuto di verità. A volte gli eventi sono associati a valori numerici, legati ad essi da relazioni fisiche o di convenienza. Lo stato di incertezza sull'evento si riflette sullo stato di incertezza sul valore della variabile, o grandezza, di interesse. L'esempio più banale è quello relativo al lancio di un dado, se, ad esempio, associamo all'evento ``faccia con il numero . Facciamo altri esempi.

• Se si lancia una moneta più volte, dopo quanti lanci si verifica ``Testa'' la prima volta? 1, 2, ...?
• Scelgo uno studente ``a caso'' (per esempio il di una certa lista). Quanti esami ha sostenuto? 0, 1, ...?
• Sapendo che lo studente ha superato l'esame di Fisica Generale, che voto ha riportato? 18, 19, ...?
• Si immerge un termometro digitale (con indicazione del decimo di grado) in un liquido a temperatura ambiente. Quale valore numerico leggerò? 19.0, 19.1, ...21.1 ...22.0?
• Un termometro digitale ``perfettamente calibrato'' e in grado di fornire il valore della temperatura al grado indica 28C. Se avessi a disposizione un termometro con indicazione al decimo di grado, che temperatura leggerei? 27.5, 27.6,...28.4?
• Pongo un chilogrammo campione su una bilancia di laboratorio con indicazione (digitale) dei centesimi. Che valore leggerò (in grammi)? 1000.00, 999.95, 1000.03 ...?
• Leggo su una bilancia di laboratorio 3.415 g. Quanto leggerei se ponessi lo stesso corpo su una bilancia di riferimento ``di altissima precisione e perfettamente calibrata'' che operi sotto vuoto?

Si evince da questi esempi che, in analogia agli eventi, una variabile casuale (anche nota con gli appellativi numero casuale, variabile aleatoria, numero incerto e numero aleatorio^6.1) non è altro che un numero rispetto al quale si è in stato di incertezza. Anche in questo caso la maggiore o minore fiducia del verificarsi del numero verrà misurata dalla probabilità.

 

PROBABILITA’

Se noi non fossimo ignoranti non ci sarebbe probabilità,
ci potrebbero essere solo certezze. Ma la nostra ignoranza
non può essere assoluta, altrimenti non ci sarebbe più
probabilità. Così i problemi di probabilità possono
essere classificati a seconda della maggiore o minore
profondità della nostra ignoranza.

(H. Poincaré)

 

Incertezze in Fisica e nelle altre scienze naturali

Il concetto di probabilità - basti per ora il significato intuitivo che si attribuisce al termine - non interviene soltanto nel considerare i possibili esiti di un esperimento. Un aspetto ancora più importante è quello che riguarda le conclusioni scientifiche che seguono dalle osservazioni sperimentali, vale a dire quali ipotesi sono supportate o escluse dai dati sperimentali. Infatti, anche se comunemente si parla di ``certezze'' scientifiche, gli addetti ai lavori sanno bene che di certezze dimostrate con lo stesso rigore di un teorema di matematica ce ne sono ben poche, anzi, ad essere precisi, non ce n'è nessuna.

Cerchiamo di capire quali sono le ragioni di incertezza nella scienza. La figura 1.1 schematizza l'attività del fisico o degli altri ricercatori. Dai dati sperimentali si cerca di determinare il valore di una certa grandezza o di stabilire quale teoria descriva meglio i fenomeni osservati. In realtà entrambi i processi possono essere visti come due aspetti dello stesso problema: come passare dalle osservazioni alle ipotesi. Infatti i due problemi possono essere riformulati nei seguenti modi:

A

quali valori sono (più) compatibili con la definizione della grandezza oggetto della misura, avendo letto certi numeri sugli strumenti (e subordinatamente a tutte le conoscenze sugli strumenti e della grandezza in questione)?

B

quale teoria è (più) compatibile con i fenomeni osservati (e subordinatamente alla credibilità della teoria basata su argomenti formali, estetici e di semplicità^1.2)?

La sola differenza fra i due processi di apprendimento è che, mentre nel secondo caso si ha a che fare generalmente con un piccolo numero di ipotesi, nel primo caso il numero di ipotesi è virtualmente infinito (le grandezze assumono i valori numerici con continuità, almeno in linea di principio).

Il motivo per cui non si arriva mai alle condizioni ideali di certezza, ovvero tali che soltanto una delle tante (o infinite) ipotesi sia da ritenersi vera e tutte le altre false, può essere compreso analizzando lo schema che segue.

A:

Per quanto riguarda la determinazione del valore di una grandezza si dice comunemente che l'incertezza sia dovuta ad inevitabili errori di misura (fluttuazioni della risposta dovute a `rumore', imperfetta calibrazione degli strumenti, effetti ambientali non perfettamente controllati, etc.);

B:

Quando si tratta di una teoria possiamo distinguere due casi:

(B)

La legge è probabilistica, ovvero ``le osservazioni non sono una mera conseguenza logica della teoria''. Un classico esempio è quello della genetica. Un esempio più semplice è quello del lancio di una moneta. Anticipando un risultato del calcolo delle probabilità - peraltro molto noto - si ha che, se la moneta è regolare, le due sequenze di testa (T) e croce (C)

sono ritenute ugualmente probabili. Quindi sarà impossibile arrivare a conclusioni certe sulla regolarità di una moneta ignota pur avendo osservato una sequenza di lunghezza arbitraria^1.3;

(B)

La legge è deterministica. Questa classificazione è valida solo in principio. Infatti, in tutti i casi, ``le osservazioni dipendono anche da molti altri fattori esterni alla teoria'', siano essi condizioni iniziali e ambientali, errori sperimentali, e così via. Tutte le incertezze su questi fattori rendono la relazione teoria-osservazione anche in questo caso di tipo probabilistico.

 

Concetto di probabilità

Come si vede dagli esempi appena incontrati, la categoria del probabile viene introdotta nelle argomentazioni quando viene meno la categoria del certo. L'origine stessa della parola (dal latino probàbilis, da probàre, provare) sta ad indicare ``degno di approvazione'', ``verosimile'', ``accettabile'', ``credibile'', ``ammissibile in base ad argomenti abbastanza sicuri''. Essa contrasta con probatus - provato - riferito ad affermazioni per le quali è accertato il contenuto di verità (vero o falso).

Di fronte a diverse affermazioni si può parlare di alcune più probabili e di altre meno probabili, a seconda della loro plausibilità. Il termine probabilità viene quindi usato come misura del grado di plausibilità di una affermazione, ovvero del ``verificarsi di un certo evento''.

È da notare come anche nel linguaggio parlato si cerchi di fissare una ``scala'' al livello di verosimiglianza, confrontando la propria valutazione di probabilità con quella di altri eventi sui quali ci sia unanime consenso nel ritenerli più o meno possibili (si pensi, ad esempio, ad espressioni del tipo ``è come vincere un terno al lotto'').

Il diagramma di figura 1.2 sintetizza molto bene lo schema logico che porta al concetto di probabilità:

• innanzitutto c'è da premettere che con il termine evento intenderemo qualsiasi affermazione - o proposizione - della quale sia verificabile il contenuto di verità, almeno in linea di principio. L'affermazione può riferirsi indifferentemente al passato, al presente o al futuro, ad esempio:
• ``pioveva a Roma il giorno della battaglia di Waterloo'';
• ``in quest'istante un treno merci sta transitando in un certo tratto della ferrovia Roma-Firenze'';
• ``nel prossimo lancio di un dado uscirà la faccia con il numero 5'';
• ``avendo letto sulla mia bilancia 10.05g, la massa dell'oggetto risulterà essere compresa fra 10.03 e 10.07g qualora essa sia misurata con una bilancia di altissima precisione e perfettamente calibrata''.
• Se l'evento è ben definito esso può essere, da un punto di vista logico, vero o falso^1.6: ``pioveva o non pioveva'', ``transita o non transita'', ``esce il 5 o un altro numero'', `` g o no''.
• In tutti gli esempi riportati siamo, dal punto di vista conoscitivo, in condizioni di incertezza. A ciascuno di questi eventi possiamo attribuire un certo livello di probabilità a seconda delle conoscenze che si hanno sull'evento. Ad esempio, se invece di pioggia a Roma si fosse interessati a tale evento a Milano o a Palermo, la valutazione di probabilità sarebbe stata diversa. Lo stesso vale se si viene a sapere che la battaglia di Waterloo è avvenuta a luglio. Nel caso della misura, la valutazione dipende dalla conoscenza della bilancia: se, invece della ``mia bilancia di laboratorio'', si trattasse di una bilancia di provenienza ignota, la valutazione cambierebbe.
• L'assegnazione di valutazione della probabilità può essere effettuata in vari modi ma, indipendentemente da essi, se il numero è alto si crede molto che l'evento possa verificarsi, mentre se il numero è molto piccolo si ritiene l'evento ``pressoché'' impossibile.
• Da queste considerazioni segue la seguente definizione del concetto di probabilità:

la probabilità è la misura del grado di fiducia che un evento si verifichi.

Ricordiamo che l'espressione ``si verifichi'' sta per ``si verifica il contenuto di verità dell'affermazione espressa dall'evento'' e non dipende dal fatto che l'avvenimento debba ancora accadere (vedi esempio di Warteloo).

La definizione adottata non è nient'altro che una rivalutazione del concetto intuitivo di probabilità. Per passare dal concetto ad una teoria della probabilità è comunque necessario:

• quantificare in un numero il livello di probabilità delle diverse affermazioni a cui si è interessati, ovvero definire delle regole per la valutazione della probabilità;
• stabilire una serie di regole che questi numeri devono soddisfare, ovvero costruire uno schema formale a base della teoria.

Questo è quanto sarà trattato nel seguito, parzialmente in questo capitolo e completato nel resto del testo.

 

Semplici valutazioni di probabilità

Se si chiede a qualsiasi persona quanto vale la probabilità dell'esito di eventi elementari, come una certa faccia nel lancio di una moneta o di un dado, si otterrà essenzialmente la risposta ``giusta'' di 1/2 e 1/6 rispettivamente. Anche se si rivolge la domanda, opportunamente formulata, a un bambino o una persona di scarsa cultura<sup>1.7</sup>, cioè che non sia in grado di esprimere il risultato sotto forma di frazione o di numero razionale, si ottiene sostanzialmente una risposta equivalente: ``non c'è ragione di ritenere un esito più probabile degli altri''; ``tutte le faccie hanno la stessa possibilità di uscire''. Cioè si esprime un giudizio di equiprobabilità - di indifferenza - sugli esiti.

Che tutti siano in grado di effettuare in modo intuitivo valutazioni di probabilità in situazioni semplici può essere facilmente verificato ponendo opportune domande. Per esempio, consideriamo il classico dado e interessiamoci agli eventi , perché ``è quello che uscirà più facilmente''. Non è difficile convincersi che il ragionamento seguito a livello intuitivo è quello espresso in modo molto chiaro dal filosofo Hume:

There is certainly a probability ...

Un altro caso di valutazione che porta a giudizi concordi è quando si mostrano risultati di un esperimento, che in principio può essere complicato a piacere, ma che può essere schematizzato in un certo modo standard che illustreremo fra poco. Ad esempio si può usare un contatore di radioattività e osservare il numero di conteggi registrato in un piccolo intervallo di tempo.

Si effettuano un certo numero di osservazioni, diciamo 100, nelle quali 56 volte si sono verificati zero conteggi, 32 volte un conteggio, 9 volte due, 2 volte tre e 1 volta quattro (vedi figura 1.3). Se prima di effettuare la 101 misura si chiede a coloro che hanno assistito all'esperimento quale numero si verificherà, eventualmente provocando la risposta con una scommessa alla pari, la risposta sarà scontata. Così pure emergerà spontaneamente che: ``la probabiltà dello zero è del 56%'', ``lo zero ha circa il doppio di possibilità di uscire rispetto all'uno'', e così via. Addirittura non ci sarà nessuno disposto a scommettere che non uscirà ``mai'' un numero superiore al quattro, anche se affermerà che gli ``sembra poco probabile''.

Se però si sposta il contatore in un'altra stanza, oppure lo si cambia con uno della stessa marca e modello, o ci si mette intorno uno schermo di piombo o una sostanza misteriosa, o semplicemente lo si spegne e poi lo si riaccende, nessuno risponderà più con la stessa sicurezza: ``proviamolo un po' e poi vediamo'', proporranno.

Infatti il giudizio che faceva ritenere più probabili quanto era accaduto più frequentemente nel passato si basa su considerazioni del tipo: ``il rivelatore sembra essere andato a regime''; ``perché mai la radioattività dovrebbe cambiare nel giro di qualche minuto?''; ``non mi sembra di aver osservato variazioni nel modo di fluttuare dei numeri fra i diversi valori che di volta in volta si presentavano'', ``credo che nei prossimi minuti il sistema si comporti come negli ultimi minuti''.

Si noti inoltre che, mentre si è disposti ad affermare che la probabilità di zero conteggi alla 101 osservazione sia del 56% (benché accompagnato da un doveroso ``circa'' prudenziale), si è molto più cauti a dire che la probabilità di quattro sia 1% o che quella di numeri superiori sia nulla. In questo caso il ``circa'' di prima diventerà un più eloquente ``all'incirca'' accompagnato da vistose ondulazioni della mano. E anche lo ``0%'' diventerà un ``sembra al più dell'ordine del percento''.

Possiamo quindi dire che il ragionamento che portava a questo secondo modo di valutare la probabilità sia legato a un giudizio sull'uniformità nel tempo delle prove (processo fisico e strumentazione) passate e future, confortato da un grande numero di risultati.

 

 

Ricapitolando

• Le osservazioni sperimentali non permettono di arrivare a conclusioni certe sulla validità di teorie scientifiche o sul valore di grandezze fisiche.
• A maggior ragione, siamo incerti sulle previsioni di eventi futuri, o comunque incerti, in quanto questa incertezza dipende dall'incertezza sulla teoria e sui suoi parametri, più le incertezze su fattori di influenza e di rumore difficilmente (o assolutamente ) incontrollabili.
• Il solo paradigma della falsificazione è inadeguato a trattare le implicazioni derivanti dalle osservazioni, in quanto tutte le teorie non falsificate sono trattate alla stessa stregua. Questo approccio è in contraddizione con l'analisi storica che mostra come le comunità scientifiche abbiano sempre preferito seguire la via ritenuta più plausibile (più probabile), senza nessun argomento di necessità logica e senza attendere la falsificazione di tutte le infinite ipotesi possibili.
• La mente umana, per supplire alla mancanza di certezza pur senza considerare allo stesso modo tutto ciò che è possibile, ha sviluppato il concetto di probabilità, come misura del grado di credibilità di un evento incerto.
• In molti casi è possibile farsi intuitivamente un'idea quantitativa del livello di probabilità esprimendo giudizi di indifferenza (equiprobabilità) rispetto a più casi elementari possibili, oppure credendo che il futuro scorra allo stesso modo del passato e ciò che si è verificato più frequentemente nel passato accadrà più probabilmente nel futuro.
• Nel caso di valutazione di probabilità dalle frequenze viene spontaneo non credere esattamente al valore di frequenza, specialmente se ottenuto con un piccolo numero di prove, ma si tende a ``smussare'' le osservazioni cercando delle regolarità fra le frequenze osservate.

 

Problemi

1. Analizzare il valore di verità delle seguenti frasi pronunciate a Roma mercoledì 8 ottobre 1997: a) domani è giovedì ; b) ``domani arriva la Befana''; c) ``domani piove''; d) ``domani nevica''.
2. Analizzare il valore di verità della frase ``nel 1969 un uomo arriva sulla luna'' pronunciata nel: a) 1920; b) 1961; c) 1997;
3. Si considerino i seguenti eventi, relativi alla ruota di Bari del gioco del lotto:
• ``il primo estratto del 1975 è pari'';
• ``il primo estratto di sabato prossimo (rispetto al giorno in cui stai leggendo questo testo) è pari'';
• ``la somma dei cinque numeri estratti il 10 maggio 1997 è inferiore a 15'';
• ``i cinque estratti di sabato prossimo sono tutti dispari'';
• ``i cinque estratti del 10 maggio 1997 sono tutti pari'';
• ``se i numeri estratti sono tutti pari la loro somma è maggiore di 27;
• ``il 10 maggio 1997 è uscito il terno 1-2-3'';
• ``il 10 maggio 1997 è uscito il terno 12-45-60;
• ``il 10 maggio 1997 è uscito l'ambo 37-45'';

10. A quali eventi è applicabile il concetto di probabilità?
11. È più probabile ?
12. Supponiamo che ?
3. Una scatola contiene 8 palline bianche e 2 nere, mentre un'altra ne contiene 2 bianche e 8 nere. Le due scatole sono indistinguibili. Si estrae una pallina da una scatola scelta a caso e, senza guardarla, la si ripone nell'altra scatola. Successivamente si estrae una pallina da quest'ultima scatola. Quanto vale la probabilità che la pallina sia bianca?
4. Una persona possiede due monete false, di cui una ha due teste e l'altra due croci. Ne estrae a caso dalla tasca una e la lancia: quanto vale la probabilità che esca testa?
5. *** Aggiungere altre semplici valutazioni di probabilità... ***

 

Limiti all'accuratezza delle misure - un esempio

Come esempio dell'impossibilità di arrivare a ``misure perfette'', consideriamo il semplice caso in cui si voglia determinare la lunghezza di un certo oggetto. Potrebbe essere ad esempio il lato di un foglio di metallo dalla forma rettangolare. La definizione operativa di misura implica il confronto fra l'oggetto da misurare e un campione del metro. Da tale confronto potrà risultare che la lunghezza m. Supponiamo di ottenere, dal confronto dell'oggetto con i vari sottomultipli del metro, la seguente successione di risultati:

avendo assunto di poter interpolare, eventualmente con l'ausilio di qualche strumento ottico o meccanico, fra tacche contigue distanziate di un millimetro.

Siamo interessati a capire fino a che punto possiamo andare avanti con questo procedimento. È facile convincersi che non potremo mai giungere a determinare la lunghezza di interesse come il numero reale ``elemento di separazione fra due classi contigue''.

A mano a mano che tentiamo di determinare meglio la quantità di interesse incontriamo nuovi problemi: inizialmente sarà la rugosità delle superfici; poi l'effetto della dilatazione termica; poi ancora la lunghezza d'onda finita della luce con cui si illumina l'oggetto; si arriva alla fine - anche assumendo di poter utilizzare un ``microscopio ideale'' per il confronto - a problemi legati alla natura non continua della materia: dove finisce il foglio e dove comincia il non-foglio? Ma prima ancora di arrivare a questi limiti concettuali sorge il dubbio se veramente il nostro strumento di misura sia ``lungo un metro'', ovvero si dovrà affrontare il problema della riproducibilità e costanza del campione di misura. Non è difficile convincersi che il meglio a cui si potrà giungere è affermare che la lunghezza di interesse è compresa fra due valori

A questo punto sorgono immediate delle domande:

• Quale significato dobbiamo attribuire all'espressione ``essere compresa''?
• Se si progetta un esperimento molto più preciso (ovvero dal quale ci attende un intervallo molto più piccolo) quale risultato ci si dovrà aspettare?
• Se un secondo esperimento trova un intervallo

diverso da quello del primo esperimento ed eventualmente in disaccordo da questo (ad esempio ) come ci si deve regolare? A quale dei due credere? Si possono eventualmente combinare le informazioni di entrambi gli esperimenti per aumentare il nostro grado di conoscenza sulla grandezza fisica di interesse?

• Supponendo di aver effettuato anche una misura di tempo, il cui risultato è anche in questo caso , come valutare l'intervallo entro cui è compreso il valore della velocità?

 

 

Concludiamo questa discussione sull'incertezza di misura, mostrando in tabella 1.3 come si sia evoluta nel tempo la conoscenza della velocità della luce nel vuoto da Galileo ai nostri giorni.

Si può notare la diminuzione nel corso degli anni dell'errore, inteso come la differenza fra il risultato della misura e quello ``vero''. Esso è indicato con nella tabella. (Si ricorda che attualmente il valore della velocità della luce è assunto essere esatto, in quanto esso può essere riprodotto meglio di quanto non sia possibile riprodurre il metro. Quindi è la distanza ad essere grandezza derivata da velocità e tempo.)

Si nota nella tabella che, partire dalla metà del diciannovesimo secolo,^1.4 le misure di velocità della luce sono accompagnate da una stima quantitativa dell'incertezza (indicata con dai valori misurati.

Imparare dagli esperimenti: il problema dell'induzione

Ogni misura ha lo scopo di accrescere la conoscenza di chi la esegue e di chi ha interesse a quella specifica conoscenza. Questi possono essere una certa comunità scientifica, un medico che ha prescritto una certa analisi o un commerciante che deve acquistare un prodotto. È anche chiaro che la necessità stessa di eseguire misure indica che ci si trovava in uno stato di incertezza su qualcosa di interesse. Questo ``qualcosa'' può essere una costante fisica o una teoria sull'origine dell'universo; lo stato di salute di un paziente; la composizione chimica di un nuovo prodotto. In tutti i casi la misura ha lo scopo di modificare un certo stato di conoscenza.

Si sarebbe tentati di dire addirittura ``acquisire'', anziché ``modificare'', lo stato di conoscenza, come ad indicare che la conoscenza si possa creare dal nulla nell'atto della misura. Non è difficile convincersi che nella maggior parte dei casi si tratta invece soltanto di un aggiornamento alla luce di fatti nuovi e di un certo raziocinio. Prendiamo ad esempio la misura della temperatura di una stanza effettuata con un termometro digitale - tanto per escludere contribuiti soggettivi alla lettura dello strumento - e supponiamo di ottenere 21.7 C ai quali crediamo di più e valori al di fuori ai quali crediamo di meno.

È però altresì chiaro che se il termometro avesse indicato, a parità di sensazione fisiologica, 17.3 C!

I tre casi corrispondono a tre diversi gradi di aggiornamento della della conoscenza. Nell'ultimo, in particolare, l'aggiornamento^1.5è nullo.

Questi esempi indicano che lo stesso concetto di probabilità con cui classificavamo le previsioni dei risultati di un esperimento intervengono nella valutazione dei possibili valori di una grandezza fisica o di ipotesi scientifiche alternative. Lo scopo delle misure è - ripetiamo - quello di modificare tali probabilità.

Il processo di apprendimento dalle osservazioni sperimentali è chiamato dai filosofi induzione. Probabilmente a molti lettori sarà anche noto che in filosofia esiste l'irrisolto ``problema dell'induzione'' dovuto alla critica di Hume a tale processo. Essa può essere sintetizzata affermando che l'induzione non è giustificata, nel senso che è impossibile dimostrare che da certe osservazioni possano seguire necessariamente determinate conclusioni scientifiche. L'approccio probabilistico che abbiamo appena abbozzato, e che risulterà più chiaro nel seguito, sembra essere l'unica via d'uscita a tale critica.

 

Decisioni in condizioni di incertezza

L'esperienza quotidiana insegna come il concetto di probabilità non sia confinato soltanto al ragionamento scientifico. Il termine probabilità è largamento usato - talvolta anche a sproposito - nel linguaggio quotidiano, in quello dei politici, nel mondo finanziario e dai mass media. Si parla per esempio di:

• probabilità che una macchina venga rubata;
• probabilità che un televisore si rompa prima dello scadere della garanzia;
• probabilità che una squadra vinca un incontro di calcio;
• probabilità che si risolva una crisi politica o un conflitto;
• probabilità che un titolo azionario aumenti di almeno il entro i prossimi sei mesi;
• probabilità che un nuovo prodotto riscuota il successo del mercato.

Il motivo del continuo uso del termine probabilità è dovuto al fatto che nella vita quotidiana e nelle situazioni professionali sono rare le occasioni in cui si agisce in stato di assoluta certezza (sotto molti aspetti è anche meglio: si immagini che noia nel caso opposto!). Ciò nonostante bisogna prendere in continuazione decisioni in stato di incertezza. Da quelle banali, come uscire o no con l'ombrello o quale marca di pelati preferire al supermercato, a quelle ``serie'', come accettare un posto di lavoro in un'altra città, sposarsi, o sottoporsi ad un intervento chirurgico.

Tutte queste decisioni, in mancanza della certezza sul loro esito, sono prese in base a considerazioni utilitaristiche (in senso lato), soppesando costi e benefici con le probabilità dei vari esiti.

 

 

Limiti del metodo di falsificazione

Molto spesso si pensa che l'unico metodo scientifico valido sia quello della falsificazione. Non ci sono dubbi che, se una teoria non è in grado di descrivere i risultati di un esperimento, essa vada scartata o modificata. Ma poiché non è possibile dimostrare la certezza di una teoria diventa impossibile decidere fra tutte le (infinite) ipotesi non falsificate.

Il metodo probabilistico permette invece di fornire una scala di credibilità a tutte le ipotesi considerate (o rapporti di credibilità fra ogni coppia di ipotesi).

Anche se questi ragionamenti sembrano più adatti a speculazioni di filosofia della scienza, essi giocano un ruolo fondamentale nella teoria dell'incertezza di misura che sarà sviluppata nel seguito. In particolare, il criterio di falsificazione sarà recuperato come semplice sottocaso.

 

 

Fonte: http://www.alessandrobonini.it/download/matematica/EVENTI%20ALEATORI.doc

Autore del testo: non indicato nel documento di origine

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