Trigonometria formule e formulario

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TRIGONOMETRIA

MISURA DEGLI ANGOLI

Fino ad ora abbiamo misurato gli angoli col sistema sessagesimale (in inglese degree). Secondo tale sistema l’angolo giro è di 360°, quello piatto è di 180°, quello retto è di 90°. I sottomultipli del grado sono i primi e i secondi e occorrono 60 secondi per fare un primo e 60 primi per fare un grado.
Questo sistema è poco coerente con il sistema decimale e richiede calcoli più o meno complessi per compiere operazioni matematiche.
Per questo motivo gli anglosassoni usano il sistema centesimale (in inglese grad). In tale sistema l’angolo giro è di 400°, il piatto di 200° e il retto di 100°.
La grande semplificazione di tale sistema sta nel fatto che il primo sottomultiplo del grado è il decimo di grado, il secondo è il centesimo di grado, il terzo il millesimo di grado e così via.
Per questo motivo in tale sistema si applicano le comuni operazioni dell’aritmetica decimale.
In matematica e soprattutto in fisica e in informatica il sistema più usato è quello “radiante” che fa corrispondere all’angolo giro 2p, al piatto p, al retto p/2. Possiamo sintetizzare quanto detto nella seguente tabella:

ANGOLO	GRADI SESSAGESIMALI	GRADI CENTESIMALI	RADIANTI
GIRO	360°	400°	2p
PIATTO	180°	200°	p
RETTO	90°	100°	p/2

Vediamo ora come è possibile passare dalla misurazione degli angoli in gradi sessagesimali alla misurazione in radianti. Per fare ciò ricorriamo ad una proporzione. Si voglia, ad esempio, trasformare in radianti l’angolo di 30°. Se chiamiamo x la misura in radianti dell’angolo di 30°, possiamo affermare che 180° corrisponde a p come 30° corrisponde a x.
In notazione matematica questa affermazione diviene:
180°:p=30°:x,
da cui ricaviamo che :
x = 30p = p.
180 6

Riportiamo nella seguente tabella gli angoli più importanti:

GRADI SESSAGESIMALI	RADIANTI
0°	0
15°	p/12
30°	p/6
45°	p/4
60°	p/3
75°	5p/12
90°	p/2
180°	p
270°	3p/2
360°	2p

L’utilità del sistema radiante si sostanzia nella corrispondenza diretta esistente tra angoli espressi in radianti al centro di una circonferenza ed archi corrispondenti sulla circonferenza stessa.
Si consideri una circonferenza di raggio r:
Il perimetro della circonferenza è pari a P=2pr.
In sostanza, per calcolare il perimetro della circonferenza abbiamo moltiplicato l’angolo giro 2p per il raggio r.
Si noti che la circonferenza può essere considerata l’arco corrispondente all’angolo 2p.
Usiamo questa proprietà per calcolare la misura di qualsiasi arco.
Ad esempio si voglia calcolare la misura dell’arco AB di una circonferenza di raggio r corrispondente ad un angolo al centro di 30°.
Poiché l’angolo di 30° corrisponde a p/6 radianti, l’arco AB si ottiene moltiplicando l’angolo espresso in radianti e il raggio:
AB =p/6 *r.

LE FUNZIONI GONIOMETRICHE

Consideriamo un sistema di assi cartesiani e una circonferenza con il centro coincidente con l’origine degli assi e il raggio unitario (r =1). Tale circonferenza viene detta circonferenza goniometrica (fig.1).
Sulla circonferenza goniometrica consideriamo un punto P, tale che il raggio OP formi con l’asse delle x l’angolo orientato a (a è positivo se forma una rotazione antioraria rispetto a x).

FIG.1

Il punto P ha coordinate: Pº(OH; PH)
Si definisce seno dell’angolo a l’ordinata del punto P:
sen a=PH.
Si definisce coseno dell’angolo a l’ascissa del punto P:
cos a=OH
Prolunghiamo il raggio OP e chiamiamo P2 l’intersezione di tale prolungamento con la retta tangente alla circonferenza del punto P1 di incontro tra la circonferenza e l’asse delle x (fig.2)
Si definisce tangente dell’angolo a l’ordinata del punto P2:
P2P1=tan a
P2P1=tg a

FIG.2

Consideriamo ora la tangente alla circonferenza goniometrica portata per il punto A1 di intersezione tra la circonferenza e l’asse delle ordinate. Indichiamo inoltre con A2 l’intersezione tra tale tangente e il prolungamento del raggio OP (FIG.3).

FIG.3

Si definisce cotangente dell’angolo a l’ascissa del punto A2:
A1A2=cotana
A1A2=cotga.
Conduciamo una tangente alla circonferenza goniometrica nel punto P (vedi FIG.4). Il raggio OP formi con l’asse delle x l’angolo orientato a .
Se chiamiamo S l’eventuale punto d’incontro tra la suddetta tangente e l’asse delle ascisse e S’ l’eventuale punto d’incontro con l’asse delle ordinate, si definisce secante dell’angolo a l’ascissa del punto S :
OS=sec a .
Si definisce cosecante dell’angolo a l’ordinata del punto S’ :
OS’=cosec a .

FIG.4

VARIABILITA’ DELLA FUNZIONE SENO

FIG.5

Nel primo quadrante il seno dell’angolo è sempre positivo, coincidente con l’ordinata PH del punto P. In particolare quando a è zero, è zero anche PH, quindi nullo risulta essere il seno di zero.
All’aumentare dell’angolo a aumenta anche PH e quindi il seno dell’angolo. Al limite del primo quadrante a diviene p/2, PH coincide con il raggio, il seno di p/2 è quindi uno, poiché il raggio è pari ad uno.
Sintetizzando possiamo affermare che nel primo quadrante l’angolo va da zero a p/2, il seno dell’angolo è positivo e cresce dal valore zero (sen 0 = 0) al valore 1 (sen p/2 =1 ).
Nel secondo quadrante l’angolo passa dal valore p/2 a p. Il seno è anche in esso positivo, in quanto le ordinate PH sono positive. In particolare a p/2 il seno vale 1, coincidendo PH con il raggio unitario. Aumentando l’angolo a da p/2 a p l’ordinata PH diminuisce, per cui diminuisce anche il seno dell’angolo. Alla fine del secondo quadrante l’angolo diviene p, PH si annulla e diviene 0 anche il seno di p.
In sintesi nel secondo quadrante il seno è positivo e decresce, passando dal valore 1 (sen p/2 = 1) al valore 0 (sen p = 0).
Nel terzo quadrante l’angolo passa da p a 3p/2, il seno è negativo, in quanto l’ordinata PH è negativa. In particolare a p PH è nulla, il seno è nullo. Man mano che cresce l’angolo il segmento PH aumenta, ma, poiché l’ordinata è negativa, il seno decresce. A 3p/2 (limite del quadrante) PH diviene -1.
In sintesi nel terzo quadrante il seno è negativo e decresce passando da 0 (sen p = 0) a -1 (sen 3p/2 = -1).
Nel quarto quadrante il seno è negativo, in quanto PH è negativo. Il seno cresce perché PH passa dal valore -1 a 3p/2 al valore 0 a 2p.
Sintetizzando in esso il seno è negativo e passa dal valore -1 (sen 3p/2=-1) al valore 0 (sen 2p=0).

Rappresentiamo ora la funzione seno in un diagramma (la sinusoide FIG.6), che presenta sull’asse delle ascisse gli angoli, su quello delle ordinate i seni degli angoli. Come abbiamo visto in precedenza, il seno assume valore minimo -1 e massimo 1 (varia tra -1 e 1), per cui possiamo disegnare sul diagramma una fascia tra -1 e 1 oltre la quale non può esistere la funzione seno.

FIG.6

In sequenza le coordinate dei punti O,A,B,C,D, sono

Oº(0;sen0)º(0;0)
Aº(p/2;senp)º(p/2;1)
Bº(p;senp)º(p;0)
Cº(3p/2;sen3p/2)º(3p/2;-1)
Dº(2p;sen2p)º(2p;0)

Unendo con una curva appropriata i punti indicati in figura si ottiene la “sinusoide”. In realtà essa va continuata nella stessa maniera ad intervalli di 2p (si dice che la funzione seno è di periodo 2p), infatti ogni 2p in seno presenta gli stessi risultati.
Due angoli sono congruenti quando si differenziano dalla quantità di 2p o multipla di 2p. Ad esempio p/2 e 5p/2 (p/2+2p) sono congruenti perché si differenziano di 2p ed hanno lo stesso valore del seno.
VARIABILITA’ DELLA FUNZIONE COSENO

FIG.7
Sappiamo che il coseno di un angolo è l’ascissa di un punto P che si trova sulla circonferenza goniometrica (nel caso in figura il segmento OH).
Nel primo quadrante il segmento OH è positivo, in particolare quando a è 0, OH coincide con il raggio unitario e il coseno è 1 (cos0=1).
Man mano che cresce a, diminuisce il segmento OH e quindi il coseno di a. Quando è p/2, OH diviene 0, nullo risulta quindi essere il coseno di p/2 (cosp/2=0).
In sintesi il coseno del primo quadrante è positivo e decrescente, passando dal valore 1 a 0, al valore 0 a p/2.
Nel secondo quadrante il segmento OH diviene negativo, per cui il coseno è negativo e passa dal valore 0 per a pari a p/2 (cosp/2=0) al valore -1 per a=p (cosp=-1).
Il coseno quindi decresce passando da 0 a -1.
Sintetizzando il coseno del secondo quadrante è negativo e decrescente passando dal valore 0 a p/2 al valore -1 a p.
Nel terzo quadrante il coseno è negativo, crescente dal valore -1 per a=p al valore 0 per a=3p/2.
Nel quarto quadrante il segmento OH torna ad essere positivo, per cui positivo è il coseno. Esso inoltre è crescente, poiché passa dal valore 0 per a=3p/2 (cos3p/2=0) al valore 1 per a=2p (cos2p=1).
Sintetizzando nel quarto quadrante il coseno è positivo e crescente passando dal valore 0 a 3p/2 al valore 1 a 2p.
La seguente tabella contiene tutto ciò che abbiamo detto:

Rappresentiamo ora funzione coseno in un diagramma (cosinusoide), che presenta sull’asse delle ascisse gli angoli e su quello delle ordinate il coseno degli angoli. Come per la funzione seno anche il coseno varia tra -1 e 1 (-1 valore minimo, 1 valore massimo) per cui anche in questo caso tracciamo una fascia tra -1 ed 1 oltre la quale il coseno non può esistere.

FIG.8

In sequenza le coordinate dei punti A,B,C,D,E sono:

Aº(0;cos0)º(0;1)
Bº(p/2;cosp/2)º(p/2;0)
Cº(p;cosp)º(p;-1)
Dº(3p/2;cos3p/2)º(3p/2;0)
Eº(2p;cos2p)º(2p;1)

Unendo con una curva appropriata I punti individuati in figura si ottiene la **“cosinusoide”**.

Anche la cosinusoide come la sinusoide va continuata identica a se stessa ad intervalli di 2p. Per questo motivo possiamo affermare che anche il coseno ha periodo 2p, presentando ogni 2p gli stessi valori.

È interessante confrontare la sinusoide con la cosinusoide.
Come si può osservare le due curve sono identiche e sfasate di p/2.

VARIABILITA’ DELLA FUNZIONE TANGENTE

Come si può osservare nella figura 9 A nel primo quadrante la tangente dell’angolo è positiva. In particolare quando a è nullo il segmento PH, che rappresenta la tangente diviene 0 (P coincidente con H). Man mano che a cresce (a3>a2>a1>a Þ P3H>P2H>P1H>PH) cresce la tangente.
Man mano che a si avvicina a p/2 la tangente tende a diventare grandissima. Quando a diviene 90° il punto P tende all’infinito, in quanto il segmento OP tende a diventare parallelo alla tangente.
Possiamo dire che a p/2 la tangente dell’angolo è più infinito (+¥).
In sintesi possiamo dire che nel primo quadrante la tangente è positiva, crescente dal valore 0 (tan0=0) a +¥ (tanp/2=+¥).

FIG. 9 A FIG. 9 B

Per comprendere meglio la variabilità della funzione tangente nel secondo quadrante partiamo da p e torniamo a ritroso verso p/2 (figura 9 B) . A p il punto coincide con H, quindi la tangente è nulla. Man mano che l’angolo decresce, passando da a ad a1 , la tangente in valore assoluto cresce (P1H>PH), ma in realtà decresce poiché è negativa.
Man mano che si avvicina l’angolo a p/2 (da sinistra) l’ordinata del punto P corrispondente sulla tangente diventa un numero negativo sempre più grande. In particolare la tangente a p/2 è meno infinito (-¥), in quanto il segmento OP tende a diventare parallelo alla tangente.
Sintetizzando nel secondo quadrante la tangente è crescente, negativa e passa dal valore -¥ (tanp/2=-¥) al valore 0 (tanp=0).

FIG. 10 A FIG. 10 B

Come si può osservare dalla figura 10 A l’angolo a del terzo quadrante ha la stessa tangente PH dell’angolo del primo quadrante. In particolare possiamo scrivere che a=p+b
tana= tan(p+b)= tanb.

Per questo motivo da p a 3p/2 si ripropongono gli stessi valori della tangente riscontrati da 0 a p/2.
In sintesi, quindi, possiamo dire che nel terzo quadrante la tangente è positiva e crescente e passa dal valore 0 (tanp=0) a +¥ (tan3p/2=+¥).
Osservando la figura 10 B , possiamo dedurre che la tangente dell’angolo a del quarto quadrante (segmento PH) coincide con la tangente dell’angolo b del secondo quadrante.
Infatti è: a=p+b
tana= tan(p+b)= tanb.

Nel quarto quadrante, quindi si propongono gli stessi valori del secondo quadrante, per cui, sintetizzando, possiamo affermare che in esso la tangente cresce ed è negativa e passa dal valore -¥ (tan3p/2=-¥) al valore 0 (tan2p=0).

FIG. 11

Riportiamo i valori 0 della tangente a 0, p e 2p e i valori +¥ e -¥ a p/2 e 3p/2 (FIG.11). Si ottiene la tangendoide. Come si può osservare due rami che hanno gli stessi valori distano di p, per cui possiamo affermare che la funzione tangente ha periodo p. Per completare la tangendoide si prosegue il grafico in modo identico ogni p.

VARIABILITA’ DELLA FUNZIONE COTANGENTE

Come sappiamo, la cotangente dell’angolo a coincide con il segmento PH della figura 12 A. Per questo motivo possiamo affermare che la cotangente nel primo quadrante è positiva. Per semplificare lo studio della cotangente nel primo quadrante, partiamo dall’angolo p/2 e, a ritroso andiamo verso l’angolo 0. A p/2 il segmento PH è nullo, per cui risulta la cotangente di p/2 uguale a 0. Man mano che decresce l’angolo andando verso 0 il segmento PH cresce, la cotangente quindi diventa più grande. Quando l’angolo tende a 0, il segmento PH tende verso l’infinito, in quanto il segmento OP tende a disporsi parallelamente alla retta cui si individua la cotangente.
La cotangente a 0 è quindi +¥.
Sintetizzando, si può affermare che nel primo quadrante la cotangente è positiva e decrescente, passando dal valore +¥ a 0 (cotg0=+¥) al valore 0 a p/2 (cotgp/2=0).

FIG. 12 A FIG. 12 B

Nel secondo quadrante (FIG. 12 B) il segmento PH che rappresenta la cotangente è negativo, la cotangente, quindi, è negativa. In particolare a p/2 PH è nullo ed è nulla anche la cotangente, crescendo a PH diviene un numero negativo sempre più grande e la cotangente decresce. Avvicinandosi a a p, il segmento PH tende a divenire un numero negativo infinitamente grande e il segmento PO tende ad essere parallelo alla retta su cui giace la cotangente. A p, quindi, la cotangente è -¥.
In sintesi, nel secondo quadrante la cotangente è negativa, decrescente e passa dal valore 0 a p/2 (cotgp/2=0) al valore -¥ a p (cotgp=-¥).

FIG. 13 A FIG. 13 B

Osservando la figura 13 A , si nota che l’angolo a del terzo quadrante corrisponde a quello b del primo, per cui in esso si ripropongono gli stessi valori della cotangente nel primo quadrante. Si ha, quindi, sintetizzando che la cotangente del terzo quadrante è negativa e decrescente e passa dal valore +¥ a p (cotgp=+¥) al valore 0 a 3p/2 (cotg3p/2=0).
L’angolo a del quarto quadrante (fig. 13 B) ripropone gli stessi valori del secondo quadrante relativi all’angolo b, per cui si ha la perfetta coincidenza fra questi due quadranti in relazione alla funzione cotangente.
Sintetizzando si ha quindi che nel quarto quadrante la cotangente è negativa e decrescente e passa dal valore a 3p/2 (cotg3p/2=0) al valore -¥ a 2p (cotg2p=-¥).
Sia per la tangente che per la cotangente, quindi si ha che:

tana= tan(p+b)= tanb ; cotga=cotg(p+b)=cotgb.

Riportiamo i valori 0 della cotangente a p/2 e 3p/2 e i valori +¥ e -¥ a 0, p e 2p. Otteniamo così la cotangendoide. Si noti che la curva assume gli stessi valori ogni p, per cui possiamo affermare che la funzione cotangente è di periodo p.
Il grafico completo della cotangendoide si ottiene disegnando i valori degli angoli congruenti al primo giro.

IDENTITA’ FONDAMENTALI DELLA TRIGONOMETRIA

Consideriamo la circonferenza goniometrica e un punto P su di essa. Vista la figura, possiamo scrivere:

1) PO = 1 ; PH = sena ; OH = cosa
Il triangolo PHO è rettangolo e OH e PH sono i cateti, PO è l’ipotenusa. Applicando il teorema di Pitagora si ottiene:

2) PH2 +OH2 =OP2.

Sostituendo la 1) nella 2), si ottiene:

che viene detta prima identità fondamentale della trigonometria.

Si consideri la circonferenza goniometrica e un angolo a al centro. Osservando la figura possiamo scrivere che:

1) PH=sena ; OH=cosa ; QK=tana ; OK=1
I triangoli PHO e QKO sono simili, perchè sono entrambi rettangoli ed hanno l’angolo a in comune. Per questo motivo possiamo scrivere la seguente proporzione:

QK : PH = OK : OH

(QK sta a PH perché entrambi opposti all’angolo a; OK sta a OH perché entrambi adiacenti all’angolo a).
Sostituendo la 1) nella 2) si ottiene:
tana : sena = 1 : cosa
applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni si ottiene:
tana cosa = sena,
da cui, infine, si ricava:

che è la seconda identità fondamentale della trigonometria.

Consideriamo un angolo a al centro di una circonferenza goniometrica e la sua È evidente che i due triangoli, essendo entrambi retti, avranno anche il terzo angolo uguale, che chiameremo b.
cotangente KQ . Per quanto detto in precedenza, possiamo scrivere:

1) KQ=cotga ; PH=sena ; OH=cosa ; OK=1
Consideriamo i due triangoli rettangoli OHP, retto in H, e OKQ, retto in K. L’angolo POH del primo triangolo è uguale all’angolo OQK del secondo, in quanto sono angoli alterni interni rispetto alla retta parallela (asse delle x e cotangente) tagliate dalla trasversale OQ. Chiamiamo tali angoli a. I due triangoli sono, quindi, simili, per cui possiamo scrivere:
2) OH : KQ = PH : OK.
Sostituendo la 1) nella 2) si ottiene:
cosa : cotga = sena : 1.
Applicando la proprietà fondamentale della proporzione, si ottiene:
cotga sena = cosa,
da cui infine si ricava:

che è la terza identità fondamentale della trigonometria.

CORRISPONDENZA TRA LE VARIE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE

NOTO IL COSENO DI UN ANGOLO, CALCOLARE IL SENO.
Partendo dalla prima identità fondamentale della trigonometria, con semplici passaggi si ricava il seno in funzione del coseno:
sena2 + cosa2 = 1
sen2a = 1 - cos2a

si sceglie il segno + quando a è nel primo o secondo quadrante, ove il seno è positivo, mentre negli altri due quadranti il seno è negativo, per cui se a si trova in essi, si sceglie il segno -.

NOTO IL SENO, CALCOLARE IL COSENO.
Partendo dall’identità fondamentale della trigonometria, con semplici passaggi si ricava il coseno in funzione del seno.
sena2 + cosa2 = 1
cos2a = 1 - sen2a

Si sceglie il segno + quando a è nel primo o nel quarto quadrante, ove il coseno è positivo. Si sceglie il segno - nel secondo e nel terzo quadrante, ove il coseno è negativo.

NOTO IL SENO, CALCOLARE LA TANGENTE
Partiamo dalla seconda identità fondamentale della trigonometria:

Poiché sappiamo che:
,

sostituendola nella formula precedente, si ottiene:

Si sceglie il segno + quando l’angolo a si trova nel primo e nel terzo quadrante in cui la tangente è positiva, si sceglie il segno – quando a si trova nel secondo o nel quarto quadrante, ove la tangente è negativa.

NOTO IL COSENO, CALCOLARE LA TANGENTE.
Come nel caso precedente si ha:

Anche in questo caso il segno + o – dipende rispettivamente se a è nel primo o terzo quadrante oppure nel secondo o quarto.

NOTO IL SENO, CALCOLARE LA COTANGENTE.
Partiamo dalla terza identità fondamentale della trigonometria:

Poiché è:

sostituendo si ottiene:

Quando a è nel primo o quarto quadrante si sceglie il segno +, in quanto la cotangente è positiva. Per a nel secondo e quarto quadrante si sceglie il segno –, in quanto la cotangente è negativa.

NOTO IL COSENO, CALCOLARE LA COTANGENTE.

Come nel caso precedente, si ha:

Il segno + o – è usato rispettivamente nel primo e terzo quadrante oppure nel secondo e nel quarto.

NOTA LA TANGENTE, CALCOLARE IL SENO.
Si parte dalla formula prima dimostrata:

Eleviamo al quadrato primo e secondo membro, ottenendo:

Portando 1-sen2a dal denominatore del secondo membro al numeratore del primo, si ha:
(1-sen2a)tg2a=sen2a ; tg2a- sen2atg2a= sen2a.
Portiamo -sen2atg2a al secondo membro, ottenendo:
tg2a= sen2a + sen2atg2a ; tg2a=sen2a(1+tg2a).
Ricaviamo da quest’ultima eguaglianza sen2a:

da cui facilmente si ottiene:

NOTA LA COTANGENTE, CALCOLARE IL SENO.
Si parte dalla formula:

Eleviamo al quadrato primo e secondo membro:

Passiamo sen2a dal denominatore del secondo membro al numeratore del primo:
sen2a cotg2a = 1 - sen2a

Portiamo -sen2a dal terzo al primo membro:

sen2a + sen2a cotg2a = 1

Mettiamo in evidenza sen2a, ottenendo:
sen2a (1 + cotg2a) = 1

Da cui si ricava:

NOTA LA TANGENTE, CALCOLARE IL COSENO.
Si parte dalla formula:

Eleviamo al quadrato primo e secondo membro:

Con semplici passaggi si ottiene:

tg2a cos2a = 1 - cos2a ; tg2a cos2a + cos2a = 1 ; cos2a ( tg2a +1 ) = 1

NOTA LA COTANGENTE, CALCOLARE IL COSENO.
Si parte dalla formula:

ottenendo:

cotg2a (1-cos2a) = cos2a ; cotg2a - cotg2a cos2a = cos2a ;
-cotg2a cos2a - cos2a = -cotg2a ; cotg2a cos2a + cos2a = cotg2a ;
cos2a( cotg2a+1)=cotg2a

NOTA LA COTANGENTE, CALCOLARE LA TANGENTE.

Si parte dall’identità fondamentale:

, si ottiene infine :

NOTA LA TANGENTE, CALOCOLARE LA COTANGENTE.

Dalla formula precedente si ricava:

TABELLA RIASSUNTIVA

NOTO ► CALCOLARE ▼	sen a	cos a	tan a	cotg a
sen a	XXX
cos a		XXX
tan a			XXX
cotg a				XXX

VALORI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE DI ANGOLI PARTICOLARI

ANGOLO DI 30° (p/6)

FIG.18

Si consideri il punto P1 simmetrico di P rispetto all’asse delle x (FIF.18) , che quindi forma tramite il raggio OP1 un angolo di 30° nel quarto quadrante. È evidente che il triangolo OPP1 è equilatero. L’altezza OH è, quindi, anche bisettrice e mediana, per cui divide il segmento PP1 in due parti uguali: PH=HP1.
PP1, essendo il triangolo POP1 equilatero, è uguale al raggio unitario OP:
PP1=OP=1,
per cui si avrà:
PH=HP1=1/2PP1=1/2.
Poiché PH è il seno di p/6, si avrà:

Per calcolare il coseno OH possiamo applicare il teorema di Pitagora al triangolo OHP.

Il coseno di p/6 era calcolabile con le formule di trasformazione del capitolo precedente:

Per calcolare la tangente di p/6 si usa la seconda identità fondamentale della trigonometria:

da cui facilmente ricaviamo:

La cotangente è l’inverso della tangente per cui si ha:

ANGOLO DI 60° (p/3)

FIG.19
Si consideri la circonferenza goniometrica e l’angolo di 60°(p/3) nel primo quadrante. Il raggio corrispondente all’angolo di 60° individua sulla circonferenza il punto P. È evidente (FIG.19) che il triangolo PHO è retto e risulta essere:

PH=senp/6
OH=cosp/6

È altrettanto evidente che l’angolo OPH è di 30°.
Consideriamo l’angolo di 30° nel primo quadrante come nella figura.
Per quest’angolo si ha:
P1H1=senp/3
OH1=cosp/3

Consideriamo il triangolo rettangolo OP1H1, è evidente che l’angolo OP1H1 è di 60°.
Consideriamo ora i due triangoli OPH e OP1H1. Essi sono congruenti, in quanto hanno uguali angoli e ipotenusa, corrispondente al raggio della circonferenza goniometrica, uguale a 1.
Per questo motivo possiamo scrivere che:

PH=OH1
OH=P1H1

Sostituendo al posto dei segmenti le funzioni goniometriche che essi rappresentano, si ha che:
senp/3=cosp/6
cosp/3=senp/6

Come si può osservare il seno di 60° è uguale al coseno di 30°, il coseno di 60° è uguale al seno di 30°, per cui possiamo scrivere:

Essendo invertiti seno e coseno tra 60° e 30° si invertono anche tangente e cotangente, ottenendo:

ANGOLO DI 45°(p/4)

FIG. 20

Consideriamo l’angolo di 45°(p/4) nel primo quadrante (FIG.20) . Osservando la figura possiamo rilevare che il triangolo rettangolo PHO è anche isoscele, per cui si ha:
1) PH=OH
senp/4=cosp/4
Applicando il teorema di Pitagora a tale triangolo, si ottiene:
OH2+PH2=1,
che, per la 1), diviene:
2PH2=1
da cui si ricava:
PH2=1/2

Poiché PH è il seno di p/4 che, nel caso dell’angolo di 45°, è pari al coseno, possiamo infine scrivere:

Essendo tgp/4 e cotgp/4 rispettivamente pari a senp/4 e cosp/4, ed essendo

cosp/4 senp/4
senp/4=cosp/4, è evidente che risulta essere:

ANGOLI ASSOCIATI

ANGOLI LA CUI SOMMA E’ 90° (angoli complementari)

FIG. 21 a FIG. 21 b

Consideriamo due angoli la cui somma è 90° (angoli complementari). In particolare se a è un angolo (vedi fig. 21 a), l’altro è pari a 90°-a (vedi fig. 21 b). L’angolo KOP1 di fig. 21 b è quindi pari ad a. Consideriamo i due triangoli POH (fig. 21 a) e P1OK (fig. 21 b). Essi sono congruenti , in quanto hanno un angolo retto, l’angolo a uguale e l’ipotenusa uguale a 1. Possiamo scrivere quindi:
1) PH=P1K ; 2) OH=OK.
Il segmento PH è pari a sena, mentre per il segmento P1K, si può scrivere:
P1K=OH1=cos(90°-a).
La 1) diviene quindi :

Osservando la numero 2) si ha che: OH=cosa
OK=P1H1=sen(90°-a),
per cui essa diviene:

Per la tangente e la cotangente si ha rispettivamente :
e quindi :

ANGOLI LA CUI DIFFERENZA E’ 90°

FIG. 22 a FIG. 22 b

Consideriamo due angoli la cui differenza è 90° (90°+a e a).
Il triangolo PHO di fig. 22 e il triangolo OKP1 di fig. 22 b sono congruenti. Infatti i due triangoli sono retti, hanno uguale l’angolo a e l’ipotenusa pari a 1. Possiamo quindi scrivere: PH=P1K.
Poiché P1K è uguale a H1O, possiamo scrivere: PH=H1O.
Poiché PH è il seno di a, H1O è il coseno di 90°+a , possiamo scrivere:

Il segno meno è necessario in quanto l’angolo 90°+a è nel secondo quadrante, per cui il coseno è negativo. Poiché il seno nel primo quadrante è positivo, per poter scrivere l’eguaglianza è necessario cambiare di segno al coseno di 90°+a.
Considerando gli altri due cateti dei due triangoli, possiamo scrivere: OH=KO.
Poiché KO è uguale a P1H1, la formula precedente diviene: OH=P1H1.
Quest’ultima eguaglianza, poiché OH è uguale a cosa e P1H1 al sen(90°+a), diviene:

Per la tangente e la cotangente si ha rispettivamente :

e quindi :

ANGOLI LA CUI SOMMA E’ 180° (angoli supplementari)

FIG. 23 a FIG. 23 b

Il triangolo PHO di fig. 23 e il triangolo P1H1O di fig. 23 b sono congruenti , in quanto sono entrambi rettangoli, hanno l’angolo a uguale e l’ipotenusa pari a 1. Possiamo quindi scrivere:
1) PH=P1H1 ; 2) OH=OH1

Poiché PH è uguale a sena e P1H1 è uguale a sen(180°-a), la 1) diviene:

Poiché OH è uguale a cosa e OH1 è uguale cos(180°-a), la 2) diviene:

Il segno meno è dovuto al fatto il coseno nel secondo quadrante è negativo, mentre nel primo è positivo.
Per il calcolo della tangente e della cotangente eseguiamo i seguenti passaggi :

e quindi :

ANGOLI LA CUI DIFFERENZA è 180°

FIG. 24 a FIG. 24 b

Il triangolo OHP di fig. 24 a e il triangolo P1H1O di fig. 24 b sono congruenti , in quanto sono entrambi retti, hanno l’angolo a uguale, hanno l’ipotenusa pari a 1. Si può quindi scrivere:
1) PH=P1H1      ;   2) OH=OH1,
e poiché è:                             PH=sena              P1H1=sen(180°+a)
OH=cosa              OH1=cos(180°+a)
la 1) e la 2) diventano rispettivamente:

Il segno meno al secondo membro delle due espressioni è dovuto al fatto che nel terzo quadrante sia seno che coseno sono negativi.
Per il calcolo della tangente e della cotangente si procede come segue:

e quindi :

ANGOLI LA CUI SOMMA E’ 270°

FIG. 25 a FIG. 25 b

I triangoli OHP (FIG. 25 a) e OH1P1 (FIG. 25 b) sono congruenti in quanto sono rettangoli, hanno uguale l’angolo a e hanno l’ipotenusa pari a 1. Possiamo quindi scrivere: 1) PH=P1H1 ; 2) OH=OH1
Ma poiché è :
PH=sena, P1H1=cos(270°-a), OH=cosa, H1O= sen(270°-a), la 1) e la 2) diventano rispettivamente:

Il segno meno deriva dal fatto che seno e coseno nel terzo quadrante sono negativi.
Per la tangente e la cotangente si procede come segue :

e quindi :

ANGOLI LA CUI DIFFERENZA E’ 270°

FIG. 26 a FIG.26 b

I triangoli PHO (FIG. 26 a) e P1H1O (FIG. 26 b) sono congruenti, perché rettangoli, con l’angolo a uguale e l’ipotenusa pari a 1. Si può quindi scrivere:
1) PH=P1 H1 ; 2) OH=OH1.
Ma poiché è PH = sen a ; P1H1 = cos (270°+a) ; OH = cos a ; OH1 = sen (270°+a) ,
la 1) e la 2) diventano :

Il segno meno è dovuto al fatto che il seno nel quarto quadrante è negativo.
Per la tangente e la cotangente si ha:

e quindi :

ANGOLI LA CUI SOMMA E’ 360° (angoli esplementari)

FIG. 27 a FIG. 27 b

I triangoli POH (FIG. 27 a) e P1OH1 (FIG. 27 b) sono congruenti, in quanto rettangoli e avendo inoltre l’angolo a uguale e l’ipotenusa uguale a 1. Possiamo quindi scrivere: 1) PH=P1H1 ; 2) OH=OH1
Si ha quindi:

Il segno meno nella prima espressione è dovuto al fatto che il seno nel quarto quadrante è negativo.
Per la tangente e la cotangente si ha:

e quindi :

Poiché l’angolo 360°-a è anche esprimibile come -a, possiamo scrivere:

TEOREMI SUI TRIANGOLI RETTANGOLI

FIG. 28

Consideriamo un triangolo rettangolo con a e b cateti e c ipotenusa (FIG. 28) . Dal vertice che forma l’angolo a O, tracciamo la circonferenza di raggio unitario (circonferenza goniometrica), che individua sull’ipotenusa il punto P. Proiettiamo il punto P sul cateto ottenendo il punto H. È evidente che risulta essere:

PH=sena,
OH=cosa.

Consideriamo i triangoli rettangoli KTO e PHO. Essi sono simili in quanto entrambi rettangoli e aventi l’angolo a in comune.
Possiamo quindi scrivere le seguenti proporzioni:

PH : a = OP : c,

da cui si ottiene: a = PH c / OP.

Poiché OP=1, si ha a = PH c,

PRIMO TEOREMA: in un triangolo rettangolo un cateto è uguale all’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto.

Consideriamo l’altra similitudine:

OH : b = OP : c,

b = c cosa

Da cui si ottiene:
2)

SECONDO TEOREMA: in un triangolo rettangolo un cateto è uguale all’ipotenusa per il coseno dell’angolo adiacente.

Dalla 1) e la 2) ricaviamo c: c = a/sena
c = b/cosa.

Essendo uguali i primi membri possiamo eguagliare i secondi, ottenendo:

a/sena = b/cosa.

Dalla 3) possiamo ricavare sia a che b ottenendo:

4) a = b sena/cosa
5) b = a cosa/sena.

Poiché sena/cosa=tga e cosa/sena=cotga, la 4) e la 5) diventano:

a = b tga
b = a cotga

TERZO TEOREMA: in un triangolo rettangolo un cateto è uguale all’altro cateto per la tangente dell’angolo opposto.

QUARTO TEOREMA: in un triangolo rettangolo un cateto è uguale all’altro cateto per la cotangente dell’angolo adiacente.

TEOREMA DELL’AREA

FIG. 29
Consideriamo un triangolo qualsiasi ABC e calcoliamo l’area nel modo consueto: A=CB x AH / 2. L’altezza AH è calcolabile applicando i teoremi sui triangoli rettangoli al triangolo rettangolo BHA. In particolare AH, cateto del triangolo BHA, è pari ad AB, ipotenusa del triangolo BHA, per il seno dell’angolo opposto b : AH=ABsenb. Sostituendo quest’ultimo valore di AH nell’espressione dell’area, si ottiene infine:

L’area di un triangolo è quindi calcolabile effettuandoli semiprodotto di due lati per il seno dell’angolo che essi formano.

TEOREMA DEI SENI

Consideriamo il triangolo precedente ABC e l’altezza AH relativa alla base CB. Ricaviamo l’altezza come cateto appartenente ai due triangoli rettangoli BHA e AHC:                           AH = AB sen b                      AH =AC sen g.
Di queste due ultime espressioni, essendo uguali i primi membri, eguagliamo i secondi:                                     AB sen b =AC sen g,
da cui si ricava facilmente l’eguaglianza:     1) AB/seng = AC/senb.
Se considerassimo l’altezza relativa alla base AB, nello stesso modo si ricava l’eguaglianza:                                                2) CB/sena = AC/senb
unificando la 1) e la 2), si ottiene:

È questo il teorema dei seni:
in un triangolo qualsiasi è costante il rapporto tra ogni lato ed il seno dell’angolo opposto.

TEOREMA DELLE PROIEZIONI

FIG. 30 FIG. 31

Consideriamo il triangolo ABC come in figura 30 e tracciamo l’altezza AH relativa alla base CB.
È evidente che la base CB è la somma tra la proiezione CH del lato AC su CB e della proiezione HB del lato AB su CB:
1) CB = CH + HB.
Consideriamo ora il triangolo rettangolo AHC. Il cateto CH è pari a :
2) CH = AC cosg.
Consideriamo ora il triangolo rettangolo AHB, il cateto HB risulterà essere pari a:

3) HB = AB cosb.

Sostituendo la 2) e la 3) nella 1), si ottiene:

CB = AC cosg + AB cosb

Quest’ultima formula costituisce l’espressione matematica del teorema delle proiezioni, che così si enuncia:
In un triangolo qualsiasi un lato è uguale alla somma dei prodotti di ogni altro lato per il coseno che ogni altro lato forma con se stesso (con il lato da calcolare).
Per completezza bisogna dimostrare il teorema anche nel caso che un angolo adiacente al lato scelto sia ottuso (FIG. 31)
Il lato AB in questo caso è :       4)   CB = HB - HC.
Consideriamo il triangolo rettangolo AHC e calcoliamo il cateto HC nella seguente maniera:                                     5)   HB = AB cosb.
In relazione, invece, al triangolo rettangolo CHA il cateto HC si ricava nella seguente maniera:                        6)   H A= CA cos(180°-g) = -CAcosg.
Sostituendo la 5) e la 6) nella 4), si ottiene:

CB = AB cosb + CA cosg

che è identica all’espressione matematica calcolata nella prima dimostrazione.
TEOREMA DI CARNOT (O DEI COSENI)

FIG. 32 FIG. 33
Consideriamo un triangolo ABC come in figura 32 e tracciamo l’altezza CH relativa alla base AB. Scriviamo il teorema di Pitagora relativamente al triangolo rettangolo CHB:
1) CB2 = CH2 + HB2
Consideriamo il triangolo rettangolo CHA, ricaviamo il cateto CH:
2) CH = AC sena.
Il segmento HB è ricavabile nella seguente maniera:
3) HB = AB - AH.
Considerando sempre il triangolo rettangolo CHA, il cateto AH è pari a :
4) AH = AC cosa.
Sostituendo la 4) nella 3) si ottiene:

HB = AB –AC cosa.

Sostituiamo ora la 2) e la 5) nella 1) e otteniamo:
CB2 = AC2 sen2a + (AB - ACcosa)2,
CB2 =AC2 sen2a + AB2 – 2 AB AC cosa + AC2 cos2a.
Mettendo in evidenza AC2, si ottiene:
CB2=AC2 (sen2a + cos2a) + AB2 – 2 AB Acc osa.
Il termine tra parentesi è pari a 1 per cui si ha infine:

CB2 = AC2 + AB2 – 2 AB AC cosa

È questo il teorema di Carnot che così recita:
In un triangolo qualsiasi il quadrato di uno dei lati è pari alla somma dei quadrati degli altri due meno il doppio prodotto tra gli altri due lati per il coseno dell’angolo che essi formano.
Anche in questo caso è necessario dimostrare il teorema quando l’angolo a adiacente al lato AB è ottuso.

In relazione al triangolo rettangolo CHB, il teorema di Pitagora ci dice:
6) CB2 = CH2 + HB2.
CH è ricavabile, considerando il triangolo rettangolo CHA, come:
7) CH = AC sen(180°-a) = AC sena.
HB è pari alla somma dei segmenti HA e AB:
8) HB = HA + AB.
Considerando di nuovo il triangolo rettangolo CHA si ha:
9) HA=ACcos(180°-a)=-ACcosa,
che sostituita nella 8) dà:
10) HB=-ACcosa+AB.
Sostituendo la 7) e la 10) nella 6), si ottiene:
CB2=AC2sen2a+(AB-ACcosa)2,
CB2=AC2sen2a+AB2-2ABACcosa+AC2cos2a,
CB2=AC2(sen2a+cos2a)+AB2-2ABACcosa.

CB2 = AC2 + AB2 – 2 AB AC cosa

che equivale alla dimostrazione prima effettuata.

TEOREMA DELLA CORDA

FIG. 34

Consideriamo una circonferenza di centro O e raggio r e una corda della circonferenza non coincidente con il diametro. Siano i punti A e B gli estremi della corda. Dal punto B tracciamo il diametro BC. Il triangolo ABC è retto in A, per cui la corda AB, che è anche uno dei cateti del triangolo rettangolo, è calcolabile nella seguente maniera: AB = 2r sena, ove 2r è la misura del diametro BC.
Poiché ogni angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco è uguale (angolo BCA=BC1A), possiamo affermare che:
in una circonferenza la misura di una corda è pari alla misura del diametro che moltiplica il seno di uno qualsiasi degli angoli alla circonferenza che insiste sull’arco sotteso alla corda.
Questo teorema vale anche quando il punto sulla circonferenza è scelto sull’arco AB opposto all’arco scelto originariamente (angolo AC2B). Infatti in questo caso si ha: AB=2rsen(180°-a)=2rsena.

FORMULE DI ADDIZIONE, SOTTRAZIONE, MOLTIPLICAZIONE E BISEZIONE DI ANGOLI

COSENO DELLA DIFFERENZA FRA DUE ANGOLI

1) Aº(cosa; sena)
2) Bº(cosb; senb)
3) Cº(cos(a-b); sen(a-b))
4) Dº(1; 0)

FIG. 35

Consideriamo due angoli a e b di cui si conoscono i valori delle funzioni goniometriche (FIG.35). Ci proponiamo di calcolare il valore del coseno della differenza dei due angoli: cos(a-b). Osservando la prima figura, poiché il punto A individua l’arco associato all’angolo a e l punto B l’arco associato all’angolo b, le loro coordinate sono 1) e 2). Osservando la seconda figura, ove è riportato l’angolo a-b, poiché C è il limite dell’arco corrispondente ad a-b e D è il punto d’inizio dello stesso arco, possiamo dire che le coordinate di tali punti sono 3) e 4). Gli archi AB e CD sono uguali in quanto corrispondenti ad angoli uguali, per cui anche le corde AB e CD tese da tali archi sono uguali: AB = CD. Esprimiamo AB e CD come distanza tra due punti:

Ponendo AB = CD , elevando entrambi i membri al quadrato e sviluppando i quadrati si ha :
cos2a-2cosacosb+cos2b+sen2a-2senasenb+sen2b=cos2(a-b)-2cos(a-b)+1+sen2(a-b)
Ma poichè è: sen2a+cos2a=1, sen2b+cos2b=1 , cos2(a-b)+sen2(a-b)=1,
sostituendo si ottiene :
2-2cosacosb-2senasenb=2-2cos(a-b)

cos(a-b) = cosa cosb + sena senb

COSENO DELLA SOMMA TRA DUE ANGOLI

cos(a+b) può scriversi come: cos(a-b) = cos[a-(-b)].
Possiamo quindi scrivere applicando la formula precedente:
cos[a-(-b)] = cosa cos(-b) + sena sen(-b).
Ma poiché è: cos(-b) = cosb e sen(-b) = -senb, sostituendo nella formula precedente si ottiene:

cos(a+b) = cosa cosb - sena senb

SENO DELLA DIFFERENZA FRA DUE ANGOLI

Si abbia un angolo a e un angolo b con a>b. Si voglia calcolare il sen(a-b). Per quanto detto in relazione agli angoli complementari si ha:
sen(a-b) = cos[p/2-(a-b)],
che può anche scriversi come : sen(a-b) = cos[(p/2-a)+b].
Per la formula di addizione prima studiata si può scrivere:
cos[(p/2-a)+b] = cos(p/2-a) cosb - sen(p/2-a) senb,
poichè è: cos(p/2-a)=sena e sen(p/2-a)=cosa, sostituendo si avrà:

sen(a-b) = sena cosb - cosa senb

SENO DELLA SOMMA FRA DUE ANGOLI

Dati due angoli a e b, si calcoli il seno della loro somma. sen(a+b) può essere scritto nella seguente maniera:
sen[a-(-b)] = sena cos(-b) - cosa sen(-b),
ma poiché è : cos(-b) = cosb e sen(-b) = -senb , sostituendo si ha:

sen(a+b) = sena cosb + cosa senb

TANGENTE DELLA DIFFERENZA DI DUE ANGOLI

Partendo dalla relazione fondamentale , tenendo presente le formule precedenti , possiamo scrivere

Dividiamo tutti i termini per cosa cosb:

per a¹p/2+kp e b¹p/2+kp.

TANGENTE DELLA SOMMA DI DUE ANGOLI

Partendo dalla relazione fondamentale , tenendo presente le formule precedenti , possiamo scrivere

Dividiamo tutti i termini per cosacosb:

per a¹p/2+kp e b¹p/2+kp.

COTANGENTE DELLA DIFFERENZA DI DUE ANGOLI

Essendo , si ha :

Dividendo tutti i termini per tana tanb , si ottiene :

Poiché è : , si ha infine :

per a¹kp e b¹kp.

COTANGENTE DELLA SOMMA DI DUE ANGOLI

Essendo , si ha :

Dividendo tutti i termini per tana tanb , si ottiene :

Poiché è : , si ha infine :

per a¹kp e b¹kp.

FORMULE DI DUPLICAZIONE DELL’ANGOLO a

a) SENO 2a
sen2a=sen(a+a)=senacosa+senacosa

sen2a=2senacosa

b) COSENO DI 2a
cos2a=cos(a+a)=cosacosa-senasena

c) TANGENTE DI 2a

d) COTANGENTE DI 2a

FORMULE DI BISEZIONE DELL’ANGOLO a

a) SENO DI a/2
Le formule di bisezione ricavano le funzioni goniometriche della metà di un angolo di cui si conosce il valore del coseno.
Partiamo dalla formula: cos2a=1-2sen2a, ricaviamo sena :
2sen2a=1-cos2a,
Se al posto di a poniamo a/2, al posto di 2a dobbiamo porre a ottenendo infine:

b) COSENO DI a/2
Partiamo dalla formula: cos2a=2cos2a-1, ricaviamo cosa :
2cos2a=1+cos2a ,

Come nel caso precedente poniamo a/2 al posto di a, e al posto di 2a poniamo a otteniamo:

c) TANGENTE DI a/2

d) COTANGENTE DI a/2
Essendo la cotangente inverso della tangente si ha :

FORMULE RAZIONALI PER IL CALCOLO DEL SENO, DEL COSENO, DELLA TANGENTE E DELLA COTANGENTE DI UN ARCO, CONOSCENDO LA TANGENTE DELL’ARCO METÀ

1. CALCOLO DEL SENO DI a
Poichè a è pari a 2a/2, applicando le formule di duplicazione possiamo scrivere:
sena=sen(2a/2)=2sena/2cosa/2.
Dividiamo il secondo membro per la prima identità fondamentale:
sena=2 sena/2 cosa/2
sen2a/2+cos2a/2

Dividendo numeratore e denominatore per cos2a/2 (con cos2a/2¹0), si ottiene:

2 sena/2 cosa/2
sena= cos2a/2 .
sen2a/2+cos2a/2
cos2a/2 cos2a/2

sena= 2tga/2
tg2a/2+1

da cui si ottiene infine:

2. CALCOLO DEL COSENO DI a
Poichè a è pari a 2a/2, per quanto riguarda il coseno, possiamo scrivere:
cosa=cos(2a/2)=cos2a/2-sen2a/2.
Dividiamo per la prima identità fondamentale:
cosa= cos2a/2 - sen2a/2
sen2a/2+cos2a/2

Dividendo numeratore e denominatore per cos2a/2 (con cos2a/2¹0), si ottiene:

cos2a/2 - sen2a/2
cosa= cos2a/2
sen2a/2+cos2a/2
cos2a/2 cos2a/2

cosa=1-tg2a/2
tg2a/2+1

da cui si ottiene infine:

3. CALCOLO DELLA TANGENTE DI a
2tga/2
tga=sena= tg2a/2+1= 2tga/2 tg2a/2+1
cosa 1-tg2a/2 tg2a/2+1 1-tg2a/2
tg2a/2+1
3. CALCOLO DELLA TANGENTE DI a

tga= 2tga/2
1-tg2a/2

4. CALCOLO DELLA COTANGENTE DI a
Sapendo che la cotangente è l’inverso della tangente: cotg= 1 , si ottiene:
tg

Trigonometria formule e formulario