Poker probabilità e combinazioni

Questo sito utilizza cookie, anche di terze parti. Se vuoi saperne di più leggi la nostra Cookie Policy. Scorrendo questa pagina o cliccando qualunque suo elemento acconsenti all’uso dei cookie.I testi seguenti sono di proprietà dei rispettivi autori che ringraziamo per l'opportunità che ci danno di far conoscere gratuitamente a studenti , docenti e agli utenti del web i loro testi per sole finalità illustrative didattiche e scientifiche.

Le informazioni di medicina e salute contenute nel sito sono di natura generale ed a scopo puramente divulgativo e per questo motivo non possono sostituire in alcun caso il consiglio di un medico (ovvero un soggetto abilitato legalmente alla professione).

Poker probabilità e combinazioni

Combinazioni e probabilità del poker

In queste pagine, tratte da Wikipedia, sono illustrate le combinazioni del gioco del poker con un mazzo di 52 carte (13 carte di ogni seme). Per esercizio, verificare i risultati riportati.

Utilizzando 52 carte vi sono in totale 311.875.200 disposizioni^[1] di 5 carte e quindi le combinazioni sono

Scala reale (royal flush)

La scala reale, in inglese "royal flush" (letteralmente "colore reale"), è il punto più forte. Tuttavia sebbene la scala reale media batta la scala reale minima, la scala reale minima batte la scala reale massima. Questo sta a significare che nel gioco del poker non esiste una combinazione di carte vincente in assoluto.

Esso è formato dalle 5 carte più alte di un solo seme. Sono dunque possibili solo 4 tipi di scale reali, una per ognuno dei quattro semi. Nelle specialità che prevedono l'Asso solo come carta di valore minimo, naturalmente, non possono esserci scale reali.

Questa è una scala reale di cuori.

Le quattro scale reali non sono equivalenti fra loro. Si segue la regola cuori quadri fiori picche (regoletta mnemonica: Come Quando Fuori Piove). Anche qui segue il ciclo: cioè la scala reale a cuori batte quella a picche.

Scala a colore (straight flush)

La scala a colore (letterale traduzione dell'inglese "straight flush") è composta da 5 carte in sequenza dello stesso seme. In molte specialità del poker l'asso può aprire la scala (precedendo il 2 o la diversa carta più bassa del mazzetto) oppure chiuderla (seguendo il Re): quando l'asso apre la scala essa è detta scala minima, quando la chiude essa è detta scala massima.

La scala reale può essere vista come scala a colore con l'Asso come carta alta.

Questa è una scala a colore nella quale l'asso è la carta più alta. In questo caso il 5 apre e quindi assume il valore minimo. In caso di più scale a colore vince quella con la carta più alta; in caso di ulteriore parità si segue la regola dei semi come sopra.

Vi sono 40 possibili scale a colore (comprese le 4 scale reali).

Poker (four of a kind)

Il poker, in inglese "four of kind" (letteralmente quaterna), è un punto formato da 4 carte di stesso valore più una carta spaiata.

Questo è un poker di Re.

In caso di più poker vince quello di valore maggiore; in caso di parità^[2] o si divide o si va al confronto del kicker e nel caso di ulteriore parità al suo colore.
Vi sono 624 poker possibili.

Full (full house)

Un full è composto da tre carte di stesso valore (tris) più due carte di un altro valore (coppia).

Questo è un full di Regine su Due.

In caso di più full^[2] vince nell'ordine: quello con la terna più alta, in caso di ulteriore parità quello con la doppia più alta ed eventualmente il miglior colore di una delle carte, prima della terna e poi della coppia, riconducibile ad un solo giocatore.

Vi sono 3.744 full possibili.

Colore (flush)

Un colore è composto da cinque carte di uno stesso seme. È diverso dalla scala colore perché si può comporre anche con carte di diverso valore non consecutive.

Questo è un colore composto di sole picche.

In caso di più flush, vince il giocatore ad avere la carta più alta nella sua mano. In caso di parità di tutte le 5 carte vincerà il seme della carta più alta, seguento il detto: "come (cuori) quando (quadri) fuori ( fiori ) piove ( picche)".

Scala (straight)

Una scala è formata da 5 carte tutte in sequenza e solo da 5 carte e non tutte dello stesso seme. Se c'è fosse stato più di 5 carte, il numero più basso viene contato come se fosse il kicker. Valgono le stesse considerazioni riguardo all'asso già prese analizzando la scala a colore.

Questa è una scala asso alta.

In caso di più scale vince quella minima, se ambo le scale hanno gli stessi valori è pareggio. Quindi o si divide o si va al confronto del seme della carta più alta ed eventualmente delle successive.

Vi sono 10.240 possibili scale, delle quali 40 sono scale a colore e 4 reali.

Tris (three of a kind)

Un tris è composto da 3 carte di stesso valore e da due carte spaiate. Nelle specialità a carte comunitarie vengono distinti due tipi di tris: il "set" e il "trip". Il primo, a differenza della seconda, viene legato usando una sola carta comunitaria.

Questo è un tris di 5.

In caso di più tris vince quello che presenta la terna con carte di valor maggiore. Se le terne fossero equivalenti^[2] o si divide o si va al confronto dei kicker e nel caso di ulteriore parità al colore della carta più alta.

Vi sono 54.912 possibili combinazioni di tre carte di stesso valore che non fanno anche un full; la probabilità di ricevere un tris in una mano da 5 carte è del

Doppia coppia (two pairs)

Una doppia coppia è composta da due carte di un valore, da altre due carte di un altro valore e da una carta spaiata.

Questa è una doppia coppia di 7 e 4. Solitamente quando la si dichiara si dice "doppia al 7".

In caso di più doppie coppie vince quella con la coppia più alta. Se hanno la coppia di maggior valore uguale, vince il punto con la seconda coppia più alta. Se ancora non bastasse o si divide o si va al confronto del kicker e nel caso di ulteriore parità al colore in ordine della coppia più alta, di quella più bassa e infine del kicker.

Vi sono 123.552 possibili doppie coppie, che non sono anche full; la probabilità di ricevere una doppia coppia in una mano da 5 carte è del

Coppia (one pair)

Una coppia è formata da due carte di stesso valore e da altre 3 carte di diverso valore.

Questa è una coppia di 10.

In caso di più coppie vince quella di maggior valore. Se sono uguali le coppie, si divide.

Si può decidere inoltre di confrontare i kicker e nel caso di ulteriore parità il colore della carta più alta.

Vi sono 1.098.240 possibili coppie; la probabilità di ricerverne una in una mano da 5 carte è del

Carta isolata o carta alta (high card, no pair)

Questo punto, in inglese high card (carta alta) o no pair (nessuna coppia), ha diversi nomi. Comunemente corrisponde all'espressione "avere nulla", o "avere niente", "nessun punto" ecc.

Esso è composto da 5 carte di seme diverso tutte di valore diverso e non in sequenza.

Questo Re vale come carta isolata.

In caso di più mani di "carte isolate" vince quella con la carta più alta. Se questa è uguale o si divide o si va al confronto dei kicker e nel caso di ulteriore parità al colore della carta più alta.

Tra le 2.598.960 possibili mani, 1.302.540 non sono coppie o scale o colori. In mani da 5 carte, la probabilità è del

Fonte: http://danieleippolito.altervista.org/giochi/poker.doc

Autore del testo: Wikipedia

Parola chiave google : Poker probabilità e combinazioni tipo file : doc

CALCOLO COMBINATORIO

Il calcolo combinatorio è il termine che denota tradizionalmente la branca della matematica che studia i modi in cui si possono raggruppare e/o ordinare secondo date regole gli elementi di un insieme finito di oggetti. Il calcolo combinatorio si interessa soprattutto di contare tali modi, e solitamente risponde a domande quali : "Quanti sono...", "In quanti modi...", "Quante possibili combinazioni..." eccetera.

In molte applicazioni sorge il problema di sapere in quanti modi possibili si può presentare un certo fenomeno. Il problema, all’apparenza, sembra banale: ciò è vero se il numero degli elementi presi in considerazione è piccolo, ma quando questo numero è elevato si presentano delle difficoltà nel formare tutti i raggruppamenti possibili . Dato un insieme S di n - oggetti si vogliono contare i raggruppamenti che si possono ottenere con k oggetti tratti da questo insieme. Prima di affrontare un problema di calcolo combinatorio bisogna capire due fatti importanti:

Se l'ordinamento è importante, ovvero se due raggruppamenti sono gli stessi a meno di un riordinamento ({x,y,z} è uguale a {z,x,y}?)
Se si possono avere più ripetizioni di uno stesso oggetto, ovvero se uno stesso oggetto dell'insieme può o meno essere riusato più volte all'interno di una stessa configurazione.

Permutazioni semplici (senza ripetizioni)

Le permutazioni semplici altro non sono che le disposizioni di n oggetti presi ad n ad n. ossia, dato un insieme di n oggetti, si dicono permutazioni di tali n oggetti tutti i gruppi che si possono formare con gli n oggetti dati prendendoli tutti. Se ne deduce allora che le

permutazioni semplici differiscono soltanto per l’ordine con cui sono disposti gli n oggetti distinti contenuti nei vari raggruppamenti.

Per contare quante siano le permutazioni di un insieme con n- oggetti, si osservi che il primo elemento della configurazione può essere scelto in n modi diversi, il secondo in

(n-1), il terzo in (n-2) e così via sino all'ultimo che potrà essere preso in un solo modo essendo l'ultimo rimasto. Dunque, indicando con P_n il numero delle possibili permutazioni di un insieme di n elementi, si ottiene che esse sono esattamente n! (n fattoriale):

1) Ad esempio le permutazioni degli elementi dell'insieme A ={a,b,c} sono P₃ = 3! = 6: abc, bac ,bca, cab, cba, acb.

Per completare meglio la definizione di fattoriale fissiamo anche i valori seguenti:

1! = 1 e 0! = 1.

cioè: il numero delle permutazioni di n elementi distinti è uguale al

prodotto dei primi n numeri naturali (escluso lo zero).

Ricorrendo alla definizione di fattoriale, possiamo anche dire che: il

numero delle permutazioni semplici di n elementi distinti è dato dal

fattoriale del numero n, ossia:

Pn = n!

2) Gli anagrammi altro non sono che le permutazioni che si ottengono da

una parola variando solo il posto delle lettere.

Ad esempio, con la parola ROMA (composta da 4 lettere) si ottengono

P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24

anagrammi.

Permutazioni con ripetizioni

Precedentemente abbiamo supposto che gli elementi fossero tutti distinti. Supponiamo ora che di questi n-elementi ve ne siano a uguali tra loro (a < n ). Ci proponiamo allora di

trovare il numero delle loro permutazioni che indicheremo con Pn ^a

Iniziamo con un esempio. Consideriamo la parola ORO che contiene due

lettere uguali. Abbiamo visto che il numero di anagrammi di una parola

(con lettere tutte diverse) di tre lettere è dato da:

P3 = 3! = 3.2.1 = 6

Nel caso della parola ORO i possibili anagrammi distinti sono soltanto:

ORO ROO OOR

cioè sono tre e non sei come ci si sarebbe aspettato, cioè sono in numero

minore di Pn. In generale, volendo calcolare le permutazioni di n oggetti

in cui ve ne siano a identici fra loro, si ottiene un numero di permutazioni dato da: P_{n /}a!

Nel nostro caso quindi è: P_3/2= 3!/2! = 6/2 = 3

Se poi, data una parola di n lettere nella quale una lettera è ripetuta a-volte, un’altra b-volte ecc. o, più in generale, dato un insieme di n-elementi dei quali a sono uguali fra loro, b uguali fra loro, ecc., il numero delle permutazioni distinte con elementi ripetuti che si possono ottenere è dato da:

P^a^,^b =

Ad esempio, se prendiamo in considerazione la parola MATEMATICA

Disposizioni semplici (senza ripetizioni)

Consideriamo un insieme A formato da n- elementi distinti ed un numero k < n. Si chiamano disposizioni semplici degli n elementi presi a k a k ( o disposizioni di classe k) un gruppo ordinato formato da k -elementi dell’insieme A in modo che valgano le seguenti

proprietà:

1. in ciascun raggruppamento figurano k oggetti senza ripetizione;

2. due di tali disposizioni si ritengono diverse quando differiscono per almeno un elemento oppure per l’ordine con cui gli stessi elementi si presentano.

Il numero delle disposizioni semplici di n elementi distinti, della classe k, si indica con il simbolo Dn, k il cui valore è dato dal teorema seguente:

Il numero delle disposizioni semplici di n elementi distinti della classek, è uguale al prodotto di k numeri interi consecutivi decrescenti dei quali il primo è n.

Si ha cioè:

Dn, k = n (n -1) (n -2) …… (n - k +1)

e si dimostra che:

Dn, k = ..................

( n – k ) !

1) Se vogliamo calcolare D7,3 nei due modi descritti, si ha:

D7,3 = 7.6.5 = 210

7! 7 6 5 4 3 2 1

D7,3 = ………... = ……………………… = 210.

(7 3)! 4 3 2 1

2) Ad esempio le disposizioni semplici a 2 a 2 degli elementi dell'insieme A = {1,2,3,4,5} sono D5, 2 = 5!/(5-2)! = 5!/3! = 120/6 = 20 ® 12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54.

Si osserva che le permutazioni sono casi particolari delle disposizioni semplici: le permutazioni di un insieme di n oggetti sono le disposizioni semplici di tali oggetti di classe n. In effetti per il loro numero:

Disposizioni con ripetizioni

Consideriamo un insieme costituito n - elementi distinti ed un numero naturale k senza alcuna limitazione superiore. Il problema che ci poniamo è quello di costruire tutti i possibili raggruppamenti distinti prendendo k oggetti in modo che:

a) in ciascun raggruppamento figurano k oggetti ed uno stesso oggetto può figurare, ripetuto, fino ad un massimo di k volte;

b) due qualsiasi raggruppamenti sono distinti se uno di essi contiene almeno un oggetto che non figura nell’altro, oppure gli oggetti sono diversamente ordinati, oppure gli oggetti che figurano in uno figurano anche nell’altro ma sono ripetuti un numero diverso di volte.

Il numero delle disposizioni con ripetizione si indica con il simbolo D'n, k e si dimostra che tale numero è dato da: D'n,k= n^k

1) Ad esempio, determiniamo quanti numeri diversi di tre cifre si possono formare con le nove cifre significative. È evidente che si tratta di disposizioni con ripetizione di 9 elementi della classe 3, per cui è: D'9,3 = 9 ³= 729.

Cerchiamo il numero delle possibili sequenze di k oggetti estratti dagli elementi di un insieme di n oggetti, ognuno dei quali può essere preso più volte. Si hanno n possibilità per scegliere il primo componente, n per il secondo, altrettante per il terzo e così via, sino al k-esimo che completa la configurazione. Il numero cercato è pertanto:

2) Ad esempio le disposizioni con ripetizione di classe 2 degli elementi di A= {1,2,3,4,5} sono 5² = 25 ® 11, 12, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 41, 42, 43, 44, 45, 51, 52, 53, 54, 55.

Si osserva che può anche essere k > n

Combinazioni semplici (senza ripetizioni)

Dato un insieme di n elementi, si dicono combinazioni semplici degli n-elementi presi a k a k (o di classe k) k <= n tutti i gruppi di k elementi, scelti fra gli n dell’insieme dato, in modo che ciascun gruppo differisca dai restanti almeno per uno degli elementi in esso contenuti (senza considerare, quindi, l’ordine degli elementi).

Da notare la differenza fra disposizioni e combinazioni (semplici): mentre nelle disposizioni si tiene conto dell’ordine, nelle combinazioni semplici, invece, si considerano distinti solo quando due i raggruppamenti differiscono almeno per un elemento. Per determinare il numero delle combinazioni semplici di n elementi di classe k, e che indichiamo con il

simbolo Cn, k, ci serviamo della formula:

Da questa formula si ricava che il numero delle combinazioni di n oggetti di classe k è dato dal quoziente di k fattori interi, consecutivi,decrescenti a partire da n ed il prodotto di k fattori interi, consecutivi,decrescenti, a partire da k.

1) Ad esempio le combinazioni semplici di classe 4 degli elementi diA = {1,2,3,4,5,6} sono 6!/(4!2!) = 15 ® 1234, 1235, 1236, 1245, 1246, 1256, 1345, 1346, 1356, 1456, 2345, 2346, 2356, 2456, 3456.

Combinazioni con ripetizioni

si possono prendere in considerazione anche le combinazioni con ripetizione. Consideriamo un insieme formato da n elementi e fissiamo un numero k (senza alcuna limitazione superiore): ci proponiamo di costruire i possibili raggruppamenti distinti prendendo k elementi dell’insieme dato in modo che:

a) in ciascun raggruppamento figurino k elementi dell’insieme dato potendovi uno stesso elemento figurare più volte fino ad un massimo di k volte;

b) due raggruppamenti sono distinti se uno di essi contiene almeno un elemento che non figura nell’altro, oppure gli elementi che figurano in uno figurano anche nell’altro ma sono ripetuti un numero diverso di volte.

Il numero di combinazioni con ripetizione di n oggetti di classe k è uguale a quello delle combinazioni senza ripetizione di n+k-1 oggetti di classe k ed è quindi uguale a:

Ad esempio, vi sono modi di distribuire a 2 bambini distinguibili 4 caramelle indistinguibili, contando anche i casi in cui uno dei bambini non riceve nessuna caramella: 0-4, 1-3, 2-2, 3-1, 4-0. Oppure, le combinazioni con ripetizioni per n oggetti di classe k rappresentano il numero delle derivate parziali di ordine k calcolabili per una funzione a n variabili.

1) Consideriamo, ad esempio, l’insieme:A = a, b, c

Le combinazioni di classe 2, con ripetizione, sono: (a, a) (a, b) (a, c) (b, b) (b, c) (c, c)

(sono sei).

Le combinazioni di classe 3,con ripetizione,sono:(a,a,a ) (a,a, b) (a,a, c) (a, b, b) (a, b, c) (a, c, c) (b, b, b) (b, b, c) (b, c, c) (a, c, c) (sono 10).

Fonte: http://www.bassilo.it/documents/FIOCCHI%20MAURITA/calcolo%20combinatorio.doc

Autore del testo: Autore non indicato nel testo di origine

Parola chiave google : Poker probabilità e combinazioni tipo file : doc

PROBABILITA’

Spazio campione è un qualsiasi insieme W di elementi w detti punti campione.

Evento casuale è un insieme E di punti campione ed è un sottoinsieme di W.

Se E è formato da un punto è detto semplice, se è formato da più punti è detto composto.

Dati due eventi E₁ ed E₂:

l’evento intersezione E₁ÇE₂ si verifica se e solo se si verificano congiuntamente E₁
ed E₂,

l’evento unione E₁ÈE₂ si verifica se e solo se si verificano almeno uno dei due eventi

E₁ ed E₂.

Un evento E è detto totale se si può realizzare in diversi modi escludentisi a vicenda ed ha per probabilità la somma delle probabilità delle diverse alternative.

distribuzione di probabilità su W è una funzione P definita per tutti gli eventi di W:

-a) ad ogni evento è associato un numero reale non negativo P(E) detto probabilità dell’evento E

-b) se si hanno 2 eventi E₁ ed E₂ di W mutuamente esclusivi, tali che P(E₁ÇE₂) =0, si ha:

P(E₁ÈE₂) = P(E₁)+P(E₁)

-c) la probabilità che si verifichi W è pari a uno: P(W)=1.

Si ha:

P(E) = w_E/ w

essendo w_Eil numero di volte che si verifica l’evento E ed w il numero totale di punti campione

Due eventi A e B si dicono indipendenti se la probabilità di intersezione di A e B è uguale al prodotto delle probabilità di A e di B:

I diversi punti campione considerati non sono tra loro correlati, cioè il risultato del primo evento non condiziona la probabilità del secondo.

Per esempio si consideri un dado a 6 facce senza difetti lanciato 2 volte: la probabilità che la prima volta esca 4 e la seconda esca 6 corrisponde ad (1/6)(1/6)=1/36.

Principio delle probabilità totali: la probabilità che si verifichi almeno uno di più eventi escludentisi a vicenda o mutuamente incompatibili è pari alla somma delle probabilità dei singoli eventi.

La probabilità dell’evento unione di n eventi mutuamente esclusivi è:

Per esempio la probabilità che esca 1 oppure 3 oppure 6 in un lancio di un dado senza difetti è

(1/6 + 1/6 + 1/6) = 0,50.

Principio delle probabilità composte o della moltiplicazione La probabilità che si verifichino più eventi mutuamente compatibili è pari al prodotto delle probabilità dei singoli eventi:

che è valida se gli eventi sono mutuamente indipendenti; se gli eventi sono dipendenti, la probabilità dell’evento i-esimo è calcolata tenendo conto che tutti gli eventi precedenti si sono verificati.

Eventi condizionati o subordinati si hanno nel caso non sia verificata l’indipendenza statistica fra due eventi A e B. Se l’evento A non è indipendente da B, si denota con il simbolo “A|B” e si legge “A condizionato a B”. La probabilità dell’evento A condizionata all’evento B è (formula di Bayes):

Per esempio nel lancio di un dado senza difetti a 6 facce, l’evento A sia l’uscita della faccia col 4 e l’evento B sia l’uscita di una faccia col numero pari.

La probabilità di A è 1/6 e la probabilità di B è 1/2. La probabilità di A condizionata a B, è maggiore e risulta P(A|B) =1/3 poiché si ha P(B)=1/2 e P(AB)=1/6.

Altro esempio: www.shroud.com/fanti2it.pdf

Fonte: http://www.dim.unipd.it/fanti/metrologia/probab.doc

Autore del testo: Autore non indicato nel testo di origine

Parola chiave google : Poker probabilità e combinazioni tipo file : doc

Se vuoi trovare velocemente le pagine inerenti un determinato argomento come ad esempio poker utilizza il seguente motore di ricerca :

Poker probabilità e combinazioni