Carl Friedrich Gauss

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Carl Friedrich Gauss

nato il 30 aprile 1777 a Braunschweig (Germania)
morto il 23 febbraio 1855 a Göttingen, Hannover (Germania)

Infanzia e adolescenza

Gauss era di origini estremamente modeste: il padre passava da un mestiere all’altro, a seconda di dove gli si presentavano le occasioni di guadagno: fu muratore, giardiniere, macellaio. La madre, prima del matrimonio, aveva lavorato come domestica, ed era praticamente analfabeta. Non si può proprio dire che il geniale talento del piccolo Carl Friedrich potesse trovare in casa stimoli adeguati: ciononostante egli si fece subito notare, fin dalla scuola elementare, per la sua straordinaria predisposizione alla matematica. Il suo maestro Büttner fu coprotagonista di un episodio passato alla storia: un giorno assegnò ai suoi alunni il compito di sommare i numeri da 1 a 100. Dopo pochi minuti il ragazzino gli consegnò il risultato esatto: 5050. Egli aveva avuto l’idea di scrivere i numeri su due righe:

0 1 2 ........ 98 99 100
100 99 98 2 1 0

La somma di ciascuna colonna è 100, le colonne sono 101. Dunque la somma cercata si può calcolare come

100 ´ 101
2

che è, appunto, uguale a 5050. Questo non è che un caso particolare di una formula per i numeri triangolari, di cui è possibile dare una dimostrazione basata sul principio d’induzione.

Le sue straordinarie doti furono notate da persone di alto rango, fra cui il Duca Ferdinando di Braunschweig. Grazie all’appoggio finanziario di quest’ultimo, Gauss poté proseguire gli studi in prestigiosi collegi della città, e quindi, nel 1795, iscriversi all’Università di Göttingen. Allora Gauss non aveva ancora deciso se dedicarsi alla matematica oppure alla filologia. La definitiva scelta a favore della prima avvenne il 30 marzo 1796, quando egli fece una storica scoperta: egli provò per primo la possibilità di costruire, con riga e compasso, un poligono regolare con 17 lati (ettadecagono). Fu questa la prima annotazione di Gauss sul suo diario scientifico: ad essa ne seguirono ben 146, concentrate in sole diciannove pagine. L’ultima reca la data del 9 luglio 1814. Tra i primi risultati riportati ricordiamo quello del 10 luglio 1796: ogni numero intero è somma di non più di tre numeri triangolari. Più tardi Gauss definì la matematica come la regina delle scienze, e l’aritmetica (o teoria dei numeri) come la regina della matematica.

lim (p(n)log n)/n = 1
n®¥

Nonostante la sua precocità, la scoperta sui poligoni regolari non è il primo risultato trovato da Gauss: egli esordì infatti all’età di soli 15 anni, intuendo una formula per la distribuzione di numeri primi, che poté essere provata solo nel 1896, da Hadamard e de la Vallée Poussin: per ogni numero intero positivo n sia p(n) il numero di primi minori o uguali a n, allora

Nel 1949 Paul Erdős e Atle Selberg fornirono la prima dimostrazione elementare.

Da ragazzino Gauss si occupò anche dei fondamenti della geometria euclidea, giungendo alla conclusione che l’assioma delle parallele era probabilmente indipendente dagli altri. Inoltre sviluppò i fondamenti del metodo dei minimi quadrati, un criterio per correggere gli errori di misurazione in fisica: con ciò Gauss anticipò di alcuni anni un analogo risultato di Legendre.

La casa natale di Gauss

Gli anni della maturità

1 La teoria dei numeri

Nel 1798 Gauss conseguì il dottorato presso l’Università di Helmstedt, Germania. La tesi, scritta in latino, e pubblicata un anno dopo, era intitolata Demonstratio nova Theorematis omnem Functionem algebricam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi Gradus resolvi posse (Nuova dimostrazione del teorema che ogni funzione algebrica razionale intera a una variabile può essere risolta in fattori lineari di primo o secondo grado). Il teorema in questione è oggi noto come teorema fondamentale dell’algebra, e stabilisce che ogni polinomio ha almeno una radice, a patto di estendere il campo dei numeri reali e costruire il campo dei numeri complessi. È dovuta sempre a Gauss la più efficace interpretazione geometrica dei numeri complessi (piano di Gauss).
Nel 1801 Gauss pubblicò la sua opera principale, le Disquisitiones arithmeticae, un trattato di teoria dei numeri, che volle dedicare al suo mecenate, il Duca di Braunschweig. Il testo fu redatto in latino, e ne seguì una versione in francese, edita a Parigi nel 1807.
La prima parte del volume riguarda le congruenze di numeri interi, e contiene la legge di reciprocità dei residui quadratici, che già Legendre aveva pubblicato alcuni anni prima: Gauss la chiama theorema aureum, e la considera la gemma dell’aritmetica. Gauss presenta, inoltre, una dimostrazione rigorosa del teorema fondamentale dell’aritmetica, già noto ad Euclide: ogni numero intero maggiore di 1 si scompone in uno ed un solo modo come prodotto di numeri primi positivi. Egli estende questo risultato all’insieme degli interi gaussiani.
Nell’opera compare anche la prima importante scoperta del giovane Gauss: la costruibilità del poligono regolare con 17 lati. Egli sviluppa questo argomento fino a trovare un criter io generale, che permette di stabilire quando, dato un numero intero n³3, è possibile costruire, con riga e compasso, un poligono regolare avente n lati.
Quest’opera fu importante oggetto di studio e fonte di ispirazione per molti matematici, tra cui il giovane Dirichlet, che sviluppò la sua teoria dei numeri proprio a partire dal lavoro di Gauss, ed Abel, che approfondì la teoria della risoluzione delle equazioni algebriche.

2 L’astronomia

Durante la prima notte del secolo XIX, il 1° gennaio 1801, l’astronomo italiano G. Piazzi dell’osservatorio di Palermo scoprì il primo asteroide della storia, cui venne dato il nome di “Cerere”. Ma dopo poche settimane il piccolo corpo celeste, visibile solo al telescopio, fu improvvisamente perso di vista. Una sera gli astronomi non lo videro più ricomparire nel punto del cielo in cui, secondo i loro calcoli, avrebbe dovuto trovarsi. Essi avevano creduto di poter ricostruire la sua traiettoria sulla base delle osservazioni fino ad allora compiute sui suoi spostamenti nel cielo. Ma i loro metodi prevedevano un grado di approssimazione insufficiente a determinare l’orbita sulla base di pochi dati. Gauss seppe minimizzare l’errore di calcolo grazie alla tecnica da lui inventata, detta dei minimi quadrati. E Cerere fu ritrovata, esattamente dove aveva previsto Gauss, in un punto distante ben 14 diametri lunari dalla posizione in cui gli astronomi avevano invano aspettato di vederla.
Un secondo asteroide, battezzato “Pallade”, fu scoperto il 28 marzo 1802 dal medico H.W.M. Olbers, nel suo osservatorio privato di Brema. Questo nuovo pianetino creò non pochi problemi a Gauss, che impiegò diversi anni per perfezionare il suo metodo di calcolo, e svelare tutti i misteri della sua traiettoria.
I successi ottenuti da Gauss in campo astronomico gli valsero, nel 1807, la nomina a direttore dell’Osservatorio di Göttingen, col privilegio di tenere corsi di matematica all’Università. I principali risultati delle sue ricerche in astronomia confluirono nell’opera Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium (Teoria del movimento dei corpi celesti intorno al sole seguendo delle sezioni coniche), apparsa nel 1809.

3 L’analisi
Avendo completato i suoi studi sui numeri complessi e la loro rappresentazione geometrica, Gauss pensò di estendere al campo complesso la teoria delle funzioni di una variabile, che Lagrange aveva sviluppato per il campo reale. Gauss fu dunque il vero inziatore dell’analisi complessa. Nel 1811 confidò al suo amico Bessel un importantissimo risultato, che però rimase segreto: si trattava di un teorema, che Cauchy scoprì e pubblicò solo anni dopo, ignaro di essere stato preceduto. Questo teorema è, in effetti, noto come il teorema di Cauchy, e riguarda il calcolo integrale. A quest’ultimo Gauss dedicò anche il trattato Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi (Nuovi metodi per determinare i valori degli integrali per approssimazione).
Gauss si occupò anche della convergenza delle serie numeriche (Disquisitiones generales circa seriem infinitam).

La distribuzione gaussiana (con il suo famoso grafico a campana) riveste un ruolo fondamentale nella teoria della probabilità: essa permette uno studio analitico dei processi aleatori che rispettano la legge dei grandi numeri di Jakob Bernoulli.

4 La geometria
Nel 1816 Gauss venne incaricato dal governo del Regno di Hannover di compiere misurazioni del territorio. In questo periodo egli compì notevoli progressi in geodesia, la disciplina che studia la geometria delle superficie curve (Disquisitiones circa superficies curvas, 1828). Fu lui ad introdurre quella grandezza oggi nota come curvatura di Gauss.
E fu sempre lui ad ideare le cosiddette applicazioni conformi, ossia trasformazioni tra superficie che conservano particolari proprietà locali (“le superficie sono simili nelle loro parti più piccole”). Ma a Gauss geometra si deve anche un’invenzione di carattere pratico: l’eliotropo, un nuovo strumento di misura. A questa si aggiungono studi orientati alle applicazioni in cartografia.
Negli stessi anni in cui si occupava degli aspetti pratici della geometria, Gauss si convinceva sempre più che la geometria euclidea non era la sola geometria possibile. Nel 1817 egli era ormai sicuro che l’assioma delle parallele era indipendente dagli altri postulati euclidei. Comunicò le sue idee ad alcuni intimi amici, tra cui Wolfgang Bolyai, padre di János Bolyai. Questi vengono ricordati insieme a Gauss ed a Lobachevsky come fondatori della geometria non euclidea.

5 La fisica
Nel 1831 iniziò la collaborazione fra Gauss ed il giovane fisico Wilhelm Weber. Insieme i due scienziati si occuparono di una branca della fisica che allora stava appena vedendo la luce: l’elettromagnetismo. Solo da pochi anni gli studiosi avevano cominciato a lavorare intorno all’ipotesi che l’elettricità ed il magnetismo fossero fenomeni strettamente correlati.
Anche quest’attività ebbe un significativo risvolto pratico: Gauss e Weber realizzarono il primo telegrafo elettromagnetico (1833), per collegare l’istituto di fisica con l’osservatorio. Gauss si rese conto della storica importanza dell’evento, dicendo che ormai la creazione di una rete mondiale di comunicazioni non era che un problema tecnico ed economico. Sul fronte della teoria, Gauss e Weber approfondirono lo studio di quelle forze, come quella gravitazionale (vedi la legg e di Newton) e quelle elettromagnetiche, la cui intensità in un dato punto è inversamente proporzionale al quadrato della distanza dall’oggetto che la genera (teoria del potenziale).
Spetta infine a Gauss e Weber il merito di aver determinato con precisione la posizione dei poli magnetici terrestri: i dati vennero loro forniti da numerosi centri di rilevamento sparsi in tutto il mondo, ai quali aveva dato vita il grande esploratore tedesco Alexander von Humboldt, al ritorno da una spedizione in Sud America. L’esattezza del calcolo del polo sud magnetico venne confermata alcuni anni più tardi da una nave americana giunta nei pressi dell’Antartide.
Gauss rivolse la sua attenzione anche verso altri settori della fisica, come la meccanica e l’ottica.
La città di Göttingen ha voluto dedicare ai due scienziati un monumento, che li ritrae insieme.
Ed in Antartide sorge un m o nte, scoperto agli inizi del Novecento, che porta il nome di Gauss.

Curiosità

Fonte: http://www.dm.uniba.it/ipertesto/gauss/gauss.doc

Autore del testo: non indicato nel documento di origine

Carl Friedrich Gauss (Braunschweig, 30 aprile 1777 - Gottinga, 23 febbraio 1855)	VARIABILE CASUALE NORMALE
Jakob Bernoulli (noto anche come Jacques Bernoulli) Basilea, 27 dicembre 1654 – Basilea, 16 agosto 1705	La sua opera principale è Ars Conjectandi del 1713, un lavoro fondamentale della teoria delle probabilità. I concetti campionamento bernoulliano, teorema di Bernoulli, variabile casuale bernoulliana e numeri di Bernoulli sono legati ai suoi lavori e nominati in suo onore. Inoltre il primo teorema del limite centrale, ovvero la legge dei grandi numeri, venne formulata da Jakob
Siméon-Denis Poisson (Pithiviers, 21 giugno 1781 – Parigi, 25 aprile 1840) è stato un matematico, fisico, astronomo e statistico francese.	Ha anche contribuito allo sviluppo della statistica con la distribuzione di Poisson introdotta come distribuzione limite della distribuzione di Pascal ( P(x)=p(1-p)x ) e della distribuzione binomiale.
Karl Pearson (Londra, 27 marzo 1857 - Londra, 27 aprile 1936) fu un matematico e statistico che con i suoi lavori influenzò notevolmente la teoria statistica. È padre di Egon Pearson, anch'egli statistico di fama.	CHI QUADRATO
William Sealy Gosset (Canterbury, 13 giugno 1876 - Londra, 16 ottobre 1937) è meglio noto a chi ha studiato statistica come lo Student del t di Student.	VARIABILE CASUALE T DI STUDENT
Ronald Aylmer Fisher è nato il 17 febbraio 1890 a East Finchley (Londra) ed è morto il 29 luglio 1962 ad Adelaide (Australia)	GRADI DI LIBERTA’ DI UNA VARIABILE ALEATORIA INFERENZA STATISTICA (STIMA) CLASSICA O FREQUENTISTICA Ronald Fisher introduce la regola che gli esperimenti devono essere programmati (disegnati) prima di essere effettuati, affinché i test statistici possano avere una loro validità. In questo ambito introdusse i concetti di ipotesi nulla (H0) e ipotesi sperimentale (H1).
VARI AUTORI Seconda Guerra mondiale	La ricerca operativa (nota anche come teoria delle decisioni, scienza della gestione o, in inglese, Operational Research e indicata con le sigle RO o OR) La nascita della Ricerca Operativa è dovuta ad esigenze di tipo militare, durante la seconda guerra mondiale. Si divide in: Ottimizzazione (Programmazione matematica) Simulazione o what-it approach (Teoria dei giochi ecc.)

Cronologia

1700-1799

* 1708: Pierre de Montmort scrive Essai d'analyse sur le jeux de hasard.
* 1713: Jakob Bernoulli formula in Ars conjectandi il primo teorema limite, ovvero la legge dei grandi numeri.
* 1760: un matematico svizzero, Johann Heinrich Lambert, fa uso di grafici di elevata qualità nella sua opera Photometria.
* 1782: August Friedrich Wilhelm Crome, economista tedesco, utilizza nella sua Producten-Karte von Europa quelli che vengono ora chiamati cartogrammi.
* 1786: William Playfair utilizza decine di diagrammi (soprattutto serie storiche, ma anche il primo diagramma a barre) nel suo Commercial and Politica Atlas.

1800-1899

* 1801: William Playfair introduce il diagramma a torta nel suo Statistical Breviary.
* 1824: La variabile casuale di Cauchy viene studiata da Siméon-Denis Poisson vent'anni prima di Augustin Louis Cauchy. Nell'ambito delle critiche alla variabile casuale normale Poisson dimostra che la media aritmetica di n errori indipendenti distribuiti con la funzione di densità in questione non tende verso una Normale.
* 1834: su proposta di Lambert-Adolphe-Jacques Quételet viene fondata la Statistical Society of London.
* 1835: Lambert-Adolphe-Jacques Quételet pubblica uno scritto nel quale, fra le altre cose, c'erano i dati riguardanti la misura del torace di soldati scozzesi e la statura dei militari di leva francesi. Quételet mostrò come tali dati si distribuivano come una variabile casuale normale, ma non andò oltre.
* 1853: su proposta di Lambert-Adolphe-Jacques Quételet si tiene il primo congresso dell'Istituto Internazionale di Statistica (prima della sua fondazione).
* 1879: Luigi Perozzo introduce uno stereogramma rappresentante la piramide tridimensionale della popolazione a partire dei dati dei censimenti svedesi 1750-1875.
* 1885: viene fondato l'Istituto Internazionale di Statistica.

1900-1949

* 1900
o Karl Pearson presenta la variabile casuale chi quadro.
o George Udny Yule pubblica in Philosophical Transactions of the Royal Society of London l'articolo "On the association of attributes in statistics" dove introduce l'indice di associazione per tabelle di contingenza 2x2 detto Q di Yule.
* 1901
o viene fondata Biometrika, rivista britannica, su iniziativa di Karl Pearson, W.F.R.Weldon e Charles Davenport.Tra i suoi finanziatori vi sono Francis Galton, tra i suoi editori lo stesso Karl Pearson.
* 1903
o George Udny Yule descrive il Paradosso di Simpson nell'articolo "Notes on the theory of association of attributes in Statistics", comparso in Biometrika, mezzo secolo prima che e E. H. Simpson lo facesse con l'articolo "The interpretation of interaction in contingency tables" nel Journal of the Royal Statistical Society (1951).
* 1904
o Karl Pearson introduce il termine tabella di contingenza.
o Charles Spearman pone le basi dell'analisi fattoriale, studio che completerà otto anni dopo.
o Charles Spearman propone il coefficiente di correlazione dei ranghi.
* 1908
o William Sealy Gosset presenta la variabile casuale t di Student ed il corrispondente test.
* 1925
o Ronald Fisher pubblica il notevole Statistical methods for research workers che influenzerà generazioni di ricercatori. In tale testo compare l'analisi della varianza.
o Ronald Fisher introduce il concetto di gradi di libertà.
o Durante il congresso dell'Istituto Internazionale di Statistica, dopo polemiche durate anni, una risoluzione adottata distingue tra campionamento casuale e campionamento ragionato.
* 1926
o George Udny Yule affronta in Why Do We Get Some Nonsense Correlations Between Time Series? A Study in Sampling and the Nature of Time Series il problema della correlazione spuria.
* 1933
o Andrey Nikolaevich Kolmogorov pubblica gli assiomi della probabilità in Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
o Andrey Nikolaevich Kolmogorov desrive la statistica |Fn(x) - F0(x)|.
o Harold Hotelling fonda l'analisi delle componenti principali.
o Jerzy Neyman e Egon Pearson pubblicano On the Problem of the Most Efficient Tests of Statistical Hypotheses dove viene descritto lapproccio detto appunto "Neyman-Pearson" sviluppato fin dal 1926.
o Durante il congresso dell'Istituto Internazionale di Statistica, su iniziativa di K.Wikler, viene istituita una commissione per la standardizzazione delle rappresentazioni grafiche in statistica.
* 1935
o Ronald Fisher introduce in The Design of Experiments la regola che gli esperimenti devono essere programmati (disegnati) prima di essere effettuati, affinché i test statistici possano avere una loro validità. In questo ambito introdusse i concetti di ipotesi nulla (H0) e ipotesi sperimentale (H1). Afferma (e si tratta di una grande novità in ambito del metodo scientifico) che nessuna ricerca sperimentale poteva dimostrare l'ipotesi sperimentale, ma solo "accettare" o "respingere" l'ipotesi nulla, anche se effettuare tanti esperimenti in cui si rigettava l'ipotesi nulla aumentava la credibilità che l'ipotesi sperimentale fosse vera.
* 1936
o George Gallup ottiene grande notorietà prevedendo correttamente il risultato delle elezioni presidenziali intervistando soltanto 50 mila persone, mentre l'allora molto quotato Literary Digest sbagliò clamorosamente la previsione pur avendo intervistato molte più persone.
* 1938
o il fisico Frank Benford analizzò raccolte di numeri formulando la legge di Benford già scoperta nel 1881 dal matematico e astronomo Simon Newcomb e descritta in "American Journal of Mathematics".
* 1939
o Vladimir Smirnov costruisce il test di Kolmogorov-Smirnov.
o La Società Italiana di Statistica viene fondata il 15 gennaio.
* 1948
o Viene pubblicato l'esito di una ricerca sull'uso della streptomicina per la cura della tubercolosi che ha fatto uso del primo esperimento clinico randomizzato, progettato da Austin Bradford Hill.
* 1949
o George Kingsley Zipf (1902-1950), linguista e filologo statunitense dopo aver studiato per diverse lingue la frequenza con la quale compaiono le parole, proponendo in "Human Behaviour and the Principle of Least-Effort" una relazione oggi nota come legge di Zipf.

dal 1950

* 1960 - Sidney Siegel e John Wilder Tukey pubblicano il test di Siegel-Tukey nel Journal of the American Statistical Association con l'articolo "A nonparametric sum of ranks procedure for relative spread in unpaired samples".
* 1975 (10 giugno) - Viene fondata la Bernoulli Society for Mathematical Statistics and Probability.

http://www.calogeromartorana.it/DOWNLOAD/STATISTICA%20CRONOLOGIA%20E%20NOMI.doc

Carl Friedrich Gauss