Matematica probabilità

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PROBABILITA’

ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

CLASSIFICAZIONE DEGLI EVENTI

Molti degli avvenimenti della vita d'ogni giorno dipendono da fattori non prevedibili. Frasi come
può darsi che domani piova
è difficile che sia estratto il biglietto della lotteria che ho acquistato ieri
è probabile che di domenica ci sia molta folla al cinema
sono frasi ricorrenti nelle conversazioni di tutti, che esprimono l'incertezza di fronte a fatti su cui
possiamo influire solo parzialmente, dipendendo gli stessi in buona parte dal caso. Per dare poi
un'indicazione della maggiore o minore probabilità che un evento si verifichi, si dice
è molto difficile che domani piova
è assai poco probabile fare un terno al lotto;
ma queste frasi esprimono un'approssimazione soddisfacente solo nel linguaggio corrente,
mentre è aspirazione dell'uomo prevedere con la maggiore certezza possibile gli avvenimenti
futuri. I matematici, dunque, studiando gli avvenimenti il cui verificarsi è legato al caso, hanno
creato un ramo della matematica, il calcolo delle probabilità, che, pur non riuscendo a far
prevedere con certezza ciò che avverrà, riduce il livello di incertezza portandolo in certi casi a
limiti molto bassi; per questa via diviene possibile esprimere con un numero la maggiore o minore
possibilità che un evento ha di realizzarsi. Si definisce evento tutto ciò che si può verificare
in natura; si possono distinguere i seguenti casi:
1) eventi possibili, che sono quelli che possono effettivamente verificarsi (per esempio, l'estrazione
di un asso di coppe da un mazzo completo di carte napoletane); a loro volta sono
distinti in eventi certi, che sono quelli il cui verificarsi è noto a priori (l'estrazione di una
pallina bianca da una scatola contenente soltanto palline bianche) ed eventi incerti o aleatori,
che sono quelli la cui realizzazione è imprevedibile e dipende solo dal caso (estrazione
di una pallina bianca da una scatola contenente palline bianche e nere);
2) eventi impossibili, che sono quelli che non possono assolutamente verificarsi (estrazione di
una pallina bianca da una scatola contenente soltanto palline nere).
Il calcolo delle probabilità è quella parte della matematica che si occupa proprio di quelli che
abbiamo chiamato eventi incerti o aleatori: è necessario conoscerne alcune nozioni elementari
per poter elaborare i risultati di una serie qualsiasi di misure fluttuanti.
CONCETTO DI PROBABILITÀ
In generale, col termine probabilità definiamo la misura numerica della possibilità che un dato
evento effettivamente si verifichi. Si possono distinguere:
1) la probabilità a priori, o probabilità matematica (che nel seguito indicheremo col simbolo
P), determinabile prima di eseguire le prove relative all'evento oggetto di studio; indicato con E
un evento qualsiasi, la probabilità matematica P(E) che esso si verifichi è data da
P(E) = (numero casi favorevoli)/(numero casi possibili)
(se ad esempio si vuole determinare la probabilità matematica che lanciando un dado esca un
quattro, poiché il numero dei casi favorevoli è 1, ovvero l'uscita del quattro, ed il numero dei casi
possibili è 6, ovvero il numero delle facce del dado, si avrà P=1/6);
2) la probabilità a posteriori, o frequenza (che nel seguito indicheremo col simbolo F), determinabile
solo dopo aver eseguito le prove relative all'evento oggetto di studio; indicato al solito
con E un evento qualsiasi, la frequenza F(E) con cui esso si verifica è data da
F(E) = (numero casi verificatisi)/(numero casi esaminati)
(se ad esempio si vuole determinare la frequenza dell'uscita del quattro in una serie predeterminata
di lanci eseguiti col solito dado, posto che il quattro esca 11 volte e che i lanci effettuati
siano sessanta, si avrà F=11/60);
3) la probabilità soggettiva, utile per alcuni eventi aleatori, specialmente nell'ambito non matematico,
per i quali non è possibile applicare i concetti sin qui esposti (se ad esempio volessimo
conoscere le probabilità di vittoria di uno dei nove cavalli che partecipano ad una corsa, non
sarebbe corretto ritenere tali probabilità pari ad 1/9, essendoci sicuramente animali più forti ed
altri più deboli e fantini più o meno bravi; sulla base di indagini approfondite e di ricerche svolte
sui risultati ottenuti da cavalli e fantini in tempi diversi, comunque, si potrebbero formulare delle
ipotesi, dalle quali però ci potremmo discostare parecchio al momento della verifica: così operando,
si dice che abbiamo effettuato una misura soggettiva di probabilità). In termini scientifici,
si può dire che un individuo che stimi la probabilità di un evento dev'essere disposto, scommettendo
sull'evento stesso, a fare indifferentemente da banco o da giocatore che punta; la probabilità
soggettiva Ps(E) che l'evento si verifichi, quindi, sarà pari a
Ps(E) = (somma che si vuol pagare)/(somma che si può vincere)
(se ad esempio si scommette su di un cavallo dato 1 a 10 dagli allibratori, ciò vuol dire che il
bookmaker stima pari ad una su dieci le probabilità di vittoria del cavallo in questione, e che il
giocatore è disposto a spendere una lira per poterne vincere dieci).
CONFRONTO TRA PROBABILITÀ MATEMATICA E FREQUENZA
Si prenda un dado non truccato e si effettuino venti serie di sei lanci ciascuna, scegliendo come
evento da studiare l'uscita del numero "uno" (la probabilità matematica che l'evento prescelto si
verifichi, determinata prima di eseguire i lanci, è notoriamente pari ad 1/6=0,167). Dopo ogni serie
di sei lanci, calcoliamo la frequenza d'uscita del numero "uno", esprimendola sempre sino alla
terza cifra decimale; noteremo certamente che, pur se talvolta con qualche oscillazione (inizialmente
più accentuata e poi via via d'entità minore), la tendenza di tale valore calcolato è
quella di avvicinarsi sempre più al valore della citata probabilità matematica; ancora, tale tendenza
risulterà maggiormente evidente se si aumenterà il numero delle prove. Tale fenomeno
si verifica per qualsiasi tipo di evento; possiamo quindi enunciare la seguente legge empirica
del caso o legge dei grandi numeri:
su di un numero molto grande di prove, effettuate tutte nelle medesime condizioni,
la frequenza con la quale si presenta un certo evento assume generalmente valori
molto prossimi al valore della probabilità matematica, e tale approssimazione è
tanto maggiore quanto più alto è il numero delle prove.
Si faccia però attenzione all'interpretazione da dare a questa legge; essa, infatti, non deve intendersi
nel senso che, raggiunto un elevato numero di prove, da quel momento in avanti sarà
sempre F(E)=P(E): tale certezza purtroppo non esiste. Il termine "generalmente" inserito nell'enunciato
esprime appunto il fatto che l'approssimarsi di F(E) a P(E) si presenta tanto più spesso
quanto maggiore è il numero delle prove.
EVENTI INCOMPATIBILI ED EVENTI COMPATIBILI
Si abbiano due dadi identici, aventi le facce contrassegnate coi numeri da uno a sei. Scegliamo
tre eventi possibili, conseguenti al lancio di entrambi:
A = "la somma dei punti sia pari"
B = "la somma dei punti sia dispari"
C = "la somma dei punti sia divisibile per tre".
È evidente che se la somma dei punti è pari essa non potrà essere contemporaneamente dispari:
i due eventi A e B sono quindi incompatibili. Invece, esistono numeri la cui somma è pari
(o dispari) e divisibile per tre: gli eventi A e C, dunque, così come gli eventi B e C, si dicono
compatibili. In conclusione, due eventi aleatori, appartenenti ad una medesima prova, si dicono
incompatibili quando il realizzarsi dell'uno esclude il realizzarsi dell'altro; in caso contrario, gli
eventi si diranno compatibili.
EVENTI INDIPENDENTI ED EVENTI DIPENDENTI
La distinzione ha chiaramente senso solo quando gli eventi trattati sono tra di loro compatibili.
In tal caso, due eventi si diranno indipendenti quando il realizzarsi di uno non altera le probabilità
di realizzarsi dell'altro (ad esempio, da un'urna contenente palline bianche e nere si estraggano
successivamente due palline; se la prima pallina estratta è bianca, la probabilità che anche
la seconda sia bianca non si altera se la prima viene rimessa nell'urna dopo l'estrazione).
Viceversa, i due eventi si diranno dipendenti nel caso contrario (la prima pallina bianca non viene
rimessa nell'urna; di conseguenza, la probabilità che anche la seconda sia bianca viene alterata).
LEGGI DELLA PROBABILITÀ
Si espongono brevemente, qui di seguito, il principio della probabilità totale (per gli eventi incompatibili
e per quelli compatibili) e il principio della probabilità composta (per i soli eventi
compatibili, indipendenti o dipendenti: ovviamente, non ha senso parlare di eventi che si verificano
insieme se essi sono tra di loro incompatibili).
a) PRINCIPIO DELLA PROBABILITÀ TOTALE (somma)
a.1) Eventi incompatibili
Siano A e B due eventi distinti, tra di loro incompatibili (il verificarsi dell'uno esclude il verificarsi
dell'altro); la probabilità che si verifichi l'evento A oppure l'evento B è data da
P(A oppure B) = P(A) + P(B).
Il principio si estende in maniera ovvia ad un numero qualsiasi n di eventi.
Ad esempio, prima di lanciare un dado vogliamo calcolare quali siano le probabilità che esca un
4 oppure un 5.
I due eventi incompatibili A e B sono "esce 4" ed "esce 5".
Si ha P(4)=1/6 e P(5)=1/6; dunque: P(4 oppure 5)=(1/6)+(1/6)=2/6=1/3.
a.2) Eventi compatibili
Siano A e B due eventi distinti, tra di loro compatibili (il verificarsi dell'uno non esclude il verificarsi
dell'altro); la probabilità che si verifichi l'evento A oppure l'evento B è data da
P(A oppure B) = P(A) + P(B) - P(A insieme a B).
Ad esempio, vogliamo calcolare quali siano le probabilità che da un mazzo di carte francesi di
52 carte si estragga un asso oppure una carta di picche.
I due eventi compatibili A e B sono "esce un asso" ed "esce una carta di picche".
Si ha P(asso)=4/52, P(picche)=13/52, P(asso di picche)=1/52; dunque: P(asso oppure picche)=(
4/52)+(13/52)-(1/52)=16/52=4/13.
Se gli eventi sono tre, si ha invece
P(A oppure B oppure C) = P(A) + P(B) + P(C) +
- P(A insieme a B) - P(A insieme a C) - P( B insieme a C) + P(A insieme a B ed a C).
PRINCIPIO DELLA PROBABILITÀ COMPOSTA (prodotto)
b.1) Eventi compatibili e indipendenti
Siano A e B due eventi distinti, tra di loro compatibili e indipendenti; la probabilità che si verifichino
contemporaneamente è data da
P(A insieme a B) = P(A) x P(B).
Ad esempio, in un lancio di due dadi si voglia calcolare quali siano le probabilità che esca un 4
sul primo dado ed un 5 sul secondo.
I due eventi compatibili e indipendenti A e B sono "esce 4 sul primo dado" ed "esce 5 sul secondo
dado".
Si ha P(4)=1/6 e P(5)=1/6; dunque: P(4 insieme a 5)=(1/6)x(1/6)=1/36.
Ovviamente, il principio si estende ad un numero qualsiasi n di eventi, purché tutti compatibili.
b.2) Eventi compatibili e dipendenti
Siano A e B due eventi distinti, tra di loro compatibili e dipendenti; la probabilità che si verifichi A
ed immediatamente dopo B, dipendente da A, è data da
P(A e subito dopo B) = P(A) x P(B dopo A),
dove P(B dopo A) è la probabilità che si verifichi B una volta che si è verificato A.
Ad esempio, disponendo di un'urna contenente 20 palline bianche e 10 palline nere, si voglia
calcolare quali siano le probabilità di estrarre una prima pallina bianca e subito dopo una seconda
pallina bianca, senza rimettere la prima nell'urna.
I due eventi compatibili e dipendenti A e B sono "estrarre una prima pallina bianca" ed "estrarre
una seconda pallina bianca senza rimettere la prima nell'urna".
Si ha P(esce una prima pallina bianca)=20/30 e P(esce una seconda pallina bianca senza rimettere
nell'urna la prima)=19/29; dunque: P(esce una pallina bianca e subito dopo un'altra pallina
bianca)=(20/30)x(19/29)=38/87=44%.
ESERCIZI
Per decidere se applicare il principio della probabilità totale o quello della probabilità composta
si operi come segue:
- se l'evento composto è somma di due o più eventi, tra di loro collegati da "o", si ricorre alla
probabilità totale (estrazione di una carta rossa o di una carta pari);
- se l'evento composto è intersezione di due o più eventi, tra di loro collegati da "e", si ricorre alla
probabilità composta (estrazione di un quattro e di una carta di picche);
- se nel testo compaiono sia "o" che "e", si applicheranno i due principi nel modo opportuno.
NR. 1: nel lancio di tre monete, si vuol calcolare la probabilità che escano due croci oppure tre
croci.
L'evento descritto equivale ai due eventi A="esce due volte croce" oppure B="esce tre volte croce",
tra di loro incompatibili. I casi possibili sono otto: CCC e CCT, CTC e CTT, TCC e TCT,
TTC e TTT. Si vede che P(A)=3/8 e P(B)=1/8; dunque, P(A oppure B)=(3/8)+(1/8)=4/8=1/2,
com'era d'altra parte immediatamente visibile dall'esame dei casi possibili.
NR. 2: nel lancio di un dado, si vuol calcolare la probabilità che esca un numero pari oppure un
multiplo di 3.
I due eventi A="esce un numero pari" e B="esce un multiplo di 3" sono chiaramente compatibili.
Si ha: P(A)=3/6, P(B)=2/6 e P(A insieme a B)=1/6; dunque, P(A oppure B)= (3/6)+(2/6)-
(1/6)=4/6=2/3.
NR. 3: si lanci un dado due volte e si determini la probabilità che esca il cinque al primo lancio
ed esca ancora il cinque al secondo lancio.
L'evento descritto equivale ai due eventi A="esce il cinque" e B="esce ancora il cinque", tra di
loro compatibili ed indipendenti. Si vede che P(A)=1/6 e P(B)=1/6; dunque, P(A insieme a
B)=(1/6)x(1/6)=1/36.
NR. 4: da un'urna contenente 5 palline rosse e 3 bianche si estraggono una alla volta due palline;
trovare la probabilità che siano entrambe rosse, sapendo che dopo la prima estrazione la
pallina estratta viene rimessa nell'urna (R= 25/64).
NR. 5: trovare la probabilità di fare 13 al Totocalcio (l'evento citato è composto da tredici eventi:
si indovina il primo risultato, si indovina il secondo risultato, eccetera; R=1/ 1594323).
NR. 6: si ricalcoli la probabilità dell'evento dell'esercizio nr. 4, ma nell'ipotesi che dopo la prima
estrazione la pallina estratta non venga rimessa nell'urna (gli eventi sono compatibili ma dipendenti;
R=20/56).

Fonte:http://www.sp.units.it/Docenti%20Materiali/CANDIAN/ELEMENTI%20DI%20CALCOLO%20DELLE%20PROBABILIT%C3%80.doc

CALCOLO DELLE PROBABILITA’

Definizione classica di probabilità (secondo Laplace)

La probabilità P(E) di un evento E è il rapporto fra il numero m dei casi favorevoli al verificarsi di E ed il numero n dei casi egualmente possibili:

Osservazioni:

La probabilità è un numero compreso fra 0 e 1: 0≤P(E)≤1, i valori estremi (0 e 1) corrispondono rispettivamente alla probabilità dell’evento impossibile ed alla probabilità dell’evento certo (vedi punti successivi);
La probabilità dell’evento impossibile si ha quando non vi sono casi favorevoli, ossia il numero m dei casi favorevoli è pari a 0: ;
La probabilità dell’evento certo si ha quando tutti i casi possibili sono favorevoli, ossia il numero m dei casi favorevoli è pari a n: .

Definizione frequentista della probabilità (secondo Pearson)

Premesse:

La frequenza relativa di un evento in n prove effettuate alle stesse condizioni è il rapporto fra il numero k delle prove nelle quali l’evento si è verificato ed il numero n delle prove effettuate: ;
Legge empirica del caso: in un gran numero di prove, eseguite tutte nelle stesse condizioni, la frequenza relativa di un evento tende ad assumere valori prossimi ala probabilità dell’evento stesso e l’approssimazione è tanto maggiore quanto più grande è il numero di prove eseguite.

Definizione:
La probabilità di un evento è la frequenza relativa in un numero di prove sufficientemente grande:
, con n sufficientemente grande.

Confronto fra concezione classica e concezione frequentista
Si consideri l’esperimento lancio della moneta. Gli eventi che costituiscono l’esito possibile dell’esperimento sono due: “esce testa” ed “esce croce”. Secondo la concezione classica di probabilità i due eventi sarebbero considerati egualmente possibili (o meglio sarebbe precisare egualmente probabili) e ciascuno avrebbe una probabilità di verificarsi pari a 0,5. La limitatezza della concezione classica sta nel fatto di non poter misurare la probabilità di un evento nel caso in cui gli eventi elementari che possono verificarsi non siano egualmente probabili (il che nel nostro esempio potrebbe essere nel caso di una moneta truccata). Una soluzione a tale limitatezza è offerta dalla concezione frequentista, secondo la quale, nell’esempio considerato, per misurare la probabilità degli eventi “esce testa” ed “esce croce” occorrerebbe effettuare un numero di lanci sufficientemente grande e calcolare la frequenza relativa dei due eventi che verrebbe considerata la probabilità degli eventi stessi. E’ evidente che se la moneta utilizzata per effettuare le prove fosse regolare la frequenza relativa di entrambi gli eventi “esce testa” ed “esce croce” si avvicinerebbe molto a 0,5 e coinciderebbe, con una certa approssimazione, con il valore determinato in base alla concezione classica. Se viceversa la moneta fosse truccata, uno dei due eventi si presenterebbe con maggiore frequenza dell’altro e le frequenze in tal modo determinate rappresenterebbero una misura delle rispettive probabilità sicuramente più attendibile di quella risultante dalla definizione classica basata sulla supposizione (in questo caso errata) che i due eventi elementari “esce testa” ed “esce croce” siano egualmente probabili.

Definizione assiomatica della probabilità (secondo Kolmogorov)

Premesse:

Ad ogni esperimento si può associare un insieme U detto universo o spazio degli eventi i cui elementi sono tutti i possibili risultati dell’esperimento.

Ad esempio, se l’esperimento è il lancio di un dado, lo spazio degli eventi contiene gli elementi e1=“esce uno”, e2=“esce due”, e3=“esce tre”, e4=“esce quattro”, e5=“esce cinque”, e6=“esce sei”, ossia: U={e1, e2, e3, e4, e5, e6}.

La nozione di evento è assunta come primitiva, ciò significa che non è definibile associando in un’espressione matematica altre nozioni primitive.
Un evento è descrivibile con un’espressione linguistica cui si può associare un sottoinsieme dell’insieme universo U.

Nell’esempio del lancio del dado l’evento descrivibile con l’espressione linguistica “esce un numero dispari” si può associare all’insieme D={e1, e3, e5} che è un sottoinsieme di U (in simboli: XÌU).

Si può identificare l’evento con il sottoinsieme associato all’espressione linguistica che lo descrive e tradurre le operazioni logiche sugli eventi in operazioni fra sottoinsiemi.

Nell’esempio del lancio del dado, l’evento “esce un numero pari” può essere identificato con il sottoinsieme P={e2, e4, e6};
Se consideriamo i due eventi “esce un numero pari” ed “esce un numero non inferiore a quattro”, identificabili con i sottoinsiemi P={e2, e4, e6} e Q={e4, e5, e6}, si possono tradurre le operazioni logiche sugli eventi in operazioni fra i due sottoinsiemi corrispondenti. Ad esempio la somma logica dei due eventi è l’evento descrivibile con l’espressione “esce un numero pari o non inferiore a quattro”, l’operazione si può tradurre nell’unione dei due sottoinsiemi corrispondenti: PÈQ={e2, e4, e5, e6}; analogamente il prodotto logico dei due eventi è l’evento descrivibile con l’espressione “esce un numero pari e non inferiore a quattro”, l’operazione si può tradurre nell’intersezione dei due sottoinsiemi corrispondenti: PÇQ={e4, e6}. Graficamente:

Il complemento logico dell’evento “esce un numero pari” è l’evento “esce un numero non pari” (ossia “esce un numero dispari” che si può definire come evento complementare rispetto al primo), tale evento complementare corrisponde all’insieme complementare di P={e2, e4, e6} che si indica con il simbolo e coincide con l’insieme precedentemente definito D={e1, e3, e5}. Graficamente:

I sottoinsiemi costituiti da un solo elemento vengono detti eventi elementari.

Nell’esempio del lancio del dado è facile intuire che si tratta dei sottoinsiemi E1={e1}, E2={e2},...,E6={e6}.

Si dice che l’evento si verifica se il risultato dell’esperimento è un elemento appartenente al sottoinsieme associato all’evento.

Nell’esempio del lancio del dado si dice che l’evento “esce un numero dispari” si verifica se il risultato del lancio del dado è un elemento del sottoinsieme D={e1,e3,e5} associato all’evento.

Si dice campo degli eventi, e si indica con il simbolo F, l’insieme che ha come elementi tutti i possibili sottoinsiemi di U, compresi lo stesso U e l’insieme vuoto Æ (che del primo costituisce il complemento).

Definizione:
La probabilità P(E) è una funzione che associa ad ogni evento del campo degli eventi un numero reale (compreso fra 0 e 1), in modo che siano soddisfatti i seguenti assiomi:

1°) P(E)³0
2°) P(U)=1
3°) Se E1 ed E2 sono incompatibili, ossia E1ÇE2=Æ, si ha: P(E1ÈE2)=P(E1)+P(E2)

Proprietà:

All’evento impossibile è associato l’insieme vuoto Æ, la cui probabilità è nulla: P(Æ)=0
Dato un evento E, la probabilità dell’evento contrario )=1-P(E)
La probabilità di un evento è un numero compreso fra 0 e 1: 0£P(E)£1
Se due eventi E1 ed E2 sono compatibili (ossia possono verificarsi contemporaneamente) si ha: P(E1ÈE2)=P(E1)+P(E2)-P(E1ÇE2) dove E1ÈE2 rappresenta l’evento che si verifica se si verifica indifferentemente E1 oppure E2 e E1ÇE2 rappresenta l’evento che si verifica se si verificano contemporaneamente E1 ed E2.
Se due eventi E1 ed E2 sono indifferenti (ossia il verificarsi dell’uno non altera la probabilità che si verifichi l’altro), si ha P(E1ÇE2)= P(E1)·P(E2). Se invece l’evento E2 dipende da E1 si ha: P(E1ÇE2)= P(E1)·P(E2\ E1), dove P(E2\ E1) rappresenta la probabilità di E2 condizionata al verificarsi di E1 (ossia la probabilità che si verifichi E2sapendo che si è verificato E1.

Fonte: http://www.atuttascuola.it/allegati/matematica/CALCOLO%20DELLE%20PROBABILITA.doc

Matematica probabilità