Disegno assonometria e prospettiva

Assonometria e Prospettiva
(Rev. 11/2008)

Indicazioni generali

Il metodo delle proiezioni ortogonali dà una descrizione dettagliata delle dimensioni, della forma, delle caratteristiche delle diverse superfici di un oggetto attraverso l’uso di una o più proiezioni su piani coordinati e, come già detto, per risalire alla forma complessiva dell’oggetto rappresentato bisogna mentalmente associare le varie proiezioni, sfruttando sia le conoscenze della geometria descrittiva sia basandosi su abilità ed esperienza personali.
Può essere allora necessario affiancare alla proiezione ortografica disegni di più immediata comprensione, ottenuti mediante altri metodi di rappresentazione.

Per ottenere su un piano la rappresentazione di un oggetto che ne suggerisca e descriva l’aspetto tridimensionale si può ricorrere, come visto nel Cap. 1, o alle proiezioni prospetticheoalle proiezioni assonometriche.

Nella proiezione prospettica (prospettiva centrale), da un centro di proiezione posto a distanza finita, i raggi proiettanti sono divergenti (come se uscissero dal vertice di un cono, ed è per questo motivo che si parla anche di proiezioni coniche);la rappresentazione è simile a quella che si realizza con la visione ottica, ma con rapporti dimensionali deformati: l’immagine che si forma sul quadro ha dimensioni diverse dall’oggetto reale (fig. 1) e variabili al variare della distanza fra centro di proiezione, quadro ed oggetto.

Figura 1 – La proiezione centrale o prospettiva

Nella proiezione assonometrial’oggetto tridimensionale è rappresentato come apparirebbe ad un osservatore situato in un punto posto a distanza infinita (detto punto improprio), da cui si immagina di mandare dei raggi proiettanti fra loro paralleli (fig. 2).

A seconda della direzione dei raggi di proiezione rispetto al quadro, si hanno due tipi di assonometrie:
a) assonometria ortogonale, se i raggi di proiezione sono perpendicolari al quadro (fig. 2a);
b) assonometria obliqua, se i raggi di proiezione formano col quadro angoli diversi da 90° (fig. 2b).

Figura 2 – La proiezione assonometrica ortogonale (a) e obliqua (b)

Poiché i due sistemi proiettivi sono il risultato di una collocazione diversa del punto di vista dell’osservatore, l’assonometria può essere considerata come caso particolare della prospettiva centrale e quindi è anche indicata come prospettiva parallela.

Anche se la localizzazione del punto di vista all’infinito è nella realtà assurda, l’assonometria viene comunemente usata nel disegno tecnico in quanto permette di costruire sul piano lo schema geometrico di un oggetto tridimensionale rispettando i rapporti e le dimensioni reali. Inoltre, pur soddisfacendo meno le esigenze visive rispetto alla prospettiva centrale, è di più facile esecuzione e permette anche una descrizione dimensionale sufficientemente rapida.

Tipi di assonometrie

Nelle assonometrie l’oggetto da proiettare è riferito nello spazio ad una terna di assi cartesiani ortogonali. L’oggetto viene disposto in modo che la terna di assi risulti inclinata rispetto al piano di proiezione.

Il fatto che i raggi proiettanti siano paralleli tra loro conferisce alle assonometrie alcune importanti proprietà generali che, a differenza delle prospettive, le rendono accettabili anche per i disegni tecnici industriali.

a) I lati e le superfici di un oggetto paralleli al quadro si proiettano sul quadro stesso in vera grandezza e forma(fig. 3), qualunque sia l’angolo che la direzione dei raggi proiettanti forma col quadro.

Figura 3 – La figura ABCDEF, parallela al quadro, si proietta in vera grandezza e forma

b) Lati e superfici di un oggetto non paralleli al quadro si proiettano in grandezza diversa,secondo la diversa inclinazione dei raggi proiettanti rispetto al quadro (fig. 4).

Figura 4 – La figura ABCDEF, non parallela al quadro, si proietta in grandezza diversa
c) Le grandezze delle proiezioni di segmenti e superficie paralleli tra loro(cioè aventi la stessa inclinazione rispetto al quadro) sono direttamente proporzionali alle grandezze dei segmenti e superfici proiettati(fig. 5).
Segmenti paralleli nello spazio si proiettano secondo segmenti ancora paralleli sul quadro.

Figura 5 – In una proiezione assonometrica le proiezioni A1B1 e C1D1 sono proporzionali ai segmenti proiettati AB e CD: AB : CD = A1B1 : C1D1

d) Stabilita l’inclinazione dei raggi proiettanti, le proiezioni sul quadro di un determinato oggetto possono variare soltanto se varia l’orientamento dell’oggetto stesso rispetto al quadro e non la distanza dell’oggetto dal quadro (fig. 6).

Figura 6 – In una proiezione assonometrica, variando la distanza di una figura piana dal quadro, le proiezioni rimangono invariate

Per i suddetti motivi, sul foglio del disegno si ottiene una rappresentazione dell’oggetto con misure delle sue tre dimensioni legate a quelle originali da precisi rapporti di proiezione, che dipendono dal tipo di assonometria adottato. Si possono pertanto dedurre le proporzioni e, dato un opportuno riferimento o una scala, le dimensioni dell'oggetto (a differenza di quanto avviene con la prospettiva dove variando la distanza dell'oggetto dal quadro variano le dimensioni delle proiezioni).
A questo proposito è importante che il piano assonometrico sia tale che una sola proiezione assonometrica sia sufficiente per rappresentare completamente la forma dell’oggetto.
Le proiezioni assonometriche sono oggetto della norma UNI EN ISO 5456‑3.

Dato dunque un oggetto qualsivoglia (ad esempio il cubo di fig. 7) e un quadro di rappresentazione π, si colleghi all'oggetto un sistema di assi cartesiani ortogonali x, y, z di origine O, in genere scelti paralleli o perpendicolari a facce o linee di contorno.
Fissate sugli assi tre unità di misura tra loro eguali, ux = uy = uz = u, si proiettino gli assi stessi sul quadro π mediante raggi di proiezione paralleli fra loro.
La proiezione dà luogo a tre rette x’, y’, z’ uscenti da un medesimo punto O’, proiezione dell'origine O sul quadro π (fig. 7) e a tre segmenti ux’, uy’, uz’ non necessariamente eguali tra loro.

Figura 7 – Proiezione assonometrica di un cubo. Come si vede, i tre spigoli, che nell’oggetto sono perpendicolari tra loro, nel piano di proiezione danno luogo a tre angoli e a tre lunghezze diverse dalle dimensioni reali

Le tre rette orientate x’, y’ e z’, proiezioni di x, y e z, vengono chiamate assi assonometrici e costituiscono la struttura di riferimento per gli oggetti da rappresentare in assonometria; le unità proiezione ux’, uy’, uz’ prendono il nome di unità assonometriche o ridotte.

Poiché una delle proprietà fondamentali delle assonometrie è che segmenti paralleli nello spazio si proiettano secondo segmenti ancora paralleli sul quadro di rappresentazione, ne segue che tutti i segmenti paralleli ad uno degli assi cartesiani sono proiettati secondo segmenti paralleli alla proiezione di quell’asse sul quadro, quindi le loro lunghezze sono tutte ridotte nel medesimo rapporto.
Tutti i segmenti paralleli all’asse x nello spazio vengono allora ridotti di ux’/u nella rappresentazione assonometrica, cosi come saranno ridotti di uy’/u quelli paralleli all’asse y e di uz’/u quelli paralleli all’asse z; i rapporti
p = ux’/u, q = uy’/u e r = uz’/u
si chiamano rapporti di riduzione secondo gli assi x’, y’ e z’.
I
tre segmenti proiettati ux’, uy’, uz’ hanno lunghezze diverse o uguali a quella originaria a seconda che l’asse d’appartenenza sia obliquo o parallelo al quadro.

Quando le dimensioni lineari parallele ai tre assi subiscono tutte e tre la stessa variazione si dice che l’assonometria è isometrica (o monometrica); in questo caso anche gli angoli che formano tra loro le proiezioni dei tre assi di riferimento sono uguali.

Quando due dimensioni subiscono la stessa riduzione e solo la terza una diversa, l’assonometria è dimetrica; in questo caso solo due angoli sono uguali.

Infine, quando le dimensioni subiscono riduzioni tutte diverse tra loro, si ha l’assonometria trimetrica: in questo caso i tre angoli sono tutti diversi tra loro.
La UNI EN ISO 5456‑3 riporta alcune importanti norme per la costruzione delle assonometrie:

alla posizione degli assi coordinati rispetto al quadro deve essere tale che la proiezione di uno degli assi risulti verticale;
l'oggetto da rappresentare deve essere disposto in posizione tale che i suoi assi e le linee di contorno siano paralleli, per quanto possibile, agli assi coordinati e in modo che risultino in evidenza le tre viste che sarebbero state scelte per la rappresentazione dello stesso oggetto in proiezione ortogonale;
gli assi di simmetria dell’oggetto non devono essere tracciati,se non nel caso che risultino necessari;
le linee rappresentanti contorni o spigoli nascosti devono essere omesse, a meno che non siano ritenute utili per chiarire maggiormente la rappresentazione;
i tratteggi per mettere in evidenza una sezione devono essere tracciati di preferenza secondo angoli di 45° rispetto agli assi e contorni della sezione (come si vedrà nella fig. 12) .

Qualora sia necessaria, la quotatura è effettuata parallelamente agli assi coordinati.

Assonometrie ortogonali

Le assonometrie ortogonali si realizzano con proiezioni ortogonali al quadro assonometrico; come avviene per le proiezioni ortografiche, i segmenti proiettati sono uguali per forma e dimensione a quelli della figura rappresentata se giacciono su piani paralleli al piano assonometrico.

Si consideri una terna di assi ortogonali x, y, z solidali con l’oggetto (chiamata anche terna obiettiva, fig. 8) e la si proietti ortogonalmente su un piano generico π.

Figura 8 – Proiezione assonometrica ortogonale di una terna cartesiana solidale ad un oggetto

I punti A, B e C, intersezioni del piano assonometrico con gli assi x, y e z si chiamano punti traccia.
Sia OO’ il raggio proiettante l’origine O, perpendicolare al piano, e siano α, β e γ gli angoli che questa perpendicolare forma con i tre assi x, y e z rispettivamente. I tre rapporti di riduzione p, q, r sono eguali a:
p = ux’/u = O’A /OA = sen α

q = uy’/u = O’B /OB = sen β (1)

r = uz’/u = O’C /OC = sen γ

Infatti il triangolo AO’O è rettangolo in O’ per ipotesi, quindi, essendo AO l’ipotenusa e A’O il cateto opposto, vale la precedente relazione; lo stesso dicasi per i triangoli BO’O e CO’O.
Come è noto dalla geometria analitica, i coseni direttori di una retta orientata sono i coseni dell’angolo che la retta OO’ forma con ciascuno degli assi x, y e z; vale quindi la relazione:
cos2α + cos2β + cos2γ = 1

Ma dalla trigonometria risulta:

    cos2α = 1 – sen2α = 1 – p2
              cos2β = 1 – sen2β = 1 – q2

              cos2γ = 1 – sen2γ = 1 – r2
per cui risulta anche che:
p2 + q2 + r2 =2
e quindi:
sen2α + sen2β + sen2γ = 2                                                                                                                (2’)
Poiché p, q ed r sono minori di uno, anche i loro quadrati sono delle quantità minori di uno; pertanto, essendo, per la (2’):
p2+ q2 = 2 – r2                                                                                                                                  (2”)
il secondo membro dell’espressione (2”) è un numero maggiore di uno, cioè:
p2 + q2 > 1
Dunque, si può scrivere:
p2 + q2 > r2
              p2 + r2 > q2
              r2 + q2 > p2
Lo studioso K. Pohlke già nel 1853 propose un teorema fondamentale per le assonometrie, e cioè: «Tre segmenti complanari ux’, uy’ e uz’ uscenti da un medesimo punto O’, di lunghezze arbitrarie, formanti tra loro angoli arbitrari, possono sempre essere considerati come proiezione parallela di tre segmenti uguali, mutuamente ortogonali, purché non più di uno dei segmenti e non più di uno dei loro angoli sia nullo».
In pratica tre segmenti arbitrari O’A, O’B e O’C di un piano si possono sempre considerare come proiezioni parallele di tre segmenti OA, OB e OC presi su tre assi ortogonali: l’unica restrizione al teorema è che i quattro punti O’, A’, B’ e C’ non siano allineati, senza che resti esclusa la coincidenza di due tra quei punti.

I parametri assonometrici, angoli e rapporti di riduzione, sono strettamente legati tra loro, per cui dati i primi, si possono ricavare i secondi, sia con procedimenti analitici che grafici.

Determinazione analitica degli angoli α’, β’ e γ’ tra gli assi assonometrici per le assonometrie ortogonali

Gli angoli α’, β’ e γ’ tra gli assi assonometrici O’x’, O’y’ e O’z’ per le assonometrie ortogonali sono legati agli angoli α, β e γ dalle relazioni:
α’ = arcos(-ctgβ·ctgγ)
β’ = arcos(-ctgα·ctgγ) (3) (3) (3)
γ’ = arcos(-ctgβ·ctgα)

Per determinare tali espressioni, si può partire dal teorema di Carnot applicato, ad esempio, al triangolo O’BA. Risulta:
AB2 = O’A2 + O’B2 - 2·O’A·O’B·cos γ’                                                                                           (4)
P
oiché OA e OB sono ortogonali, risulta:

Ma:
O’A = OA senα = OO’ tgα
O’B = OB senβ = OO’ tgβ                                                                                                             (5)
O’C = OC senγ = OO’ tgγ
per cui:
OO’ = OA cosα = OB cosβ = OC cosγ

e quindi:

(6’)

Analogamente si ottiene:

(6’’)

(6’’’)

Sostituendo nella relazione (4) le (5) e (6’) ed evidenziando cosγ’, si ottiene:

e ricordando che:

1 + tg2α = 1/cos2α
                1 + tg2β = 1/cos2β
si ottiene infine che:
              γ’ = arcos(-ctgβ·ctgα)
Analogamente si ottiene:
α’ = arcos(-ctgβ·ctgγ)
                β’ = arcos(-ctgα·ctgγ)
Gli angoli α’, β’ e γ’ sono ottusi e legati dalla relazione:
          α’ + β’ + γ’ = 2 π
Si può poi dimostrare facilmente che:

Date quindi nel piano π tre rette orientate x’, y’ e z’, che individuano i tre angoli arbitrari α’, β’ e γ’, la cui somma è 360°, è possibile analiticamente individuare la disposizione spaziale della terna ortogonale che, proiettata ortogonalmente, dà origine ai 3 assi assonometrici x’, y’ e z’.

Assonometria isometrica

Nella assonometria isometrica i tre rapporti di riduzione sono tutti uguali tra loro:
p = q = r
Questo vuol dire che la stessa unità di misura u = ux = uy = uz, presa sugli assi x, y e z, viene proiettata sul piano π in tre segmenti uguali:
ux’ = uy’ = uz’
Con riferimento alla figura 8 la terna da proiettare è orientata in modo che:
α = β = γ
Poiché:
cos2α + cos2β + cos2γ = 1
si ha che :

cos2α = 1/3
e quindi:

Dalle (3) risulta pertanto:
α’ = β’ = γ’ = arcos(-ctg254,73°) = 120°
I tre rapporti di riduzione, tenendo presente le (1), ovvero:
p = ux’ / u = O’A /OA = sen α

q = uy’ / u = O’B /OB = sen β

r = uz’/ u = O’C /OC = sen γ
valgono:
p = q = r = senα = 0,816
Nel caso dell’assonometria isometrica, pertanto, tre segmenti uguali di lunghezza u, presi su tre assi cartesiani ortogonali x, y e z, proiettati ortogonalmente su tre assi x’, y’ e z’ del piano assonometrico, danno origine a tre segmenti ux’, uy’, uz’di lunghezza pari a 0,816 u.
Le figure 9a e 9b mostrano la disposizione delle proiezioni x’, y’ e z’ dei tre assi e le unità assonometriche di lunghezza 0,816 u nella proiezione isometrica rigorosa.
La norma, per ragioni pratiche, consiglia di arrotondare i valori dei rapporti p, q ed r a 1, tenendo gli angoli tra gli assi assonometrici di 120°. In tal modo lungo ogni asse assonometrico si ha un ingrandimento lineare dato dal rapporto 1/0,816 = 1,22 (fig. 9c). L’assonometria isometrica dà quindi un’immagine dell'oggetto piuttosto ingrandita rispetto al pezzo reale.

Figura 9 –

disposizione degli assi assonometrici nelle assonometria isometrica;

poiché le unità assonometriche risultano uguali a 0,816u, un cubo di lato 10 mm dovrebbe essere rappresentato con lo spigolo di 8,16 mm;

per ragioni pratiche, i rapporti di riduzione sono arrotondati all’unità. Il cubo sarà quindi disegnato con lato 10 mm

N
elle figure 10, 11, 12 e 13 sono riportate rappresentazioni isometriche conformi alle regole generali prima esposte.
In particolare, la figura 13 mostra la disposizione consigliata degli assi nell’assonometria isometrica in presenza di singolarità geometriche.

Figura 10 – Un pezzo meccanico in assonometria isometrica

Figura 11 – Nell’assonometria isometrica del componente

raffigurato sono consigliate le rappresentazioni a) e c);
la b) è sconsigliata perché non si rileva il foro cieco, la d) è errata (nessuno degli assi è verticale)

Figura 12 – Esempi di solidi rappresentati in assonometria isometrica con tagli

Figura 13 – Nella costruzione in assonometria isometrica si consiglia di disporre le singolarità geometriche fondamentali secondo la direzione degli assi assonometrici. La figura mostra una soluzione sbagliata e quella corretta.

Al contrario delle proiezioni ortogonali, in quelle assonometriche tutte le dimensioni devono essere visibili sulla stessa, e quindi ogni punto viene individuato da tre coordinate. Per questa ragione nella costruzione di un’assonometria isometrica conviene costruire prima le proiezioni ortogonali dell’oggetto, ottenere le tre coordinate di un punto e infine riportarle sulla terna assonometrica.
L’assonometria isometrica è di facile esecuzione, poiché presenta un’unica scala sui tre assi; tuttavia è opportuno tener presente che occorre molta attenzione nel trasporto di angoli e nella rappresentazione dei cerchi.
Assonometria dimetrica

L’assonometria dimetrica viene usata quando si vuole mettere in particolare evidenza una delle facce dell’oggetto, ottenendo una rappresentazione più simile a quella reale, ma di esecuzione laboriosa. Due dei rapporti di riduzione sono eguali tra loro, e cioè:

p = q ≠ r
oppure:

q = r ≠ p
r = p ≠ q
Questo significa che la stessa unità di misura u sugli assi coordinati x, y e z, viene proiettata sul quadro in tre segmenti ux’, uy’, uz’di cui due uguali ed il terzo diverso.
Tra le varie possibilità di orientamento, assumendo, ad esempio:
p = r ≠ q
p/q = 2
risulta, ricordando le (l), che:
α=γ≠β
sen α / sen β= 2

da cui:
cos2β = 1 – sen2β = 1 – (1/4)sen2α

e quindi:

sen2α = 4 – 4 cos2β(a)

mentre dalle:
cos2α + cos2β + cos2γ = 1 e cos2γ = cos2α

si ottiene:
cos2β = 1 – 2cos2α
per cui, sostituendo nella (a), risulta:
tg2α = 8
e quindi:

            α = γ = 70,53°
            β = 28,12°
e, dalle (3):
α’ = arcos(-ctgβ·ctgγ) = 131,4° ≈ 131,5°

            β’ = arcos(-ctgα·ctgγ) = 97,18°≈ 97°
e
α’ = γ’
I rapporti di riduzione sono:

p = senα = 0,943
            q = sen β = 0,471
            r = sen γ = 0,943
I valori, dei rapporti di riduzione vengono arrotondati a:
p = r = 1
            q = 0,5
mentre gli angoli che gli assi x’ e y’ formano con l’orizzontale vengono arrotondati a 42° e 7° (fig. 14). L’aumento dei rapporti di riduzione porta ad un ingrandimento lineare pari a:
1/0,942 = 1,06
abbastanza trascurabile.

Figura 14 – Rappresentazioni in assonometria di metrica

In figura 15 è rappresentato lo stesso oggetto in proiezione isometrica e dimetrica: nella proiezione isometrica l’oggetto appare di volume maggiore.

Figura 15 – Confronto tra la rappresentazione isometrica e dimetrica

Questa rappresentazione prevista dalla normativa, vienetuttavia sconsigliata dalle normeUNI, essendone molto laboriosa l’esecuzione.

Assonometria trimetrica

In questo tipo di assonometria, che non rientra fra quelle previste dalla norma, i tre rapporti di riduzione p, q ed r sono tutti diversi tra loro: questo significa che la stessa unità di misura u presa sulla terna obiettiva x, y e z viene proiettata in tre segmenti ux’, uy’, uz’, diversi tra loro, rispettivamente lungo gli assi assonometrici x’, y’ e z’.
Tra le infinite possibilità di orientamento degli assi assonometrici, si può sceglierne una che dia rapporti di riduzione semplici, anche se la rappresentazione di componenti con questa assonometria è comunque molto laboriosa e raramente usata.
La tabella 1 mostra il riepilogo di proiezioni assonometriche ortogonali, con diversi valori dei rapporti di riduzione.

Tabella 1 – Riepilogo delle assonometrie ortogonali

Facendo variare i rapporti di riduzione p, q ed r, un cubo, rappresentato in assonometria, puòassumere gli aspetti illustrati nella figura 16 in funzione dei rapporti p:q:r.

Figura 16 – Assonometrie di un cubo con diversi rapporti di riduzione

Assonometrie oblique

Le assonometrie oblique sono proiezioni parallele nelle quali i raggi proiettanti intersecano obliquamente il piano assonometrico, con la conseguenza che i procedimenti proiettivi diventano molto laboriosi e portano in generale a risultati grafici con immagini in generale tanto distorte da rendere spesso irriconoscibili le figure assonometriche.

Il caso particolare di assonometria obliqua con il piano di proiezione parallelo a uno dei piani coordinati riscuote tuttavia molto successo fra i progettisti per la rapidità di esecuzione grafica e per la possibilità di descrizioni dettagliate dei particolari rappresentati, e perché si ottiene così un’immagine molto realistica e simile a quella ottenuta con l’assonometria dimetrica, ma di più facile esecuzione e generalmente preferita nei disegni tecnici.

In tale assonometria, detta “cavaliera”, due degli assi coordinati proiettati restano fra loro perpendicolari e non si ha per essi variazione di scala. Ilquadro πviene di solito posto parallelamente al piano verticale e i rapporti di riduzione

p = ux’/u r = uz’/u
sono eguali tra loro ed eguali all'unità.

Supponiamo di avere un cubo appoggiato sul piano di proiezione π, con una faccia principale parallela agli assi x e z (fig. 17); l’aver posto il quadro π parallelo agli assi x e z vuol dire che l’asse y è ad esso perpendicolare.

Figura 17 – Assonometria obliqua di un cubo con raggi di proiezione a 45° rispetto al quadro

Si proietti il segmento BB” sul quadro con raggi di proiezione obliqui ed inclinati di 45° rispetto al quadro.
Proiettando l’estremo B sul quadro π,si ottengono infinite proiezioni aventi tutte l’estremo sulla circonferenza di intersezione del piano π con una superficie conica di vertice B ed angolo di semiapertura di 45°.
S
celto un punto B’ su tale circonferenza, essendo il triangolo BB”B’ isoscele e rettangolo in B”, si ha che il segmento BB” sarà eguale al segmento B”B’, da cui si deduce che tutti i segmenti paralleli all’asse y, e quindi perpendicolari al quadro, sono proiettati secondo un rapporto di riduzione unitario.

Se il segmento proiettante BB’ sta nel piano per y formante angoli di 45° con le direzioni di x e z, si otterrà la proiezione obliqua A’B’C’D’-A”B”C”D” visibile in figura 18, sul piano π.

Figura 18 – La proiezione assonometrica obliqua del cubo di figura 17

Questa proiezione, in cui la direzione dell’asse assonometrico y’ è inclinata di 45°, viene chiamata “assonometria cavaliera isometrica” con rapporti di riduzione unitari:

p = ux’/u = 1 q = uy’/u = 1 r = uz’/u = 1

La figura 18 evidenzia come questa assonometria (detta anche “assonometria cavaliera speciale”) dia luogo a un effetto ottico di allungamento degli oggetti. Se però si dimezza il rapporto q, assumendo q = uy’/u =1/2, si ottiene una figura che soddisfa maggiormente le esigenze visive (fig. 19). Questa assonometria è definita dalla norma “cavaliera (unificata) dimetrica" o semplicemente “cavaliera".

Figura 19 – Assonometria cavaliera isometrica (a sinistra) e unificata dimetrica (a destra) di un cubo: si noti nel primo caso l’effetto ottico dell’allungamento dell’oggetto lungo l’asse y

Costruzione di cerchi

La figura 20 riporta la disposizione degli assi assonometrici di un cubo che ha delle circonferenze inscritte in ogni faccia; i cerchi, sulle facce parallele al piano xz, come ogni altra figura parallela al piano di proiezione, si mantengono inalterati. Gli altri cerchi si trasformano in ellissi, con gli assi definiti dalle seguenti relazioni:
asse maggiore: a2 = a3 = 1,06 a
asse minore: b2 = b3 = 0,33 a
Come si vede dalla figura, l’angolo di inclinazione degli assi maggiori dell’ellisse rispetto agli assi assonometrici è di 7°.

Figura 20 – Costruzione dei cerchi nella assonometria cavaliera

N
ell’assonometria cavaliera la rappresentazione di un cerchio inscritto in una delle facce del cubo di riferimento può essere considerata come un ovale inscritto nel parallelogramma prospettiva del quadrato in cui è inscritto il cerchio stesso (fig. 21). Per la sua costruzione è possibile usare una costruzione semplificata, tracciando un numero conveniente di corde e riportare le lunghezze in base al rapporto di riduzione 0,5 adottato. Con l’ausilio del curvilineo, si uniscono i punti in tal modo ottenuti.

Figura 21 – Tracciamento semplificato dei cerchi nella assonometria cavaliera

Costruzione di solidi

La figura 22 mostra una rappresentazione in assonometria cavaliera di un componente meccanico.

Figura 22 – Assonometria cavaliera di un componente meccanico: il pezzo si orienta in modo da avere i fori paralleli al piano xz

Il metodo generale di costruzione di una figura tridimensionale consiste nel costruire il parallelepipedo che contiene completamente il solido; l’orientamento dell’oggetto deve essere tale da mettere in evidenza la vista più funzionale dell'oggetto oppure quella che mostri l’oggetto nelle condizioni di utilizzazione. E’ opportuno a questo proposito disporre i pezzi in modo tale da avere i cerchi nel piano xz (fig. 23), evitando in questo modo la costruzione mostrata in precedenza.

Figura 23 – Disposizione di pezzi nell’assonometria cavaliera

La figura 24 mostra la costruzione in assonometria cavaliera unificata di un componente: si costruisce dapprima la scatola che contiene il solido, facendo attenzione a dimezzare le dimensioni lungo la direzione y a 45°. Dopodiché è possibile riportarsi gli angoli e tutte le altre dimensioni.

Figura 24 – Costruzione assonometrica cavaliera di un componente

La figura 25

illustra le diverse fasi di costruzione di un altro solido: scelta la configurazione che mostri i fori e i cilindri nel piano xz, a partire dal centro A si riportano dimezzate tutte le dimensioni a 45° per ottenere i centri E e D, B e C, distanti 100 mm. Le circonferenze vengono raccordate in punti di tangenza facendo riferimento alle costruzioni già mostrate nei capitoli precedenti: infine si esegue l’inspessimento delle linee di contorno e l’eliminazione delle linee inutili.

Figura 25 – Tangenze e raccordi nell’assonometria cavaliera

Assonometria militare o planometrica

Fra le assonometrie cavaliere, quella chiamata militare o planometrica ebbe anche nel passato una vasta diffusione. L’appellativo "militare" deriva dall’impiego sistematico di questo tipo di assonometria nella descrizione di mura cittadine e di fortificazioni militari; oggi viene comunemente usata per rappresentare costruzioni edilizie o arredamenti. In questo caso il quadro p si mantiene parallelo agli assi x ed y. I rapporti di riduzione consigliati sono:
p : q : r = 1 : 1 : 1
Tale assonometria è detta militare monometrica.
L’assonometria cavaliera planometrica si costruisce in genere con un angolo di 90° e gli altri due rispettivamente di 120° e di 150° oppure di 135° e le dimensioni ridotte a 2/3 secondo l’asse z (fig. 26).

Figura 26 – Assonometria cavaliera militare planometrica

Prospettiva

Generalità

Nel disegno tecnico industriale le prospettive sono utilizzate per lo più come fonti di informazioni complementari sulla forma degli oggetti, ma in questo compito in genere possono essere sufficienti le assonometrie. In queste infatti, come si è già detto, stabilito il tipo di assonometria, il rapporto di riduzione per le proiezioni di segmenti paralleli è costante, mentre nella prospettiva il rapporto di riduzione varia al variare della posizione dell’oggetto rispetto al piano di rappresentazione e della congiungente il “punto oggetto” con il “punto di fuga”: ciò rende praticamente impossibile la quotatura.

Le regole generali per un disegno in prospettiva (fig. 27) sono state definite a partire dal XIV secolo:

linee verticali ed orizzontali nella realtà, se parallele al piano di rappresentazione, saranno riprodotte con linee verticali ed orizzontali;
segmenti fra loro uguali appartenenti a tali linee saranno riprodotti da segmenti uguali nella rappresentazione;
rette parallele nella realtà, perpendicolari o inclinate rispetto al piano di rappresentazione, saranno riprodotte da linee convergenti in un punto (punto di fuga) ed i segmenti uguali su di esse nella realtà non lo saranno più nella rappresentazione. I punti di fuga possono essere più di uno, in genere allineati su di una linea chiamata linea di orizzonte.

Figura 27 - Prospettiva (J. Vredeman, 1604)

Per tutto quanto riguarda la prospettiva nell'ambito del disegno tecnico è opportuno attenersi alle definizioni e ai metodi di rappresentazione conformi alla norma UNI EN ISO 5456‑4, che raccoglie in oltre 30 pagine un’ampia trattazione sulle proiezioni prospettiche.
Nel seguito saranno tuttavia usate anche alcune definizioni secondo la norma UNI 7349, sostituita dalla norma sopra citata: tali definizioni sono infatti ancora di uso corrente.

Per comprendere almeno le basi della prospettiva occorrono alcune definizioni preliminari, con riferimento alla figura 28, in cui si hanno due piani nello spazio fra loro ortogonali, uno verticale (Q) ed uno orizzontale (T) ed un punto X nello spazio, non appartenente ad essi.

Considerando un punto V come centro di proiezione o punto di vista (il punto in cui sono idealmente posti gli occhi di un osservatore), i piani Q e T saranno chiamati rispettivamente piano di proiezione o quadro prospettico (su cui si rappresenta l’oggetto in prospettiva) e piano di base o di terra.
La linea LO è definita linea di orizzonte e la linea LT, intersezione dei piani Q e T, linea di terra.
La linea da V a PP è definita proiettante principale.

La proiezione ortogonale PS di V sul piano di terra è detta punto di stazione e la proiezione ortogonale PP sul quadro, punto principale.
La distanza h fra V e PS (uguale a quella fra LO ed LT) prende il nome di altezza di proiezione o di osservazione.
L’intersezione della linea condotta da V ad X con il piano Q è la proiezione P dell’oggetto X sul quadro (o prospettiva di X): per una rappresentazione corretta tale proiezione dovrebbe essere interna ad un cerchio (cerchio visivo) intersezione con il piano di visione di un cono (cono visivo),avente vertice in V ed apertura α non superiore a 45° (in genere 35°), per avere immagini corrispondenti all'angolo di visione dell'occhio umano.

Il rapporto fra la distanza D da V al piano Q e la distanza d fra V ed il piano parallelo a Q contenente il punto dell’oggetto rappresentato più prossimo a V determina il rapporto di riduzione fra l’oggetto rappresentato e quello reale (che sarà ovviamente uguale ad 1 per elementi giacenti su Q). Ne consegue che la rappresentazione di un oggetto posto tra il punto di visione e il quadro, per cui D/d>1, risulta ingrandita rispetto alle dimensioni reali; viceversa, se il quadro è posto fra punto di vista e l’oggetto, l’immagine è ridotta rispetto al reale: nella maggior parte dei casi ci si porrà in questa condizione.

Quanto descritto si riferisce ad un caso particolare, quello della prospettiva frontale o centrale, ma può essere esteso anche ad altri tipi di prospettiva.

Figura 28 – Rappresentazione (in assonometria isometrica) dei principi della prospettiva: i segmenti paralleli al quadro (cioè al piano xz) si proiettano ancora paralleli, con dimensioni inversamente proporzionali alla distanza dal punto di vista (l’oggetto è posto dietro al quadro); i segmenti paralleli all’asse y si proiettano in segmenti le cui direzioni convergono in PP; altri segmenti, fra loro paralleli ma inclinati rispetto al quadro (ad esempio XH e BM), hanno proiezioni convergenti in un proprio punto di fuga (in questo caso PF, sulla linea di orizzonte)

Con il consueto riferimento ad una terna cartesiana ortogonale, associata all’oggetto da rappresentare, si definisce “prospettiva a un punto” (“prospettiva frontale o centrale” nella norma precedente) quella in cui il piano di proiezione è parallelo ad uno dei piani coordinati, ad esempio al piano xz, e di conseguenza le rette parallele ad x e z restano parallele a se stesse, mentre quelle parallele ad y, cioè perpendicolari al piano di proiezione (ad es. nella direzione del segmento AM in figura 28), si proiettano in un fascio di rette convergenti nel punto PP, proiezione ortogonale di V sul quadro, che corrisponde pertanto, in questo caso, al punto di fuga PFY.

Infatti viene definito come “punto di fuga” per un fascio di rette parallele il punto proiezione, sul quadro, del punto di vista V secondo la direzione comune delle rette stesse (quindi, nel caso di cui sopra, la direzione del segmento AM in figura 28), che di conseguenza saranno rappresentate sul piano di proiezione da un fascio di rette convergenti nel punto di fuga e passanti ognuna per il relativo punto di intersezione con il quadro stesso.
Sempre in fig. 28, ad esempio, PF è il punto di fuga delle rette aventi la direzione del segmento XH e la cui rappresentazione prospettica è il segmento PH’. Perché il punto di fuga esista occorre che il fascio di rette sia incidente sul piano di proiezione. Le rette che incidono sul quadro con uno stesso angolo vi determinano una circonferenza.
Si definisce prospettiva a due punti (“prospettiva accidentale” nella norma precedente) quella in cui l’asse verticale z è parallelo al quadro, mentre gli assi coordinati x e y hanno punti di fuga PFX e PFY, in cui convergeranno le proiezioni delle rette parallele rispettivamente agli assi x ed y (fig. 29).
Infine, sui dice prospettiva a tre punti o obliqua (“prospettiva razionale” nella precedente norma) quella in cui la terna è disposta obliquamente rispetto al quadro: si avranno quindi tre punti intersezione degli assi coordinati con il quadro e tre punti di fuga corrispondenti alle direzioni degli assi stessi (fig. 29).
Questa prospettiva, che meglio corrisponde alla visione umana, non viene presa in considerazione nel disegno tecnico per la complessità di esecuzione, al contrario delle altre due rappresentazioni prospettiche, la cui esecuzione non risulta particolarmente complicata.

Figura 29 – Prospettiva a due punti (accidentale) a sinistra, prospettiva a tre punti (razionale) a destra

Si osservi che le nuove denominazioni di “prospettiva a n punti” non sono precise se non con riferimento ai punti di fuga per le direzioni degli assi coordinati. Nella prospettiva, infatti, i punti di fuga sono tanti quante le direzioni di rette parallele incidenti sul quadro, cioè, in teoria, infiniti. Nella figura 30, ad esempio, le rappresentazioni prospettiche della scala, rispettivamente frontale a sinistra ed accidentale a destra, evidenziano il punto di fuga PF’ che corrisponde a linee parallele oblique rispetto agli assi coordinati.

Figura 30 – Prospettive a un punto (frontale) e a due punti (accidentale) di una scala (PF’ è il punto di fuga delle linee passanti per i vertici degli scalini)

Si noti ancora che la norma ISO indica come:

posizione speciale quella in cui la faccia principale dell’oggetto da rappresentare è parallela al piano di proiezione,
posizione particolare quando sono paralleli al piano di proiezione gli spigoli verticali,
posizione qualunque quando l’oggetto non abbia spigoli e contorni paralleli al piano di proiezione.

Le tre posizioni corrispondono rispettivamente alle prospettive frontale, accidentale e razionale prima definite.

Comunque, come già osservato, nel disegno tecnico industriale le rappresentazioni in prospettiva hanno importanza minore che in altri campi, come quello edile o urbanistico o anche “artistico”, come testimoniato, ad esempio, dalla prospettiva di figura 31, in cui si hanno tre punti di fuga posti ai vertici di un triangolo equilatero, tratta dalle opere grafiche di M. Escher basate sulla teoria matematica posta alla base delle definizioni di proiezione prospettica.

Figura 31 – Relatività (M. Escher, 1953)

Norme di riferimento per il Cap. 7

UNI EN ISO 5456-1:2001	Disegni tecnici - Metodi di proiezione - Quadro sinottico
UNI EN ISO 5456-3:2001	Disegni tecnici - Metodi di proiezione - Rappresentazioni assonometriche
UNI EN ISO 5456-4:2002	Disegni tecnici - Metodi di proiezione - Rappresentazioni prospettiche

Fonte: ftp://ftp.aula.dimet.unige.it/squarzoni/DTN1%202008.09%20-%20Cap.%2007%20Assonometria%20e%20Prospettiva.doc

Disegno assonometria e prospettiva