Disegno sezioni
Disegno tecnico tipi di sezioni
Sezioni, intersezioni e sviluppi di solidi elementari
(Rev. 10/2008)
Sezioni di solidi elementari
Le regole di geometria descrittiva viste trattando delle proiezioni ortografiche trovano applicazione anche nella rappresentazione di solidi geometrici tagliati da piani di sezione.
Nei casi più semplici il piano di sezione è parallelo ad uno dei piani fondamentali (e quindi perpendicolare agli altri due). In questo caso la vera forma della sezione è quella fornita dalla proiezione sul piano di proiezione parallelo al piano di sezione.
Nel caso, invece, in cui il piano di sezione sia perpendicolare ad un piano fondamentale e inclinato rispetto agli altri due oppure inclinato rispetto ai tre piani fondamentali di proiezione, bisognerà ricorrere a proiezioni ausiliarie per ottenere la vera forma della sezione, come precedentemente illustrato.
Solidi non assialsimmetrici
Se il solido considerato è prismatico o è una piramide, ricorrendo ai concetti precedentemente illustrati le viste del solido sezionato si possono ottenere partendo semplicemente dalle intersezioni del piano di sezione con le superfici del solido. In particolare la sezione sarà un poligono i cui vertici si ottengono determinando le intersezioni del piano sezionante con gli spigoli del solido.
L’operazione è molto semplice se il piano sezionante è ortogonale a uno dei piani principali.
Ad esempio, nel caso del prisma di figura 1, una volta tracciato nella vista in piantailpiano di sezione M‑M (individuato mediante le sue tracce sul p.o. e sul p.l.), si determinano le linee di intersezione del piano con le superfici del prisma nella vista principale; queste linee di intersezione costituiranno le linee di contorno della sezione (che vengono chiamate anche linee d’ambito di sezione). L’area della sezione viene evidenziata con il tratteggio.
Figura 1 – Sezione di un prisma cavo avente l’asse perpendicolare al p.o., mediante un piano M-M perpendicolare al p.o.
Nel caso della figura 2 il piano di sezione è inclinato rispetto a due piani di proiezione, anche se è perpendicolare al piano principale. La determinazione delle linee di contorno delle sezioni sia nella pianta che nella vista laterale è abbastanza semplice, però si tenga presente che nessuna di queste rappresentazioni dà la vera forma della sezione stessa, e quindi converrebbe fare riferimento ad una vista ausiliaria sulla quale costruire la sezione. La vera forma della sezione può comunque essere determinata con la stessa costruzione delle figg. 38b, 39 e 40 del Cap. 3 sulle proiezioni ortografiche.
Figura 2 – Sezione di un solido perpendicolare al p.o., con la base a forma di T, mediante un piano t2 perpendicolare al p.v. e inclinato di α rispetto al p.o.
La figura 3 illustra un altro caso di sezione di un solido con un piano perpendicolare al p.v..
Anche in questo caso, ovviamente, nessuna delle tre rappresentazioni dà la vera forma della sezione, che può essere determinata con la stessa costruzione delle figg. 38b, 39 e 40 del Cap. 3.
Figura 3 – Sezione di un prisma a base rettangolare, perpendicolare al p.o. e con le facce laterali inclinate rispetto agli altri due piani, con un piano perpendicolare al p.v.
La figura 4 presenta invece le proiezioni ortogonali in un caso di sezione con un piano obliquo.
In questo caso, la vera forma della sezione può essere determinata con la costruzione della figura 41 del Cap. 3.
Figura 4 – Sezione di un prisma a base rettangolare, con l’asse perpendicolare al p.o. e le facce laterali inclinate rispetto agli altri due piani, mediante un piano obliquo
Infine, la figura 5 illustra, con riferimento al caso di un prisma ottagonale con la base appoggiata sul p.o., la procedura per determinare la sezione di un solido non assialsimmetrico con un piano obliquo di cui è nota la posizione rispetto ai piani principali (ovvero del quale sono date le due tracce sui piani orizzontale e verticale).
Figura 5
A tal proposito occorre individuare un piano ausiliario ortogonale al piano sezionante e a uno dei piani principali (nel caso di fig. 5 il p.o.), proiettare il solido su tale piano e quindi ribaltarlo sul piano principale considerato.
A questo punto è possibile individuare la traccia del piano sezionante sul piano ausiliario ribaltato (nel caso di fig. 5 la retta PR’, che si determina congiungendo il punto P, in cui si incontrano le tracce sul p.o. del piano secante e del piano ausiliario, con il punto R’, ottenuto riportando sul piano ausiliario ribaltato il punto R, in cui si incontrano le tracce sul p.v. del piano secante e del piano ausiliario) e, quindi, determinare le proiezioni della sezione sui piani principali con la stessa costruzione valida per il caso di piano secante ortogonale a uno dei piani principali.
Anche in questo caso sarà poi possibile determinare la vera forma e le vere dimensioni della sezione ribaltando il piano di sezione su un piano principale o su un piano parallelo a un piano principale, con la stessa costruzione di cui alla fig. 41 del Cap. 3.
Solidi assialsimmetrici
Particolare interesse pratico hanno le sezioni piane di solidi assialsimmetrici, come il cono o il cilindro.
Nel caso del cilindro, possiamo avere tre casi (fig. 6):
• se il piano di sezione è parallelo all’asse del cilindro, si ottiene una sezione rettangolare;
• se il piano di sezione è normale all’asse del cilindro, si ottiene una sezione circolare;
• se il piano di sezione è inclinato rispetto all’asse del cilindro, si ottiene una sezione ellittica.
Figura 6 – Sezioni di un cilindro con un piano:
a) piano parallelo all’asse, sezione rettangolare;
b) piano perpendicolare all’asse, sezione circolare;
c) piano inclinato rispetto all’asse, sezione ellittica
La figura 7 mostra la proiezione di un cilindro cavo sezionato con un piano parallelo all’asse.
Figura 7 – Sezione di un cilindro cavo con un piano t2 parallelo all’asse
Invece nella figura 8 il piano di sezione è inclinato rispetto all’asse, e quindi si è fatto ricorso ad una vista ausiliaria per ottenere la reale forma della sezione.
Figura 8 – Sezione di un cilindro con un piano inclinato di 45° rispetto all’asse. Per la vera forma della sezione occorre una vista ausiliaria
Sezionando un cono con un piano si ottiene come intersezione una curva la cui forma dipende dalla posizione del piano sezionatore rispetto all’asse del cono (fig.9A):
- se il piano di sezione è perpendicolare all’asse del cono, si ottiene come contorno una circonferenza (fig. 9B);
- se il piano forma con l’asse del cono un angolo minore di 90°, ma maggiore della semiapertura del cono, si ottiene una ellisse (fig. 9C);
- se l’angolo è esattamente uguale alla semiapertura del cono (cioè parallelo ad una generatrice), si ottiene una parabola (fig. 9D);
- infine, se il piano forma con l’asse del cono un angolo minore della semiapertura, si otterrà una iperbole (fig. 9E).
Figura 9 – Sezione di un cono con un piano
Ne
lla figura 10 è indicata, per un cono retto, la costruzione della sezione ellittica, ottenuta quindi con un piano α perpendicolare al piano verticale ed inclinato rispetto all’asse del cono di un angolo minore di 90°.
Figura 10 – Sezione ellittica di un cono retto con un piano inclinato rispetto all’asse
A tal fine si assumono come piani ausiliari dei piani paralleli al p.o.. Uno di questi, quello la cui traccia sul p.v. è indicata con β, intersecherà, nel p.v., il piano di sezione in un punto B2 e la superficie conica nel punto B2’. Inoltre, essendo il piano β perpendicolare all’asse del cono, la sua intersezione col cono sarà una circonferenza C1, che può essere proiettata sul p.o. (dove è rappresentata in figura solo per la parte a destra del segmento B1B1’). Da B2 si conduce la perpendicolare alla lt, determinando i punti B1 e B1’, intersezioni con la circonferenza C1. I due punti trovati appartengono al piano di sezione α, in quanto appartenenti anche alla superficie laterale del cono, e sono punti della circonferenza di intersezione del cono col piano ausiliario β. Ripetendo la costruzione per un numero sufficiente di punti, si otterrà la curva completa in pianta.
Procedendo con i metodi già studiati, sarà poi possibile riportare i punti della curva anche nella vista laterale. Infine, sempre con le regole per la determinazione della vera forma di una figura piana precedentemente esposte, è possibile ottenere la vera forma della figura su un piano ausiliario.
Le figure 11 e 12 riportano le costruzioni per ottenere le sezioni di un cono con un piano parallelo a una generatrice o all’asse del cono, ottenendo rispettivamente una parabola e una iperbole.
Figura 11– Sezione parabolica di un cono retto con un piano parallelo alla generatrice
Figura 12 – Sezione iperbolica di un cono retto con un piano parallelo all’asse
Sezionando una sferacon un piano parallelo al p.o. (fig. 13) si ottiene un cerchio, che si vedrà in vera forma nella vista in pianta.
Figura 13– Sezione di sfera con un piano orizzontale: si ottiene un cerchio
Se invece il piano di intersezione ha una giacitura perpendicolare al p.v. ma non parallela al p.o. (fig. 14), si otterrà sul p.o. (o su quello laterale) un’ellisse, la cui costruzione può essere effettuata con la stessa procedura seguita per determinare la sezione ellittica di un cono retto con un piano inclinato rispetto all’asse (ved. fig. 10). In vera forma si avrà ovviamente ancora un cerchio.
Figura 14– Sezione di sfera con un piano inclinato: in vera grandezza si ottiene sempre un cerchio, che si proietta sui piani principali come ellisse
Compenetrazione di solidi
Un problema grafico che si presenta molte volte nella rappresentazione di componenti meccanici consiste nella determinazione delle linee di intersezione di parti solide o cavità.
Il problema non ha solo interesse geometrico, ma trova applicazione pratica in diversi rami dell’ingegneria: basti pensare alle ramificazioni di condotte, nel campo impiantistico, oppure al caso di pezzi attraversati da scanalature o da fori che possono essere appunto considerati come solidi cavi.
Ai fini della determinazione delle line di intersezione, è opportuno distinguere i casi di compenetrazione tra:
- compenetrazioni tra solidi prismatici (in questo caso tutte le intersezioni tra facce piane sono linee rette):
- compenetrazioni tra solidi prismatici e solidi di rivoluzione;
- compenetrazioni tra solidi di rivoluzione (che ricorre di frequente in connessioni di tubature o innesti di condotte in contenitori cilindrici o prismatici).
Per il tracciamento delle linee di intersezione di solidi compenetrati esistono diverse metodologie.
Solitamente, comunque, le curve di intersezione si tracciano per punti: si determina cioè un numero sufficiente di punti appartenenti contemporaneamente a entrambe le superfici dei solidi compenetrati; i punti vengono poi uniti con segmenti o curve a seconda dei casi.
La curva risultante dall’intersezione di due solidi, chiamata figura di intersezione, osemplicemente intersezione, risulterà quindi spesso approssimata.
Compenetrazione tra solidi prismatici
L’intersezione fra due piani è un segmento di retta: quindi, se due solidi sono compenetrati da solidi delimitati da facce piane, la figura di intersezione sarà composta da segmenti di retta.
La figura 15 mostra le proiezioni ortogonali di un prisma retto a base quadrata con un foro quadrato, considerabile quindi come l’intersezione del prisma con un altro prisma ancora a base quadrata. La costruzione geometrica delle linee di intersezione può avvenire a partire dal prospetto e dalla pianta; i punti B3 = A3 e B3’= A3’ della vista laterale si ottengono come proiezioni di punti gia definiti nel primo e secondo piano di proiezione.
Figura 15 – “Intersezione” di un prisma retto con un foro prismatico
Nelle figure 16 e 17 si hanno costruzioni analoghe con diverse posizioni dei prismi.
Figura 16 – Intersezione di due prismi Figura 17 – Intersezione di prismi retti ad assi
retti ortogonali sghembi
Compenetrazione tra solidi prismatici e di rivoluzione
Nella figura 18 è illustrato il disegno della compenetrazione tra un cilindro ad asse verticale e un prisma retto a sezione quadrata, ad asse orizzontale. In questo caso la linea di intersezione in pianta è definita da due archi di circonferenza. Le intersezioni tra le facce a e a’ del prisma col cilindro sono i segmenti A2B2 e C2D2, che si ottengono mandando le linee di richiamo da A1≡B1 e C1 ≡D1 sino ad intersecare le tracce dei piani b e b’. Sul p.l. ritroviamo i segmenti A3B3 e C3D3.
Figura 18 – Intersezione fra un cilindro e un prisma retti ad assi ortogonali
Se il cilindro è ad asse orizzontale ed interseca il prisma ad asse verticale come in figura 19, le intersezioni sono dei tratti di curva. La figura illustra il procedimento per tracciare le intersezioni sul prospetto avendo già tracciato il profilo e la pianta. In questo caso si possono prendere dei punti qualsiasi sul cilindro nel p.l., come A3, B3, C3 e D3, e disegnare le linee di richiamo nel p.o., determinando i punti corrispondenti A2, B2, C2 e D2; le intersezioni corrispondenti delle linee di richiamo sul p.v. consentiranno la costruzione per punti delle due curve di compenetrazione sul prospetto.
Figura 19 – Intersezione fra un prisma verticale e un cilindro orizzontale
Le figure 20 e 21 chiariscono altri procedimenti per ottenere le linee di compenetrazione tra solidi prismatici e di rivoluzione.
Figura 20 – Il taglio trasversale può essere considerato come un prisma che interseca il cilindro
Figura 21 – Il pezzo rappresentato può essere considerato come sovrapposizione di un cilindro e di un prisma a facce arrotondate oppure, come in questo caso, come intersezione fra cilindro e prisma
Un esempio tipico di intersezione tra un tronco di cono e un elemento prismatico è costituito dalla scanalatura della testa di una vite (fig. 22).
Figura 22 – La scanalatura della testa di una vite rappresenta un esempio tipico di intersezione tra un tronco di cono e un elemento prismatico. Dopo aver costruito il prospetto e la pianta, le intersezioni corrispondenti nel p.l. consentiranno la costruzione della linea A3B3
Un altro semplice esempio di questo tipo di compenetrazione è rappresentato dalla punta della matita prismatica sulla quale risulta ben visibile una curva di compenetrazione ottenuta dall’intersezione di un cono e un prisma esagonale (fig. 23).
Figura 23 – Nell’estremità di una matita si ha l’intersezione di un prisma esagonale con un cono.
Per determinare le curve di intersezione, dal vertice V del cono si conducono alcune generatrici, quali a, b, c, d, fino ad incontrare la linea di intersezione dei due solidi nei punti 1, 2, 3, 4. Da questi punti si conducono delle linee verticali fino ad incontrare la proiezione circolare della base del cono nei punti 1’, 2’, 3’, 4’. Congiungendo questi punti col centro della circonferenza, si intercettano sull’esagono inscritto nella circonferenza i punti 1”, 2”, 3”, 4”, da cui si fanno partire delle linee verticali, le cui intersezioni con le generatrici di partenza danno i punti 1’’’, 2’’’, 3’’’, 4’’’ cercati
Una intersezione simile, fra un prisma retto ed un cono di grande apertura, si ha nei dadi esagonali (fig. 24).
Figura 24 – Anche in un dado si trova l’intersezione fra prisma esagonale e cono. La costruzione delle curve di intersezione è analoga al caso precedente. A partire dal vertice del cono si conducono alcune generatrici a piacere fino ad incontrare la linea orizzontale a, considerata come proiezione della base del cono. Dai punti di intersezione, si conducono delle linee verticali, fino ad incontrare la proiezione circolare della base del cono nei punti A1’ e B1’. I punti della curva di intersezione si determinano come nel caso precedente
Compenetrazione tra solidi di rivoluzione
La figura 25 mostra casi di intersezioni frequenti tra cilindri.
Nei cilindri che si intersecano ortogonalmente, quando i raggi dei due solidi sono molto differenti, si preferisce l’approssimazione con un segmento (a); se la differenza è meno elevata, la curva di intersezione è approssimata da un arco di raggio r uguale al raggio del cilindro maggiore (b); nel caso di cilindri di eguale diametro, le linee di intersezione degenerano in segmenti di retta (d, f).
In tutti gli altri casi, si preferisce far uso di semplici costruzioni per l'ottenimento della curva. A questo proposito è possibile usare tre metodi differenti: il metodo delle generatrici, il metodo dei piani ausiliari e il metodo delle sfere ausiliarie.
Figura 25 – Intersezioni fra cilindri: alcune rappresentazioni vengono semplificate
Metodo delle generatrici
Le linee di intersezione si tracciano per punti, individuando le generatrici del cilindro di diametro minore e determinando i punti di intersezione tra i due cilindri nelle diverse viste.
Tipico è il caso di un cilindro attraversato da un foro (fig. 26). I punti delle linee di intersezione nella terza vista sul p.l. vengono determinati scegliendo a piacere alcuni punti sulle generatrici A, B e C del cilindro di diametro minore (foro) sul p.o. e sul p.v.. Proiettando i punti sul p.l., si ottengono le linee di intersezioni dei due solidi.
Figura 26 – Ricerca della intersezione tra due cilindri col metodo delle generatrici
Metodo dei piani ausiliari
Si utilizzano dei piani ausiliari che taglino le superfici dei due solidi secondo curve piane, i cui punti comuni appartengono alla figura di intersezione cercata.
E’ opportuno scegliere i piani ausiliari in modo da ottenere linee e curve semplici.
Il procedimento per ritrovare la curva di intersezione tra due cilindri con questo metodo è illustrato nelle figure 27 (in cui il metodo di rappresentazione adottato è quello americano, con vista superiore, ovvero dall’alto, incompleta) e 28, con riferimento a due cilindri perpendicolari nel primo caso e a due cilindri con assi inclinati nel secondo.
Figura 27 - Intersezione di cilindri ad assi ortogonali col metodo dei piani ausiliari. Si possono usare progressivamente una serie di piani ausiliari che determinano nella vista principale il luogo dei punti della curva di intersezione:
a) il piano verticale contenente gli assi dei due cilindri stabilisce la posizione dei primi due punti di intersezione 1 e 2;
b) altri due piani paralleli a quello precedente determinano quattro ulteriori punti di intersezione 3, 4, 5 e 6;
c) altri piani determinano altri punti che saranno connessi con una curva
Figura 28 – Intersezione di cilindri ad assi inclinati con il metodo dei piani ausiliari. Per trovare l’intersezione dei cilindri, è possibile usare una vista ausiliaria; disegnando la traccia del piano di taglio αsulla vista ausiliaria e su quella superiore (vista dal basso), i punti di intersezione determinano la forma della curva sulla vista anteriore (prospetto)
Metodo delle sfere ausiliarie
Col metodo delle generatrici sono necessarie tre viste per poter ricavare le linee di intersezione; col metodo delle sfere ausiliarie è sufficiente una sola vista, ma può essere usato solo nei casi di compenetrazione di solidi di rotazione ad assi concorrenti.
Per risolvere il problema di ricavare la linea di intersezione, si considerano più sfere ausiliarie, con centro nel punto in cui si intersecano gli assi dei due solidi (fig. 29).
Il problema si risolve determinando i punti di intersezione delle circonferenze determinate dalle intersezione delle sfere con i cilindri e costruendo per punti le linee di intersezione.
Figura 29 – Metodo delle sfere ausiliarie. Una volta disegnate le due sfere limiti Smax e Smin di centro O, si determinano le tracce delle due circonferenze sui cilindri verticale e orizzontale (Cmax e Cmin). Le intersezioni tra queste circonferenze darà luogo ai punti 1, 2, 3, 4, 5 e 6 per i quali dovranno passare le intersezioni cercate. Ripetendo la costruzione per le sfere S1 e S2 di raggio intermedio, si possono costruire per punti le linee di intersezione
La figura 30 illustra il caso dell’intersezione di un cono retto con un cilindro orizzontale.
Figura 30 - Intersezione di un cono retto con un cilindro orizzontale; una volta tracciate le tre viste, dalla vista laterale si possono prendere alcuni punti, ad esempio A3, B3, C3 e D3 a piacere; con i piani orizzontali α, β, γ e δ si individuano le intersezioni con la generatrice del cono 1, 2, 3 e 4; a partire da questi punti, si possono tracciare sulla pianta delle circonferenze corrispondenti alle intersezioni dei piani col cono; le intersezioni delle circonferenze con le proiezioni dei punti dal p.l. permettono di determinare la curva di intersezione sul p.o.; infine si può determinare la curva di intersezione anche sul p.v.
Infine, le due figure seguenti 31 e 32 illustrano due casi frequenti di compenetrazioni nei componenti meccanici.
A questo riguardo è opportuno ricordare che, ai fini delle intersezioni, i fori sono trattati come corpi cilindrici.
Figura 31 – L’intersezione tra due fori perpendicolari in un corpo cilindrico viene trattata come intersezione di cilindri cavi; la costruzione viene semplificata con la costruzione della vista ausiliaria, sulla quale è possibile individuare alcuni punti che permetteranno la costruzione delle curve di intersezione con la regole già viste
Figura 32 - La cava per linguetta è un caso pratico di intersezione tra elementi cilindrici e prismatici; anche in questo caso si può ricorrere ad una vista ausiliaria della cava, sulla quale si possono prendere alcuni punti a piacere e ricondursi così ai casi precedenti
Sviluppi di solidi
Generalità
Una superficie si dice sviluppabile se può essere distesa su un piano senza distorsioni. Lo sviluppo di un solido consiste nell’aprire la sua superficie col minimo numero di tagli e nel distenderla su un piano.
La superficie piana risultante si chiama sviluppo della superficie.
Tutti i solidi delimitati da facce piane sono sviluppabili (figg. 3A e 3B).
Lo sviluppo esatto delle superfici curve è limitato a solidi delimitati da facce piane e da superfici a semplice curvatura come il cono o il cilindro (fig. 3C).
Figura 33 – Alcuni sviluppi di solidi elementari
Sviluppi approssimati, ma sufficientemente precisi, per certe applicazioni pratiche possono essere ottenuti per alcune superfici teoricamente non sviluppabili come quelle a doppia curvatura (ad esempio la sfera o un iperboloide).
Un’operazione di sviluppo è di fondamentale importanza per il progetto di tutte le opere di carpenteria metallica realizzate in lamiera, quali tubi, serbatoi o elementi di scafo. Altri esempi usuali di applicazioni dello sviluppo di superficie si hanno nelle fabbricazioni di scatole, di contenitori conici o cilindrici, nonché nello studio di pezzi imbutiti. Infatti, per la costruzione di tali elementi si parte da una lamiera piana che, con opportune lavorazioni, dovrà realizzare la forma desiderata.
E’ evidente quindi la necessità di conoscere lo sviluppo per il tracciamento sulla lamiera del contorno esatto della superficie da ritagliare.
Sviluppo di poliedri
Tutti gli sviluppi sono effettuati tenendo presente la regola generale che i lati della figura sviluppata e quelli corrispondenti del solido di origine devono avere la stessa lunghezza. Lo sviluppo di poliedri richiede il taglio lungo spigoli appropriati e la distensione sul piano; questo significa determinare la vera forma di tutte le facce che delimitano il poliedro e unire queste in sequenza lungo gli spigoli comuni.
La figura 34 indica la costruzione da seguire per la rappresentazione dello sviluppo di un parallelepipedo retto.
Figura 34 – Sviluppo della superficie di un parallelepipedo a base rettangolare eseguita col taglio lungo gli spigoli AD, DC, CB, DH, EH, HG, FG
Nella figura 35 il parallelepipedo è sezionato da un piano inclinato rispetto al p.o. e perpendicolare al p.v.. Poiché nella costruzione dello sviluppo gli spigoli dei solidi prismatici devono essere considerati nella loro grandezza reale, è opportuno far uso di una vista ausiliaria in modo che sia possibile misurare la vera grandezza di tutti gli spigoli.
Figura 35 - Sviluppo di un tronco obliquo di prisma retto a base rettangolare; una volta ottenuta la vista ausiliaria, si riportano sulla linea di terra i punti 4, 1, 2, 3 e 4 che individuano consecutivamente i lati della base rettangolare; per tali punti si innalzano le verticali, che verranno intersecate dalle linee orizzontali condotte per i punti D”≡A” e B”≡C”, in modo da individuare tutti i punti del contorno superiore del solido. Perpendicolarmente al lato obliquo CD si riportano infine i lati CB=C1B1 e DA=D1A1
Una piramide consta di facce triangolari, tutte concorrenti nel vertice. Determinata quindi la vera forma delle facce laterali, si ottiene facilmente lo sviluppo della piramide, come in figura 36, o del tronco di piramide, come in figura 37.
Figura 36 - Sviluppo di una piramide retta a base quadrata; la superficie della piramide è composta da un quadrato e da quattro triangoli isosceli inclinati e col vertice in comune; per determinare la vera lunghezza dello spigolo della piramide è sufficiente ribaltare lo spigolo nel piano del disegno, centrando in V1, con raggio V1P1, fino a determinare il punto P1’. Questo punto, proiettato sul p.v., darà origine al punto P2’, e il segmento V2P2’ determinerà cosi la reale lunghezza dello spigolo V2P2. Con raggio R corrispondente a tale lunghezza si descrive un arco di circonferenza e su di esso si riporta per 4 volte la corda corrispondente allo spigolo di base del solido
Figura 37 - Sviluppo di un tronco di piramide retta. Bisogna innanzi tutto ricavare le vere dimensioni di ogni elemento dello sviluppo: in questo caso l’operazione è resa più semplice dalla simmetria dell’oggetto. Con centro in F sul p.v. si ruota il segmento che rappresenta lo spigolo portando B in B’: il segmento FB’ nel p.o. rappresenta la vera lunghezza dello spigolo FB; gli altri segmenti paralleli al p.o. o al p.v. appaiono già in vera grandezza. Per trovare la vera forma del trapezio BCGF si ricorre alla linea ausiliaria GI: portando il segmento GI sul p.v. parallelo alla lt, si individua il punto I’ che consente sul p.o. la costruzione della vera lunghezza di GI (data dal segmento HI’). In modo analogo si ricava la lunghezza effettiva del segmento HJ. Immaginando quindi di tagliare la superficie secondo gli spigoli AE, BF, CG, DH e posizionando sul piano di sviluppo il rettangolo EFHG, con centro nei suoi vertici si tracciano archi di raggio FB’, che vengono intersecati dalle parallele ai lati del rettangolo da essi distanti rispettivamente GI’ e HJ’, ricavando in tal modo i vertici A, B, C e D
Si riporta, per completezza, un ulteriore esempio di sviluppo di un tronco di piramide esagonale retta ottenuto sezionando la piramide con un piano obliquo rispetto all’asse della piramide (fig. 38).
Figura 38 – Sviluppo di un tronco obliquo di piramide esagonale retta; essendo V2a2 uno spigolo in grandezza reale, fatto centro nel vertice V1 nella pianta, si ruotano i punti B e C sul segmento V1a1; nel p.v. si ritrovano le intersezioni C’ e B’; per realizzare lo sviluppo, si tracciano gli archi di raggio R1, R2, R3, R4 e R5 con centro nel punto O; a partire dal punto a3 si riportano le lunghezze dei lati dell'esagono e poi la base superiore misurata sul piano di ribaltamento
In figura 39 è mostrato lo sviluppo di una piramide obliqua, che rappresenta quindi un caso del tutto generale.
In questo caso conviene procedere, noti prospetto e pianta, costruendo lo sviluppo dell’intera piramide; individuato il taglio più breve, si procede poi sistematicamente fissando la lunghezza degli spigoli, con l’ausilio ancora di un diagramma di vere lunghezze.
Figura 39 - Sviluppo di un tronco di piramide obliqua. Si determinano innanzi tutto le vere lunghezze degli spigoli V1, V2, V3, V4, V5, riportate nel diagramma a destra della proiezione sul p.v..
Ciò fatto, si è in grado di costruire i 5 triangoli 5V1,1V2, 2V3, 3V4, 4V5 in vera forma e nella
successione indicata. Poiché per regola lo sviluppo deve essere effettuato mediante tagli che abbiano la minore lunghezza possibile (ciò perché, nella costruzione, le superfici di sviluppo devono essere poi collegate lungo i tagli mediante saldatura, ecc.), il taglio sarà effettuato lungo lo spigolo V5, mentre per quanto riguarda la base, essa avrà in comune con la superficie laterale uno dei lati maggiori, cioè ad esempio il lato 3-4.
Per completare lo sviluppo, si individua il lato più lungo della base inferiore e questo sarà il lato in comune con la superficie laterale.
Per la base superiore, si deve prima ottenere una vista in vera forma e si procede poi come per la base superiore. Si noti che se la base superiore si sovrappone allo sviluppo della superficie laterale, si deve eventualmente rinunciare ad avere in comune il lato più lungo, poiché sovrapposizioni non sono evidentemente possibili. Se, comunque operando, la base superiore si sovrappone ancora alla superficie laterale, ne segue che lo sviluppo completo non è possibile (ovviamente il problema non si pone se il solido è aperto superiormente o limitato alla superfide laterale).
Un prisma può essere sviluppato rapidamente ricordando che una sezione, effettuata con un piano perpendicolare a tutti gli spigoli, taglia il prisma secondo una linea pure perpendicolare a tutti gli spigoli. Tale linea, detta perimetrale, ha lunghezza eguale al perimetro.
Se si dispone il prisma in modo da avere una vista (ad esempio la pianta) perpendicolare all’asse del
prisma, questa rappresenta in vera forma ogni sezione retta. Il perimetro è allora derivabile da tale vista. Sviluppando il prisma di fianco al prospetto, si determinano gli spigoli in vera lunghezza.
La figura 40 mostra il caso di un prisma retto con basi oblique. Come sempre il taglio deve essere effettuato lungo lo spigolo più corto.
Figura 40 – Sviluppo di un prisma retto con basi oblique
Sviluppo di cilindri
Lo sviluppo di un cilindro retto, a sezione circolare, è semplicemente un rettangolo avente la base eguale al perimetro di base ed altezza eguale all'altezza del cilindro (fig. 41).
Figura 41 – Sviluppo di un cilindro retto
Se il cilindro è delimitato da una faccia obliqua (fig. 42), si può procedere ad una costruzione approssimata, dividendo la circonferenza di base del cilindro in n parti.
L’approssimazione è tanto maggiore quanto più numerose sono le divisioni della base.
Figura 42 - Prima di determinare lo sviluppo, si rappresenta la vera forma della faccia superiore; a tale scopo si divide la circonferenza di
base del cilindro ad esempio in 12 parti uguali e si riportano nella vista ausiliaria i segmenti BC, DE, ecc. uguali rispettivamente ai segmenti 2‑12, 3‑11, ecc., fino a costruire l’ellisse per punti. Il lato di base dello sviluppo della superficie, di lunghezza eguale a πd, viene diviso nello stesso numero di parti uguali e ad ogni divisione si innalza la generatrice corrispondente, che viene troncata con le corrispondenti proiezioni dal p.v.
La figura 43 mostra la costruzione per disegnare lo sviluppo di cilindri compenetrati, metodo che risulta utile per ricavare la forma in piano della lamiera per la costruzione di tubazioni con varie derivazioni. Per eseguire lo sviluppo di un innesto devono essere state già ricavate le curve di compenetrazione secondo i metodi già illustrati.
Figura 43 - Sviluppo di due cilindri perpendicolari di diverso diametro. La prima operazione da svolgere è quella di determinare con le regole viste la curva di intersezione sul p.v..
Per lo sviluppo del cilindro di diametro d, si riporta la lunghezza della circonferenza πd, si divide in 12 parti uguali e si riportano lungo le generatrici orizzontali i segmenti 1A4, 2B4, 3C4, , 4D4 uguali rispettivamente ai segmenti 1A2, 2B2, 3C2, 4D2 e si ritrova lo sviluppo ripetendo ciclicamente queste distanze. Lo sviluppo del cilindro di diametro D è un rettangolo con due fori ellittici che vengono determinati in modo approssimato: a partire dal centro dell’ellisse si riportano sull’asse maggiore le corde A3B3, uguale ad A1B1, B3C3, uguale a B1C1 e così via fino a costruire l’ellisse congiungendo i punti di incontro delle orizzontali da A2 ecc. e le verticali da A3 ecc..
Sviluppo
di coni
Un cono retto (o un tronco di cono retto a basi parallele) può essere sviluppato esattamente secondo un settore circolare avente raggio pari alla generatrice del cono (fig. 44).
L’angolo al vertice dello sviluppo è α = 360 r / l (gradi) o α = 2π r / l (radianti), dove r è il raggio del cerchio di base ed l la lunghezza della generatrice del cono.
Figura 44 – Sviluppo di un cono di raggio r avente generatrice di lunghezza l
La figura 45 illustra il metodo per ricavare lo sviluppo di un cono retto, tagliato da un piano non parallelo alla base.
Figura 45 - Sviluppo di un cono tagliato con un piano non parallelo alla base. Innanzitutto si determina la proiezione della sezione sul p.o.. Utilizzando linee radiali equamente spaziate, la vista in pianta viene divisa in parti eguali che vengono ritrovate sul prospetto sotto forma di generatrici del cono. Utilizzando una serie di piani secanti orizzontali a, b, c, ... è possibile determinare sulla pianta i punti A, B, C, ... che le linee radiali intercettano a partire dai corrispondenti punti del prospetto, ottenendo la proiezione in pianta della figura ellittica di intersezione col piano. Lo sviluppo si ottiene riportando un arco di apertura 360 r / l (in gradi) e raggio l diviso nello stesso numero di parti del cono; su ogni linea radiale si riportano i segmenti 1A, 2B, ecc. in vera lunghezza (determinabile con il procedimento già ripetutamente visto), ottenendo lo sviluppo.
E’ possibile infine costruire la vera forma della sezione, tenendo presente che è ellittica, con l’asse maggiore uguale ad AG del prospetto e l’asse minore uguale al corrispondente asse minore dell’ellisse KC già disegnato in pianta.
Raccordi di condotte
In conclusione, viene illustrato un caso di sviluppo di un raccordo fra un condotto cilindrico ed uno prismatico, caso piuttosto frequente nella pratica. Questi pezzi vengono anche chiamati pezzi di transizione, in quanto da un estremo all'altro dell’asse del pezzo si ha un cambiamento della forma della sezione.
La figura 46 mostra il caso di un raccordo di un condotto prismatico con uno cilindrico, la cui superficie è costituita da quattro porzioni piane di forma triangolare e da quattro porzioni di superficie conica.
Figura 46 - Costruzione dello sviluppo di un pezzo di transizione: lo sviluppo si compone di quattro triangoli isosceli e di quattro superfici coniche. La linea di taglio è secondo ES. Si divide l’arco EF in un certo numero di parti uguali e si costruisce, nella vista principale, il diagramma delle vere lunghezze delle generatrici della superficie conica
Norme di riferimento per il Cap. 5
UNI 3972:1981 |
Disegni tecnici. Tratteggi per la rappresentazione dei materiali nelle sezioni |
UNI ISO 128-40:2006 |
Disegni tecnici - Principi generali di rappresentazione - Parte 40: Convenzioni fondamentali per tagli e sezioni |
UNI ISO 128-44:2006 |
Disegni tecnici - Principi generali di rappresentazione - Parte 44: Sezioni nei disegni di ingegneria meccanica e industriale |
UNI ISO 128-50:2006 |
Disegni tecnici - Principi generali di rappresentazione - Parte 50: Convenzioni generali di rappresentazione delle superfici in sezioni e tagli |
Fonte: ftp://ftp.aula.dimet.unige.it/squarzoni/DTN1%202008.09%20-%20Cap.%2005%20Sezioni,%20intersezioni%20e%20sviluppi%20di%20solidi%20elementari.doc
Autore del testo non indicato nel documento di origine.
Disegno sezioni
Visita la nostra pagina principale
Disegno tecnico tipi di sezioni
Termini d' uso e privacy