Matematica geometria ragioneria e statistica

 

 

 

Matematica geometria ragioneria e statistica

Matematica scuola elementare , scuola media, scuola superiore e università

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“Perché studiare matematica?”       

“a cosa serve la matematica?”
Una  disciplina così tanto astratta e apparentemente  arida… ma  affascinante e bella in ogni suo aspetto! Poliedrica!
La matematica insegna a pensare in modo razionale, perché è la forma più pura di razionalità, in un suo mondo che è completamente irrazionale.
La matematica sembra difficile perché richiede parecchio tempo da dedicare e molta applicazione prima di trovarsi in sintonia con essa… ma è bella ed è proprio così tanto bella per le sue difficoltà… quando  si comprende una teoria matematica o si riesce a risolvere un problema impegnativo, si prova grande soddisfazione e si è orgogliosi di se stessi.
Allargando il discorso alla cultura generale ci accorgiamo che in qualunque campo c’è una corrente razionalista ispirata alla matematica e non mi riferisco solo alla fisica, alla chimica, all’ingegneria, all’economia, all’analisi funzionale, ma anche alle scienze della vita, quali la medicina, la biologia molecolare  e anche all’arte come la pittura, la musica… oggi pure architetti e sociologi utilizzano la matematica nel loro lavoro e la ritroviamo,  ancora più nel concreto, nel settore aeronautico, nell’industria automobilistica, nell’elettronica.
Applicare la matematica alla risoluzione di problemi della vita reale significa creare un modello matematico che descrive il problema di partenza, sviluppare per esso nuove equazioni e nuovi algoritmi da risolvere poi, anche con l’ausilio del computer;  l’obiettivo dei modelli matematici è la costruzione di algoritmi sempre più efficaci per la simulazione e l’ottimizzazione di tali  problemi.
Vale davvero la pena studiare  matematica per capire al meglio il mondo in cui viviamo, un mondo sempre più tecnologico, e naturalmente per imparare a pensare con la propria testa, a sviluppare una forte logica.
 
Fonte estratto da http://www.liceomericianum.it/Materiali%20prof/Brovelli/perch%C3%A8%20stud%20mate%202.doc

 

 

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statistica in ordine alfabetico

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COSA FA UN MATEMATICO?

L'attività dei matematici è da sempre avvolta in un'aura di mistero.
E’ bene dire subito che cosa non fa un matematico.
Un matematico non passa il suo tempo a fare calcoli e conti, né a farli fare ad un computer. Il matematico pensa. E più precisamente pensa a come dimostrare un nuovo teorema. E questo è il punto fondamentale: contrariamente alla percezione comune, la Matematica non è affatto una disciplina morta , un insieme di formule cristallizzate ed inerti.
La Matematica pulsa, vive, si sviluppa in mille direzioni, un processo questo che non è certo iniziato ieri ma secoli e secoli fa, con la civilizzazione dell'uomo. Una disciplina così antica ha avuto modo di svilupparsi enormemente; di conseguenza la Matematica moderna ha raggiunto un grado di sofisticazione altissimo, diventando però, al contempo, sempre più inaccessibile ed  incomunicabile al grande pubblico.
Per dare una cifra che rappresenti in maniera opportuna l'attività di ricerca matematica mondiale  basterà menzionare il fatto che la rivista “American Mathematical Society” recensisce ogni mese più di 4 mila articoli contenenti teoremi originali. Qual è il motore che spinge questa attività? Ci sono molte risposte che dipendono essenzialmente da che tipo di Matematica stiamo analizzando.
Le motivazioni di un matematico applicato saranno certo diverse da quelle di un algebrista o di un logico.
Comune a tutti c’è però una fascinazione profonda per la bellezza, l'armonia, l'eleganza e la matrice quasi divina di alcune parti della Matematica.
Per tornare a quella che è l'attività di un matematico potremo semplicemente dire che una grande parte del suo lavoro è quella di capire, inquadrare un problema, indovinare una verità matematica.
I grandi matematici sono quelli che fiutano i teoremi più belli, che vedono quello che a molti rimane oscuro, che immaginano nuovi percorsi.
Quest’attività creativa non è irrazionale ma, essenzialmente, intuitiva; non è dissimile da quella  che potrebbe avere un architetto o uno scrittore nel tratteggiare a grandi linee un edificio oppure nell'inquadrare le caratteristiche di un personaggio di un romanzo o la sua trama.
La seconda fase dell'attività matematica è la più dura: quella di dimostrare.
Una proposizione matematica, anche se plausibilissima, non è valida se non è dimostrata tramite passaggi logici che a partire dalle ipotesi arrivino alla tesi.
Una proposizione non dimostrata è una congettura; ci sono congetture famose, estremamente semplici ad enunciarsi, che ancora aspettano la loro dimostrazione (la congettura di Poincarré, quella di Goldbach oppure l'ipotesi di Riemann o altre, come ultimo teorema di Fermat, dimostrato da Andrew Wiles nel 1995), che ne hanno attesa una per 300 anni.
I matematici felici sono quelli che immaginano un bel teorema e poi riescono a dimostrarlo

 

Fonte: http://xoomer.virgilio.it/edy2/Matematica-Valt/COSA%20FA%20UN%20MATEMATICO.doc

 

Argomenti in fase di elaborazione :

 

La lunghezza della circonferenza
Lunghezza di un arco di circonferenza
L'area del cerchio
Area del settore circolare
Rette e piani nello spazio
Angolo diedro
Angoloidi
I poliedri regolari (solidi platonici)
I poliedri non regolari: prismi e piramidi
Superficie laterale, superficie totale e volume dei prismi (parallelepipedi retti e cubi)
Superficie laterale, superficie totale e volume delle piramidi
Il cilindro: superficie totale, laterale e volume
Il cono: superficie totale, laterale e volume
La sfera e la superficie sferica (parti della sfera e della sua superficie)
Area della superficie sferica e volume della sfera
Altri solidi di rotazione

 

La lunghezza della circonferenza
Lunghezza di un arco di circonferenza
L'area del cerchio
Area del settore circolare
Rette e piani nello spazio
Angolo diedro
Angoloidi
I poliedri regolari (solidi platonici)
I poliedri non regolari: prismi e piramidi
Superficie laterale, superficie totale e volume dei prismi (parallelepipedi retti e cubi)
Superficie laterale, superficie totale e volume delle piramidi
Il cilindro: superficie totale, laterale e volume
Il cono: superficie totale, laterale e volume
La sfera e la superficie sferica (parti della sfera e della sua superficie)
Area della superficie sferica e volume della sfera
Altri solidi di rotazione

 

Geometria

La circonferenza e il cerchio:

• Le proprietà delle corde

• Teorema:In ogni circonferenza le corde che sono congruenti hanno la stessa distanza dal centro e,viceversa,le corde che hanno uguale distanza dal centro sono congruenti

• Le posizioni di una retta rispetto a una circonferenza

• Le posizioni reciproche di due circonferenze

• Gli angoli alla circonferenza

• Teorema:Ogni angolo al centro è la metà dell’angolo alla circonferenza(lati secanti)

• Teorema:Ogni angolo al centro è la metà dell’angolo alla circonferenza(lato tangente\lato secante)

• Teorema:se da un punto p esterno a una circonferenza si tracciano due tangenti alla circonferenza:i segmenti di tangenza sono congruenti;la semiretta che ha origine in P e passa per il centro della circonferenza è bisettrice dell’angolo formato dalle due tangenti e dall’angolo formato dai due raggi nei punti di tangenza;la retta che passa per P e per il centro della circonferenza è asse della corda che ha per estremi i due punti di tangenza

 

      La circonferenza e i poligoni:

• I poligoni inscritti e circoscritti

• Teorema:In ogni triangolo le tre mediane passano per uno stesso punto,che si dice baricentro.Il baricentro divide ciascuna mediana in due segmenti,dei quali quello che contiene il vertice è il doppio dell’altro

• Teorema;In ogni triangolo,la distanza da un lato del baricentro è uguale alla terza parte dell’altezza relativa allo stesso lato

• Teorema:Condizione necessaria e sufficiente affinché un quadrilatero si possa inscrivere in una circonferenza è che abbia due angoli opposti supplementari

• Teorema:Condizione necessaria e sufficiente affinché un quadrilatero si possa circoscrivere a una circonferenza è che la somma di due lati opposti sia congruente alla somma degli altri due

• Teorema:Dimostrare per via algebrica che l’aria di un trapezio rettangolo circoscritto ad una circonferenza è uguale al prodotto delle misure delle basi

• Teorema:La misura del diametro della circonferenza circoscritta ad un triangolo si ottiene dividendo il prodotto delle misure di due lati per la misura dell’altezza relativa al terzo lato

     L’equivalenza dei poligoni

• Le superfici equivalenti

• I postulati dell’equivalenza

• Le superfici equiscomponibili

• I poligoni equivalenti

• Teorema:Due parallelogrammi che hanno le basi congruenti e le altezze relative congruenti sono equivalenti

• Teorema:Ogni triangolo è equivalente a un parallelogramma che ha l’altezza congruente all’altezza del triangolo e la base che è la metà della base del triangolo

• Teorema:Ogni trapezio è equivalente a un triangolo la cui base è la somma delle basi del trapezio e la cui altezza è congruente all’altezza del trapezio

• Teorema:In ogni triangolo rettangolo,il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per lati l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso su di essa

• Teorema:In ogni triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti è equivalente al quadrato costruito sull’ipotenusa

 

     La proporzionalità fra le grandezze e le aree dei poligoni

• Le classi di grandezze geometriche

• Grandezze commensurabili e incommensurabili

• Teorema:Il lato e la diagonale di un quadrato sono segmenti incommensurabili

• La misura delle grandezze

• Grandezze proporzionali

• Le grandezze direttamente e inversamente proporzionali

• Teorema:Un fascio di rette parallele determina su due trasversali due classi di segmenti direttamente proporzionali

• Teorema:In ogni triangolo la parallela a un lato divide gli altri due lati in parti proporzionali

• Teorema:In ogni triangolo la bisettrice di un angolo interno divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati

• Teorema:La bisettrice di un angolo esterno di un triangolo incontra il prolungamento del lato opposto,qualora non sia ad esso parallela,in un punto le cui distanze dagli estremi di quel lato sono proporzionali agli altri due lati

• Teorema:In due triangoli aventi una coppia di angoli uguali ed una coppia di angoli supplementari,i lati opposti agli angoli uguali sono proporzionali ai lati opposti agli angoli supplementari

• Teorema:La bisettrice di un angolo interno divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati(suppl.)

• Teorema:La bisettrice di un angolo esterno di un triangolo incontra il prolungamento del lato opposto,qualora non sia ad esso parallela,in un punto le cui distanze dagli estremi di quel lato sono proporzionali agli altri due lati

• Le aree dei poligoni

• Interpretazione algebrica dei teoremi di Pitagora e di Euclide

     Le omotetie e la similitudine

• La similitudine

• La similitudine nei triangoli

• Teorema:Una retta parallela ad un lato di un triangolo determina un triangolo simile a quello dato

• Teorema:Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente uguali

• Teorema:Due triangoli sono simili se hanno due lati ordinatamente proporzionali e gli angoli tra essi compresi uguali

• Teorema:Due triangoli sono simili se hanno i lati ordinatamente proporzionali

• La similitudine e i teoremi di Euclide

• Teorema:In ogni triangolo rettangolo ciascun cateto è medio proporzionale fra l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa

• Teorema:In ogni triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale fra le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa

• La similitudine e la circonferenza

• Teorema:Se due corde di una circonferenza si intersecano,i segmenti che si formano su una di esse sono i medi e i segmenti che si formano sull’altra sono gli estremi di una stessa proporzione

• Teorema:Se da un punto esterno a una circonferenza si tracciano due secanti,una secante e la sua parte esterna sono i medi,l’altra secante e la sua parte esterna sono gli estremi di una stessa proporzione

• Teorema:Se da un punto esterno a una circonferenza si tracciano una tangente e una secante,il segmento di tangente è medio proporzionale fra l’intera secante e la sua parte esterna

 

Definizione di spazio vettoriale e di sottospazio vettoriale. Esempi.

 Vettori linearmente dipendenti (risp. indipendenti) : definizione e proprietà.

 Definizione di base di uno spazio vettoriale e dei concetti che intervengono.

 Dimensione di uno spazio vettoriale. Definizione e proprietà.

 Costruzione di una base di uno spazio vettoriale a partire da un insieme finito di generatori.

 Teorema che porta al concetto di coordinate. Definizione di coordinate.

 Definizione dei vari tipi di matrici.

 Prodotto righe per colonne. Definizione. Proprietà.

 Matrice invertibile. Definizione e proprietà.

 Determinante: definizione e proprietà.

 Teorema sulle matrici invertibili

 Rango di una matrice. Definizione. Proprietà

 Sistemi lineari. Teorema di Cramer e teorema di Rouché-Capelli.

 Sistemi lineari omogenei. Definizione e proprietà.

 Equazione del piano e proprietà.

 Perpendicolarità e parallalelismo tra piani.

Varie forme delle equazioni della retta.

 Parametri direttori. Definizione e calcolo.

 Perpendicolarità e parallelismo tra rette con dimostrazione.

 Perpendicolarità e parallelismo retta-piano con dimostrazione.

 Complanarità di due rette.

 Distanza minima tra due rette.

 Sfera e circonferenza..

 Definizione di spazio euclideo reale.

Definizione di vettori perpendicolari, norma di un vettore, versore, coefficiente di Fourier

Matrice ortogonale: definizione e proprietà con dimostrazione.

Matrice diagonalizzabile (definizione) e matrici simili.

 Autovalori. Autovettori. Diagonalizzazione.

 Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica di un autovalore: definizione e proprietà.

 Teorema fondamentale per il calcolo degli autovalori e degli autospazi.

 

I numeri naturali, interi, razionali, reali. Valore approssimato di un numero irrazionale. Le funzioni elementari valore assoluto, potenza, radice, esponenziale, logaritmo. Notazione scientifica; calcoli numerici e con percentuali. Equazioni e disequazioni razionali intere di primo e secondo grado; equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche; sistemi di disequazioni. Circonferenza trigonometrica; archi e angoli orientati; misura degli angoli in gradi e radianti. Le funzioni trigonometriche seno, coseno, tangente, cotangente. Le funzioni trigonometriche inverse. Relazione tra gli elementi di un triangolo rettangolo.

GEOMETRIA ANALITICA
Retta orientata. Sistema di riferimento cartesiano ortogonale; coordinate cartesiane dei punti del piano. Equazione della retta; significato geometrico del coefficiente angolare della retta; angolo tra due rette; condizione di parallelismo e di perpendicolarità tra rette. Curve algebriche del secondo ordine. Equazione della circonferenza, della ellisse, della parabola, della iperbole. Rappresentazione parametrica delle curve piane.

INSIEMI NUMERICI
Definizioni. Operazioni sugli insiemi (unione, differenza, intersezione). Estremo superiore ed estremo inferiore di un insieme di numeri reali; massimo e minimo. Intervalli limitati e illimitati. Intorno di un numero.

SUCCESSIONI NUMERICHE
Principio di induzione. Successioni numeriche; successioni limitate e illimitate; successioni convergenti e divergenti; successioni monotòne. Limite di una successione; operazioni sui limiti.

FUNZIONE REALE DI VARIABILE REALE
Dominio e codominio di una funzione. Estremi di una funzione. Funzioni monotòne. Funzioni pari, dispari, periodiche. Rappresentazione grafica dei valori numerici di una funzione. Scale logaritmiche e semilogaritmiche. Funzioni composte.

LIMITI DI FUNZIONE REALE DI VARIABILE REALE
Definizione di limite finito per una funzione in un punto. Limite destro e limite sinistro. Definizione di limite infinito per una funzione in un punto. Definizione di limite per una funzione all'infinito. Enunciati dei teoremi: di unicità del limite, della permanenza del segno, del confronto. Alcuni limiti notevoli; il numero "e". Forme indeterminate. Operazioni sui limiti: limite di somma, differenza, prodotto, quoziente di funzioni.

FUNZIONI CONTINUE
Definizione di funzione continua in un punto e in un intervallo. Esempi di funzione continua. Enunciati dei teoremi: esistenza degli zeri, esistenza dei valori intermedi, Weierstrass. Punti di discontinuità: di prima specie, di seconda specie, eliminabile.

DERIVATA DI FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE REALE
Definizione di derivata. Retta tangente e significato geometrico della derivata. Derivata delle funzioni più comuni. Algebra delle derivate: derivata di somma, differenza, prodotto, quoziente di funzioni. Regole di derivazione delle funzioni composte. Derivate di ordine superiore. Enunciati dei teoremi: di Fermat, di Rolle, di Lagrange con corollari. Regola di De L'Hospital.
Differenziale di una funzione e suo significato geometrico. Approssimazione lineare di una funzione; errore di approssimazione assoluto, relativo, percentuale.

DISEGNO DEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE
Criterio di monotonia di una funzione. Massimi e minimi relativi e assoluti. Concavità, convessità e flessi. Asintoti. Studio completo del grafico di una funzione.

INTEGRALE DI FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE REALE
Metodo di esaustione per il calcolo dell’area di una figura piana. L'integrale definito come limite della somma integrale inferiore e superiore. Significato geometrico dell'integrale definito. Enunciati e dimostrazione del teorema della media e del teorema fondamentale del calcolo integrale. Funzione primitiva di una funzione e definizione di integrale indefinito. Integrali indefiniti immediati. Integrali delle funzioni più comuni. Formula fondamentale del calcolo integrale. Proprietà dell'integrale: integrale di somma di funzioni; integrale del prodotto di una funzione per una costante. Metodi di integrazione: per decomposizione in somma, per sostituzione, per parti. Integrali impropri convergenti. Calcolo di aree di figure piane.

SERIE
Somma parziale dei primi n termini di una successione. Definizione di serie. Serie convergente e somma di una serie. Serie armonica; serie geometrica. Serie di potenze. Polinomio di Taylor.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
Definizione generale e classificazione delle equazioni differenziali. Soluzione generale di una equazione differenziale; condizioni iniziali e soluzione particolare. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Risoluzione di equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti; tecniche di risoluzione. Equazioni differenziali e modelli matematici; esempi di applicazione.

 

CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONE REALE DI PIU’ VARIABILI REALI
Definizione di funzione di due o più variabili. Dominio e rappresentazione cartesiana per funzione reale di due variabili reali. Derivata parziale; differenziale totale; derivate successive. Forme differenziali esatte.

 

ALGEBRA
Ripasso: Disequazioni algebriche di grado superiore al secondo.
Ripasso: Disequazioni frazionarie e sistemi di disequazioni.
Ripasso: Equazioni e disequazioni in valore assoluto.
Disequazioni irrazionali.

• Insiemi numerici, introduzione ai numeri reali.

• Concetto di funzione. Funzione iniettiva, suriettiva, biiettiva; grafico di una funzione.

 

TRIGONOMETRIA
Definizione di angolo orientato. Gradi e radianti.
Funzioni goniometriche: seno, coseno, tangente, secante, cosecante, cotangente.
Relazioni tra lati ed angoli di un triangolo rettangolo. Prodotto scalare e vettoriale.
Relazioni tra le principali funzioni goniometriche.
Riduzione al primo quadrante.
Successioni. Progressioni aritmetiche e geometriche.

Formule di addizione, sottrazione, duplicazione, bisezione, parametriche, di prostaferesi, di Werner.
Espressioni ed identità relative a tali formule.
Funzioni inverse delle funzioni goniometriche.
Equazioni goniometriche.
Teoremi sui triangoli qualsiasi:  teorema della corda, delle proiezioni, dei seni e di Carnot.
Problemi di trigonometria (anche con discussione grafica).
Applicazioni della trigonometria alla geometria analitica e alla fisica.
(Introduzione alle disequazioni goniometriche).

 

GEOMETRIA ANALITICA
Piano cartesiano: coordinate di un punto, punti simmetrici rispetto agli assi e all’origine, distanza tra due punti, punto medio di un segmento.
Retta: equazione della retta, condizioni di parallelismo e perpendicolarità.
Distanza di un punto da una retta. Area del triangolo.
Fasci di rette propri ed impropri.
Coniche
Circonferenza, rette tangenti ad una circonferenza, regola dello sdoppiamento.
Fasci di circonferenze.
Ellisse, rette tangenti ad una ellisse; equazioni della traslazione; ellisse traslata.
Iperbole, iperbole equilatera, iperbole traslata, funzione omografica. Rette tangenti ad un’iperbole.
Parabola ad asse verticale ed orizzontale. Rette tangenti ad una parabola.
Simmetria rispetto ad un punto e ad una retta.
Problemi vari sulle coniche e luoghi di punti.
(Discussione grafica).

 

Modelli lineari          

Disequazioni di primo grado in una incognita, intere e fratte.
Sistemi di disequazioni  e loro risoluzione.
Studio del segno di disequazioni di grado superiore attraverso scomposizione

Modelli quadratici    

Radicali (definizione, proprietà, operazioni, razionalizzazione dei                                                             
denominatori nei casi più frequenti).

 

 Equazioni di secondo grado (complete, incomplete, relazioni tra coefficienti e
radici, scomposizione del trinomio di 2° grado, equazioni parametriche di 2°
grado).

Equazioni di grado superiore al secondo (scomponibili, binomie, trinomie)

Sistemi di grado superiore al primo.

Disequazioni di grado superiore al primo (risoluzione grafica attraverso la       
parabola,disequazioni fratte, sistemi di disequazioni).

Geometria                  

Quadrilateri notevoli (trapezi, parallelogrammi, rettangoli, rombi e quadrati)
Cenni sulle isometrie del piano.

Teorema di Talete e sua applicazione ai triangoli. Punti notevoli di un
triangolo.

Luoghi geometrici: definizione e concetto; l’asse del segmento e la
bisettrice dell’angolo.

La circonferenza: definizioni e sottoinsiemi; teoremi relativi alle corde; rette
esterne, secanti e tangenti.

Poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza: definizione, condizioni      
sui quadrilateri.

Cenni sulla equiscomponibilità e sulla teoria della misura.
Teoremi di Pitagora e di Euclide.

Teorema di Talete nel caso generale, teorema della bisettrice.
La similitudine: definizione generale, criteri di similitudine dei triangoli,
proprietà dei poligoni simili in relazione ai perimetri, alle aree e alle altezze.

Risoluzione di problemi con gli angoli notevoli, risoluzione di problemi con
particolari poligoni inscritti e circoscritti, applicazioni algebriche dei teoremi
di Pitagora e Euclide, applicazioni algebriche della similitudine.

     I sistemi di equazione di primo grado

• Le equazioni lineari in due incognite
• I sistemi di equazioni
• I sistemi lineari di due equazioni in due incognite: il metodo di sostituzione, del confronto, di riduzione, di Cramer.
• I sistemi lineari fratti
• I sistemi lineari letterali
• I sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite
• Risolvere i problemi con i sistemi
• Il metodo di Cramer per risolvere i sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite


I radicali

• La radice n-esima aritmetica
• La proprietà invariantiva dei radicali
• La moltiplicazione e la divisione dei radicali: il trasporto di un fattore sotto radice, il trasporto di un fattore fuori radice.
• La potenza di un radicale
• La radice di un radicale
• L’addizione e la sottrazione dei radicali
• La razionalizzazione dei denominatori delle frazioni
• I radicali quadratici doppi
• Le potenze con esponente frazionario


Il piano cartesiano e la retta

• L’equazione della retta
• Il coefficiente angolare di una retta
• L’equazione della retta di coefficiente angolare assegnato e passante per un punto


Le equazioni di secondo grado

• Che cos’è un’equazione di secondo grado
• La risoluzione delle equazioni incomplete: le equazioni pure, spurie, monomie.
• La risoluzione delle equazioni complete
• Le equazioni letterali
• Le relazioni tra soluzioni e coefficienti
• Le equazioni parametriche
• La regola dei segni di Cartesio


Le equazioni di grado superiore al secondo

• Le equazioni binomie
• Le equazioni reciproche


Le disequazioni di secondo grado

• Lo studio del segno di un trinomio di secondo grado
• Le disequazioni di secondo grado
• I sistemi di disequazioni
• Le disequazioni letterali di secondo grado
• Le disequazioni frazionarie di secondo grado
• Le disequazioni di grado superiore al secondo

     Geometria analitica:La parabola

• La parabola
• L’equazione di una parabola in posizione normale
• L’equazione di una parabola con asse parallelo all’asse y: come si scrive l’equazione di una parabola, come si disegna una parabola, le intersezioni di una parabola e una retta, le rette tangenti alla parabola.
• Lo studio del segno di un trinomio di secondo grado utilizzando la parabola
• La risoluzione delle disequazioni di secondo grado utilizzando la parabola

      Elementi di calcolo della probabilità

• Il calcolo delle probabilità
• L’evento complementare
• Gli eventi composti
• La probabilità totale
• La probabilità composta

     Elementi di statistica

• La statistica
• Le indagini statistiche
• La raccolta dei dati
• L’organizzazione dei dati
• Il calcolo della frequenza
• L’elaborazione dei dati : gli indici di posizione centrale, gli indici di variabilità.

 

La parabola: descrizioni sintetica e analitica, applicazioni
L'ellisse: descrizioni sintetica e analitica, applicazioni
L'iperbole: descrizioni sintetica e analitica, applicazioni
Le coniche
Proprietà focali delle coniche
Equazioni e disequazioni di primo grado: soluzioni nei vari insiemi numerici, interpretazione geometrica e applicazioni
Equazioni e disequazioni di secondo grado: risoluzione e interpretazione geometrica
Vettori e operazioni fra vettori; le traslazioni
Il prodotto scalare e il prodotto vettoriale
Gli spazi vettoriali
I sistemi di numerazione e la scrittura dei numeri
Un esempio di uso della storia nel primo biennio delle Superiori
Un esempio di uso della storia nella didattica dell'analisi
La proporzionalità diretta e inversa
Numeri reali e approssimazioni
Gli insiemi numerici N, Z, Q
I numeri reali: costruzione e proprietà caratteristiche
I numeri complessi: il punto di vista algebrico e quello geometrico
Il calcolo letterale
Le successioni
Gli invarianti nelle trasformazioni geometriche
Le isometrie del piano: introduzione, classificazione ed esempi
Le rotazioni nel piano; composizione di rotazioni
Le simmetrie nel piano
Le simmetrie nello spazio
Omotetie e similitudini nel piano
Le affinità: esempi, proprietà, trattazione analitica
Gruppi di trasformazioni geometriche
Insiemi con operazioni e gruppi
L’equivalenza nello spazio e il principio di Cavalieri
I poligoni e loro proprietà
Relazioni tra lati e angoli in un triangolo
I teoremi di Pitagora e di Euclide; applicazioni
Il teorema di Pitagora e il teorema del coseno (o di Carnot); applicazioni
Cerchio e circonferenza: trattazione sintetico-euclidea
Cerchio e circonferenza: trattazione analitico-cartesiana
Rette tangenti ad una curva
Rette e piani nello spazio
La sfera
Tabelle, grafici e funzioni
Un esempio di uso didattico del software
Uso didattico di un linguaggio di programmazione
Le trasformazioni geometriche nello studio di funzioni
Dal grafico di una funzione alle sue proprietà
La derivata: problemi che hanno portato alla sua introduzione
Derivate e primitive di una funzione
Le derivate prime e seconde: significato geometrico e applicazioni
Equazioni differenziali
Concetti primitivi, assiomi, definizioni, teoremi
Distribuzione normale
Distribuzioni di probabilità
La legge dei grandi numeri
Eventi incompatibili ed eventi indipendenti
Probabilità condizionata e indipendenza stocastica
Definizioni e valutazioni della probabilità in vari contesti
Media aritmetica, media geometrica ed altre medie
La formula di Bayes e sue applicazioni
Calcolo combinatorio (permutazioni, disposizioni e combinazioni con e senza ripetizione) e probabilità classica
Potenze ad esponente reale: definizione, andamento, proprietà
Le funzioni esponenziale e logaritmica: proprietà e applicazioni
Progressioni aritmetiche e geometriche
Corrispondenze e relazioni
Introduzione al piano cartesiano; equazioni cartesiane
Coordinate polari e applicazioni
Metodi numerici per la ricerca degli zeri di una funzione
Il concetto di funzione: funzione iniettive, suriettive e corrispondenze biunivoche; esempi notevoli
Continuità e discontinuità di funzioni
Funzioni crescenti e decrescenti
Le funzioni lineari: esempi e proprietà
Le funzioni quadratiche: esempi, grafici e proprietà
Massimi e minimi di una funzione
I sistemi di equazioni lineari
Sistemi algebrici di secondo grado
Un modello algebrico per risolvere problemi: le equazioni
Modelli non lineari
Equazioni razionali ed equazioni irrazionali
Disequazioni nel piano cartesiano
I punti notevoli di un triangolo
Le geometrie non euclidee
Luoghi geometrici
La risoluzione dei triangoli
Applicazioni della trigonometria
Funzioni goniometriche
Funzioni periodiche e fenomeni periodici
L'infinito nella didattica della matematica
Infiniti e infinitesimi; loro confronto
Continuità e derivabilità
Continuità e integrabilità
Il calcolo integrale e applicazioni
Il concetto di limite di una successione e di una funzione
Limiti e derivate
Limiti e continuità
Integrali definiti e integrali indefiniti
Gli integrali e il calcolo di volumi
Integrazione numerica
Un problema di misura: l'area dei poligoni e delle superficie
Asintoti di una curva
Distribuzioni semplici di frequenze
Interpolazione lineare
Il principio d'induzione in matematica e l'induzione nelle scienze sperimentali
Gli zeri di un polinomio
Equazioni parametriche di una retta e di una curva
Grandezze commensurabili e grandezze incommensurabili
Equazioni e sistemi algebrici con parametri
La geometria analitica e i sistemi di equazioni
Matrici e sistemi lineari
Il foglio elettronico nella didattica
I connettivi e la logica delle proposizioni
Regolarità e leggi; verifiche e dimostrazioni; esempi e controesempi

 

Citazioni matematica

 

L’universo sembra... esser stato determinato e ordinato secondo il numero dalla previdenza e dalla mente del creatore di tutte le cose; poiché lo schema era stato fissato, come un abbozzo preliminare, dalla supremazia del numero preesistente nella mente del Dio creatore del mondo.  (Nicomaco di Gerasa, Aritmetica I,6)

 

[…] perché il modello era fissato come una traccia preliminare per la dominazione del Numero, preesistente nello spirito di Dio creatore del mondo, numero idea puramente immateriale in tutti i rapporti, ma nello stesso tempo vera ed eterna essenza, di modo che con Numero, come da un piano artistico, furono create tutte queste cose e i Tempi, il movimento, i cieli, gli astri, e tutti i cicli di tutte le cose.   (Nicomaco di Gerasa, Introduzione all’Aritmetica)

 

Tutto ciò che è conosciuto contiene il numero. Perché senza il numero nulla può essere pensato né conosciuto.   (Filolao, DK, 4 B 58)

 

Il numero è la forza sovrana, auto genetica, che mantiene l’eterna permanenza delle cose del cosmo.   (Filolao, DK 44 B 23)

 

Ora però [questo numero], mettendo in armonia nell’anima tutte le cose con la sensazione, le rende conoscibili e le avvicina in un reciproco accordo secondo la natura dello gnomone, col dar corpo e col distinguere i rapporti delle cose, sia nell’infinito che nel finito.   (Filolao, DK 44 B 11)

 

L’essenza del numero è produttrice di conoscenza, guida e maestro per chiunque è nell’imbarazzo o nell’ignoranza rispetto a qualunque cosa. Perché non ci sarebbe niente di chiaro nelle cose, né in loro stesse né nelle loro mutue relazioni, se non ci fossero il numero e la sua essenza. Ma ecco che esso, adattando attraverso tutta l’anima tutte le cose alla sensazione, le rende conoscibili e mutuamente accordate, e dà loro un corpo e separa con forza ogni rapporto di cose illimitate e limitanti.   (Filolao, DK, B 139-160)

 

Poiché il numero è evidentissimo a tutti e vicinissimo a Dio, ci conduce, quasi per sette differenze graduali, facilmente a Lui.    (San Bonaventura)

 

Ho voluto capire i cuori degli uomini. Ho voluto sapere perché le stelle brillano. E ho cercato di comprendere il potere pitagorico per il quale il numero esercita il proprio impero sul flusso.   (Bertrand Russell)

 

Un posto non è nulla: neppure spazio, a meno che al suo cuore ci sia un numero.  (Paul Dirac)

 

La creazione del numero fu la creazione delle cose.   (Teodorico di Chartres)

 

I numeri furono ritirati dall’uso dei mercanti e onorati per se stessi.   (Aristosseno)

 

La vera matematica è l’elemento vero e proprio del mago.   (Novalis, Frammenti)

 

Le supreme forme del bello sono: l’ordine, la simmetria e il definito. E le matematiche le fanno conoscere più di tutte le altre scienze.  

(Aristotele, Metafisica, XIII, 3, 1078 b)

 

Le Idee e i Numeri hanno la medesima natura, e tutte le restanti cose - linee e superfici, giù giù fino alla sostanza del cielo e delle cose sensibili - derivano da essi.   (Senocrate, fr. 24)

 

La matematica pitagorica non è come la matematica perseguita da molti. Quest’ultima è infatti piuttosto tecnica e non ha un singolo obiettivo o fine nel bello e nel bene, ma la matematica pitagorica è preminentemente teorica; essa conduce i suoi teoremi verso un fine, adattando tutte le sue asserzioni al bello e al bene, e usandole come guida all’essere.   (Giamblico)

 

Non so se Dio sia un matematico, ma la matematica è il telaio con cui Egli ha tessuto la stoffa dell’universo… Il fatto che la realtà possa essere descritta o approssimata da semplici espressioni matematiche mi fa pensare che la matematica sia nel nucleo della natura.  (C.A. Pickover)

 

L’essenza della matematica risiede nella sua libertà.   (G. Cantor)

 

Un’equazione per me non ha nessun significato a meno che non esprima un pensiero di Dio.  (Srinivasa Ramanujan)

 

Le verità matematiche, che voi chiamate eterne, sono state stabilite da Dio e ne dipendono interamente, come fanno tutte le restanti creature.   (Cartesio)

 

I Numeri rappresentano delle idee filosofiche assolute.   (E. Levi)

 

Io credo che i numeri e le funzioni dell’analisi non siano prodotti arbitrari della nostra mente. Penso che esistano al di fuori di noi e che posseggano le stesse caratteristiche essenziali che posseggono le cose della realtà oggettiva, e che noi li incontriamo e li scopriamo esattamente come fanno i fisici, i medici e gli zoologi.   (C. Hermite)

 

Il fatto matematico è indipendente dal rivestimento logico o algebrico sotto il quale cerchiamo di rappresentarlo: in effetti, l’idea che noi ne abbiamo è più ricca e più piena di tutte la definizioni che noi ne possiamo dare, di tutte le forme o combinazioni di segni o di proposizioni con le quali ci è possibile esprimerle. L’espressione di un fatto matematico è arbitraria, convenzionale.  Di contro, il fatto in sé, cioè la verità che essa contiene, si impone al nostro spirito al di là di ogni convenzione.  Così non ci si potrebbe rendere conto dello sviluppo delle teorie matematiche se si volesse vedere nelle formule algebriche e nelle combinazioni logiche gli oggetti stessi di cui la matematica persegue l’indagine. Al contrario, tutti i caratteri di tali teorie si spiegano facilmente se si ammette che l’algebra e le proposizioni logiche non sono che il linguaggio nel quale si traduce un insieme di nozioni e di fatti obbiettivi.   (P. Boutroux)

 

Il mondo delle idee che la matematica dischiude o illumina, la contemplazione della bellezza e dell’ordine divini che ispira, la connessione armoniosa delle sue parti, la gerarchia infinita e l’evidenza assoluta delle verità di cui si occupa: queste, e altre simili a queste, sono le ragioni più sicure dei titoli che essa può vantare alla nostra considerazione.   (J.J. Sylvester, matematico dell’Ottocento)

 

Quel che vedi nel Cosmo è solo un riflesso divino, laddove sugli dei regna il Numero eterno.   (K.G. Jacobi)

 

Come la cresta di un pavone, come la gemma sulla testa di un serpente, così la matematica è alla testa di tutta la conoscenza.   (Vedanga Jyotisa 500 a.c.)

 

Affermo che in ogni teoria particolare della natura non può esservi scienza propriamente detta se non nella misura in cui vi si trova la matematica.   (Kant)

 

In realtà possiamo considerare la matematica come la più antica branca della fisica … senza di essa non sarei stato capace di formulare la teoria della relatività.   (Einstein)

 

Il principio creativo della scienza risiede nella matematica.   (Einstein)

 

Nelle misura in cui le leggi della matematica riguardano la realtà, non sono certe; e nella misura in cui sono certe, non riguardano la realtà.  (Einstein)

 

Com’è possibile che la matematica, un prodotto del pensiero umano indipendente dall’esperienza, corrisponda in modo così perfetto agli oggetti della realtà fisica?  (Einstein)

 

Credo che la realtà matematica sia fuori di noi, che il nostro compito sia di scoprirla o di osservarla, e che i teoremi che noi dimostriamo, qualificandoli pomposamente come nostre “creazioni”, siano semplicemente annotazioni delle nostre osservazioni.   (Hardy)

 

Credo che i numeri e le funzioni dell’Analisi non siano il prodotto arbitrario del nostro spirito. Penso che esistano fuori di noi con lo stesso carattere di necessità degli oggetti della realtà obiettiva, e che noi li incontriamo o li scopriamo, e li studiamo come fanno i fisici, i chimici e gli zoologi.   (C. Hermite)

 

Sembrerebbe iscritto nella natura delle cose che tali numeri fondamentali (delle costanti fisiche) non differiscano quanto all’ordine di grandezza dal numero 1, almeno finché ci si limita a considerare formulazioni “semplici” o, come si potrebbe dire, “naturali”.  (Einstein)

 

Dio creò i numeri naturali; tutto il resto è opera dell’uomo.   (L. Kronecker)

 

Questa simpatica peculiarità del mondo fisico, il fatto cioè che sembra lasciarsi descrivere da leggi matematiche in cui i fattori puramente numerici che compaiono non hanno valori molto diversi da 1, è uno dei misteri che passano quasi inosservati nello nostre indagini.  (Barrow)

 

L’intelletto umano ne intende alcune (proposizioni matematiche) così perfettamente, e ne ha così assoluta certezza, quanto se n’abbia l’istessa natura; e tali sono le scienze matematiche pure, cioè la geometria e l’aritmetica, delle quali l’intelletto divino ne sa bene infinite proposizioni di più, perché le sa tutte, ma di quelle poche intese dall’intelletto umano credo che la cognizione agguagli la divina nella certezza obiettiva.  (Galileo Galilei)

 

La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto dinanzi agli occhi (io dico l’universo) ma non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua e conoscere i caratteri ne’ quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica e i caratteri sono triangoli, cerchi ed altre figure geometriche senza i quali mezi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.  (Galileo Galilei)

 

Le realtà matematiche sono causa di quelle fisiche in quanto Dio dal principio dei tempi reca in sé come semplici e divine astrazioni gli oggetti matematici quali prototipi delle previste quantità materiali.   (Keplero)

 

Sembrerebbe addirittura che Platone non avesse poi tutti i torti, quando sosteneva che il mondo delle idee matematiche è la vera realtà e che quello delle cose fisiche non ne è che un pallido riflesso, perché i fisici oggi ci dicono che la vera sostanza delle cose, ossia le costituenti ultime della materia, è di natura matematica. (Odifreddi)

 

I concetti matematici possono anch’essi rappresentare un aspetto della realtà oggettiva.  (K. Godel)

 

Essa [la matematica] ci è data nella sua interezza e non cambierà, diversamente dalla Via Lattea. La parte di cui abbiamo una vista perfetta sembra bella, suggerendoci armonia.   (K. Godel)

 

Per Godel tutti i numeri sono “opera di Dio”.

 

Quel che Godel dimostrò è che la verità matematica non è riconducibile a una dimostrazione (formale o meccanica). La sintassi non può soppiantare la semantica. … Non si può ovviare con regole meccaniche al bisogno di significato, e non si può fare a meno di ciò che ci dà accesso al significato, ossia l’intuizione, nemmeno in matematica, anzi nemmeno in aritmetica.

(P. Yourgrau)

 

Trovare conferme al punto di vista platonico… fu un aspetto importante delle motivazioni iniziali di Godel.  (Penrose)

 

[…] la visione platonista è l’unica sostenibile. Con ciò io intendo l’idea che la matematica descrive una realtà non sensoriale, che esiste indipendentemente sia dalle azioni sia dalle disposizioni della mente umana e che viene solo percepita, e probabilmente percepita in modo molto incompleto, dalla mente stessa.   (Godel)

 

La matematica è la scienza dell’infinito.   (Hermann Weyl)

 

La musica è il piacere che la mente umana prova quando conta senza essere conscia di contare.  (Leibnitz)

 

In una certa misura, la scienza dei numeri non è solo un requisito indispensabile in ogni percorso della vita civile; l’indagine sulle verità matematiche aiuta la mente al metodo e alla correttezza del ragionamento, ed è un’attività particolarmente adatta all’essere razionale. In uno stato d’esistenza indistinto, in cui sono tante le cose che appaiono dubbie alla sconcertata ricerca, le facoltà razionali trovano il fondamento su cui poggiare. Dal terreno elevato della dimostrazione matematica e filosofica, siamo condotti senza rendercene conto a speculazioni molto più nobili e a meditazioni più sublimi.  

(George Washington)

 

La grazia di Dio preserva la matematica dall’affogare nella mera tecnica.   (Simone Weil)

 

La scienza, nei suoi differenti rami, afferra attraverso tutti i fenomeni rapporti matematici, o analoghi ai rapporti matematici. La matematica eterna, questo linguaggio a due fini, è la stoffa di cui è tessuto l’ordine del mondo.

(S. Weil, La prima radice)

 

La matematica è capace di trattare con successo solo le situazioni più semplici, o più precisamente, una situazione complessa solo nella misura in cui un’eccezionale buona fortuna fa dipendere tale situazione complessa da pochi fattori dominanti semplici. Al di fuori della via più battuta, la matematica perde l’orientamento in una giungla di funzioni speciali senza nome e di impenetrabili particolarità combinatorie.  (J.T. Schwartz)

 

La matematica non è una marcia in perfetto ordine lungo un corso sgombro e diritto, ma è un viaggio in una strana terra selvaggia, dove spesso gli esploratori si perdono. Il rigore dovrebbe essere un segnale per lo storico che le mappe sono state tracciate e che i veri esploratori sono andati altrove.   (W.S. Anglin)

 

A somiglianza dei corpi regolari della filosofia platonica, le particelle elementari della fisica moderna sono determinate da condizioni matematiche di simmetria.   (W. Heisenberg)

 

Ritorna attuale nella fisica il pensiero di Platone, che radice ultima delle strutture atomiche della materia sia una legge matematica, una simmetria matematica.   (W. Heisenberg)

 

Le particelle elementari hanno la forma loro attribuita da Platone poiché questa è la forma più bella e più semplice dal punto di vista matematico. La radice ultima dei fenomeni non è quindi la materia, ma la legge matematica, la simmetria, la forma matematica.   (W. Heisenberg)

 

Secondo il decostruzionismo della scienza moderna, la realtà ultima non solo è descritta matematicamente, ma è matematica. E questo affiora in innumerevoli dichiarazioni, come:

- “l’universo è un’equazione differenziale” (Poincarè)

- “le particelle sono soluzioni di un’equazione differenziale” (Heisenberg)

- “la scienza è un’equazione differenziale, e la religione una condizione al contorno” (Turing)

 

L’intero universo è sbocciato splendidamente da una sola formula.   (Neil Turok)

 

Oggi ho adottato una nuova visione del mondo, secondo la quale tutto è informazione.   (J. Wheeler 1998)

 

Non è possibile comprendere la filosofia senza conoscere la matematica, né la matematica senza conoscere la filosofia, né alcunché senza conoscere entrambe.   (Leibniz)

 

Il numero immaginario è un bello e meraviglioso espediente dello spirito divino, quasi un anfibio tra l’essere e il non-essere.   (G. Leibniz)

 

L’esperienza matematica si sviluppa attraverso le stesse tappe dell’esperienza mistica: concentrazione, meditazione, illuminazione. (PGO)

 

Quando affronto un problema non penso mai alla bellezza, penso a come risolverlo. Ma terminato il lavoro, se la soluzione alla quale sono giunto non è bella sono sicuro di essermi sbagliato.  (Buckminster Fuller)

 

Ogni numero nasce dall’Uno e questo a sua volta dallo Zero. In ciò alberga un mistero grande e sacro… Egli crea il tutto dal nulla, lo conserva e lo governa: omnia ex nihilo creat, conservat et gubernat.  (Codice di Salem – XII° secolo).

 

Infra le grandezze delle cose che sono infra noi l’essere del nulla tiene il principato […] la sua essentia risiede appresso del tempo infra ‘l preterito e ‘l futuro e non nulla possiede del presente […]. Questo nulla ha la sua parte uguale al tutto e ‘l tutto alla parte, e ‘l divisibile allo indivisibile e tal somma produce nella sua partizione come nella moltiplicazione, e nel suo sommare quanto al sottrarre.   (Leonardo da Vinci)

 

Un punto microscopico brilla, poi un altro, poi un altro: è l’impercettibile, è l’enorme. Questo lumicino è un focolare, una stella, un sole, un universo; ma questo universo è niente. Ogni numero è zero di fronte all’infinito. L’inaccessibile unito all’impenetrabile, l’impenetrabile unito all’inesplicabile, l’inesplicabile unito all’incommensurabile: questo è il cielo.   (V. Hugo)

 

Un insieme è una Moltitudine che può essere pensata come Uno.   (G. Cantor)

 

La matematica eleva la mente umana a una prossimità più vicina al divino di quanto non sia ottenibile con qualsiasi altro mezzo. La matematica è la scienza dell’infinito, il suo obiettivo è la comprensione simbolica dell’infinito con mezzi umani, e cioè finiti.   (Hermann Weyl)

 

Essenzialmente, “matematica” è il nome che diamo alla serie di tutti i modelli e di tutte le relazioni possibili. … L’essenza della matematica sta nelle relazioni fra quantità e qualità. Pertanto sono le relazioni fra numeri - e non i numeri di per se stessi - a costituire il centro di interesse dei matematici moderni.   (Barrow)

 

Fonte: http://www.psicoenergetica.it/psicoenergetica/MATEMATICA.DOC

 

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